Quiz d’entraînement sur les applications des intégrales avec leçon interactive étape par étape

Aire sous une courbe et sens d’une intégrale définie

Idée clé

L’intégrale définie \(\displaystyle \int_a^b f(x)\,dx\) mesure une accumulation nette sur \([a,b]\). Géométriquement, c’est l’aire signée entre le graphe de \(y=f(x)\) et l’axe \(x\) :

• L’aire au-dessus de l’axe \(x\) compte positivement.
• L’aire au-dessous de l’axe \(x\) compte négativement.

Si \(f(x)\ge 0\) sur \([a,b]\), alors l’intégrale est l’aire usuelle (positive) : \[ A=\int_a^b f(x)\,dx. \] Si le graphe coupe l’axe et que l’on veut l’aire totale, on découpe l’intervalle aux zéros de \(f\) et on additionne les aires absolues.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• \(\int_a^b f(x)\,dx\) est une aire/accumulation nette (signée) sur \([a,b]\).
• Si \(f(x)\ge 0\), elle est égale à l’aire géométrique sous la courbe.

Aire entre courbes : haut moins bas, avec les bonnes bornes

Idée clé

Pour trouver l’aire enfermée entre deux courbes \(y=f(x)\) et \(y=g(x)\) sur \([a,b]\), faites un croquis ou comparez les valeurs pour décider quelle courbe est au-dessus. Ensuite, utilisez : \[ A=\int_a^b \bigl(\text{top} - \text{bottom}\bigr)\,dx. \] La partie la plus délicate est souvent de choisir les bonnes bornes \(a\) et \(b\). On les trouve généralement en résolvant \(f(x)=g(x)\).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• L’aire entre courbes utilise \(\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx\) sur les bonnes bornes d’intersection.
• Un croquis, même rapide, aide à choisir haut/bas et à éviter les erreurs de signe.

Volumes de révolution : méthode des disques et méthode des rondelles

Idée clé

Quand une région tourne autour d’un axe, les sections perpendiculaires à cet axe sont des cercles. Si l’on fait tourner une région autour de l’axe \(x\), le rayon est une distance verticale entre la courbe et l’axe :

• Méthode des disques (sans trou) : \(\displaystyle V=\pi\int_a^b [R(x)]^2\,dx\)
• Méthode des rondelles (avec trou) : \(\displaystyle V=\pi\int_a^b\big([R(x)]^2-[r(x)]^2\big)\,dx\)

Une liste de vérification fiable :

• Esquisser la région et l’axe de rotation.
• Écrire \(R(x)\) (rayon extérieur) et \(r(x)\) (rayon intérieur) comme des distances à l’axe.
• Élever les rayons au carré, soustraire si nécessaire, multiplier par \(\pi\), puis intégrer sur les bonnes bornes.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Disque : \(V=\pi\int R^2\). Rondelle : \(V=\pi\int(R^2-r^2)\).
• Définissez toujours les rayons comme des distances à l’axe de rotation.

Volume avec des coquilles cylindriques : \(2\pi\int (\text{radius})(\text{height})\)

Idée clé

La méthode des coquilles utilise des coquilles cylindriques au lieu de disques. Une mise en place typique (rotation autour de l’axe \(y\) avec des tranches verticales) est : \[ V=2\pi\int_a^b (\text{radius})(\text{height})\,dx. \] Pour des coquilles autour de l’axe \(y\) :

• rayon \(=x\) (distance entre la tranche en \(x\) et l’axe \(y\)),
• hauteur \(=\text{top}-\text{bottom}\) (longueur verticale de la région pour ce \(x\)).

Les coquilles sont souvent préférables quand on tourne autour de l’axe \(y\) mais que les fonctions sont écrites sous la forme \(y=f(x)\), car les rondelles peuvent obliger à réécrire \(x\) comme fonction de \(y\).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Coquilles : \(V=2\pi\int (\text{radius})(\text{height})\).
• Choisissez les coquilles quand elles permettent de rester en \(x\) (ou en \(y\)) sans résoudre pour l’autre variable.

Aire de surface d’une surface de révolution

Idée clé

Quand on fait tourner une courbe \(y=f(x)\) autour de l’axe \(x\), on engendre une surface. L’aire de surface se trouve en combinant la circonférence \(2\pi f(x)\) avec un facteur de longueur d’arc : \[ S=2\pi\int_{a}^{b} f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx, \] (en supposant \(f(x)\ge 0\) sur \([a,b]\)).

Pour une rotation autour de l’axe \(y\), une forme courante est : \[ S=2\pi\int_{a}^{b} x\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx, \] lorsque \(y=f(x)\) tourne autour de l’axe \(y\).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• L’aire de surface utilise circonférence \(\times\) longueur d’arc : \(S=2\pi\int f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\).
• Le facteur racine carrée vient de la conversion de \(dx\) en petite longueur de courbe \(ds\).

Erreurs fréquentes : mauvaises bornes, mauvais « haut » et mauvais rayon

Idée clé

La plupart des erreurs dans les applications des intégrales ne sont pas des erreurs d’algèbre : ce sont des erreurs de mise en place. Utilisez cette liste de vérification avant d’intégrer :

• Faire un croquis rapide. Identifier la région et l’axe de rotation.
• Trouver les bornes. Utiliser l’intervalle donné ou résoudre les intersections comme \(f(x)=g(x)\).
• Choisir une méthode. Disques/rondelles pour des tranches perpendiculaires ; coquilles pour des tranches parallèles.
• Écrire le rayon ou la hauteur comme une distance. Si la rotation se fait autour de \(y=c\), le rayon est \(|f(x)-c|\).
• Vérifier les unités. Aire \(\to\) unités carrées, volume \(\to\) unités cubiques.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• La plupart des erreurs sont des erreurs de mise en place : bornes, haut/bas et définitions de rayon.
• Un croquis et des rayons/hauteurs définis comme des distances rendent les intégrales correctes.

Pourquoi les applications des intégrales sont importantes

Où apparaissent les applications des intégrales

• Géométrie : aires, volumes et aires de surface exacts, difficiles à obtenir avec des formules seules.
• Physique : travail, pression des fluides, masse avec densité variable et centres de masse.
• Ingénierie : volumes et aires de surface pour la conception et l’usage de matériaux.
• Économie : variation accumulée et valeur totale à partir de fonctions marginales.

Exemple guidé : un « modèle » clair à réutiliser

À vous

Récapitulatif final

• Aire sous une courbe : \(A=\int_a^b f(x)\,dx\) quand \(f(x)\ge 0\).
• Aire entre courbes : \(A=\int_a^b(\text{top}-\text{bottom})\,dx\).
• Volume par disques/rondelles : \(V=\pi\int R^2\,dx\) ou \(V=\pi\int(R^2-r^2)\,dx\).
• Volume par coquilles : \(V=2\pi\int (\text{radius})(\text{height})\,dx\) (ou \(dy\)).
• Aire de surface : \(S=2\pi\int f(x)\sqrt{1+(f'(x))^2}\,dx\) (autour de l’axe \(x\)).
• Mise en place d’abord : croquis, bornes, distances, puis intégration.