Una base de vectores propios hace diagonal la matriz

Idea clave

Supón que \(v_1,\dots,v_n\) es una base y que \(Av_i=\lambda_i v_i\). Pon estos vectores en las columnas de \(P\), y coloca los valores propios correspondientes en la diagonal de \(D\): \[P=\begin{pmatrix}|& &|\\ v_1&\cdots&v_n\\ |& &|\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).\] Entonces \(AP=PD\), así que \(A=PDP^{-1}\). La fórmula no es magia: dice que, en la base de vectores propios, \(A\) solo escala coordenadas.

Lista de reconocimiento

• Encuentra valores propios y espacios propios.
• Elige suficientes vectores propios independientes para formar una base.
• Coloca los vectores propios como columnas de \(P\).
• Coloca los valores propios correspondientes en el mismo orden en \(D\).
• Comprueba \(AP=PD\) antes de calcular \(P^{-1}\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Diagonalizable significa suficientes vectores propios independientes

Idea clave

Para una matriz \(n\times n\), la diagonalización requiere \(n\) vectores propios linealmente independientes. Los valores propios distintos ayudan porque los vectores propios correspondientes a valores propios distintos son automáticamente linealmente independientes. Por lo tanto, \(n\) valores propios distintos en dimensión \(n\) garantizan diagonalizabilidad. Los valores propios repetidos no son automáticamente malos, pero requieren comprobar dimensiones de espacios propios.

Lista de reconocimiento

• Si la matriz tiene \(n\) valores propios distintos sobre el campo que estás usando, es diagonalizable.
• Si los valores propios se repiten, calcula cada espacio propio \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\).
• Suma las dimensiones de los espacios propios.
• La matriz es diagonalizable exactamente cuando esa suma es \(n\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

La multiplicidad no basta

Idea clave

Un valor propio repetido aún puede ser diagonalizable, pero solo si su espacio propio es suficientemente grande. Para cada valor propio \(\lambda\), \[\dim E_\lambda\le \text{multiplicidad algebraica de }\lambda.\] La diagonalización necesita igualdad para cada valor propio, así que las multiplicidades geométricas suman \(n\). Un bloque de Jordan no trivial falla porque solo tiene una dirección de vector propio para un valor propio repetido.

Errores comunes

• Una raíz repetida del polinomio característico no significa automáticamente que no sea diagonalizable.
• Una matriz triangular no es automáticamente diagonalizable.
• Una matriz con un solo valor propio puede ser diagonalizable solo si ya es una matriz escalar en todo el espacio.
• Un bloque de Jordan no trivial tiene muy pocos vectores propios.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Empareja cada vector propio con su valor propio

Idea clave

Después de encontrar una base de vectores propios, la diagonalización es sobre todo organización. Si las columnas de \(P\) son \(v_1,\dots,v_n\), entonces las entradas diagonales de \(D\) deben ser \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\), donde \(Av_i=\lambda_i v_i\). Cambiar el orden de las columnas está permitido, pero \(D\) debe cambiar en el mismo orden.

Lista de reconocimiento

• Elige vectores propios independientes hasta tener una base.
• Escríbelos como columnas de \(P\).
• Escribe los valores propios correspondientes en la diagonal de \(D\).
• Comprueba \(AP=PD\), que a menudo es más rápido que multiplicar \(PDP^{-1}\).
• Calcula \(P^{-1}\) solo cuando un cálculo posterior realmente lo necesite.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

La diagonalización convierte potencias en potencias entrada por entrada

Idea clave

Si \(A=PDP^{-1}\), entonces la multiplicación repetida cancela los factores centrales: \[A^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}.\] Para \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\), \[D^n=\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_n^n).\] La misma idea funciona para muchos polinomios en \(A\): aplica el polinomio a cada entrada diagonal.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(A^n=PD^nP^{-1}\), no \(P^nD^nP^{-n}\).
• Las potencias diagonales se calculan entrada por entrada.
• Si ningún valor propio es \(0\), entonces \(A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}\).
• Por ejemplo, \(\operatorname{diag}(1,2)^{-1}=\operatorname{diag}(1,1/2)\).

Usa las entradas diagonales para leer estructura

Idea clave

Cuando \(A=PDP^{-1}\), muchos hechos estructurales se reducen a las entradas diagonales. \(A\) es invertible exactamente cuando todo valor propio es no nulo. La traza es la suma de los valores propios, el determinante es su producto y el rango es el número de entradas diagonales no nulas en \(D\). Si \(A\) satisface una ecuación polinómica como \(A^2=A\), entonces cada valor propio satisface la misma ecuación escalar \(\lambda^2=\lambda\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

La descomposición y las raíces repetidas importan

Idea clave

La diagonalización depende del campo. Sobre \(\mathbb{R}\), una matriz con valores propios no reales no puede tener una base real de vectores propios. Sobre \(\mathbb{C}\), esos valores propios pueden estar disponibles. Una prueba compacta de alto nivel es: una matriz es diagonalizable sobre un campo exactamente cuando su polinomio mínimo se descompone sobre ese campo y no tiene raíces repetidas.

Errores comunes

• Las matrices semejantes comparten traza, determinante, polinomio característico y valores propios, pero no las mismas entradas.
• Diagonalizable no significa diagonal en la base original.
• Tener valores propios no basta; los espacios propios deben proporcionar una base.
• Valores propios distintos son suficientes, no necesarios.
• El polinomio mínimo debe descomponerse en factores lineales distintos sobre el campo elegido.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Repaso final

• Diagonalizable significa que existe una base de vectores propios.
• \(A=PDP^{-1}\), con columnas de \(P\) iguales a vectores propios y entradas diagonales de \(D\) iguales a los valores propios correspondientes.
• \(n\) valores propios distintos en dimensión \(n\) garantizan diagonalizabilidad.
• Los valores propios repetidos requieren comprobar dimensiones de espacios propios.
• Los bloques de Jordan no triviales no son diagonalizables.
• Las potencias satisfacen \(A^n=PD^nP^{-1}\).
• La traza, el determinante, el rango, la invertibilidad y las ecuaciones polinómicas se pueden leer desde la forma diagonal.
• El campo y el polinomio mínimo importan.