चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ विकर्णीकरण अभ्यास क्विज
नीचे दिए गए क्विज़ से विकर्णीकरण का अभ्यास करें: कब आव्यूह के पास आइगेन-बेसिस है, \(A=PDP^{-1}\) को पढ़ना और बनाना, \(P\) के स्तंभों को \(D\) के आइगेनमानों से मिलाना, अलग-अलग आइगेनमानों को तेज पर्याप्त कसौटी की तरह उपयोग करना, दोहराए आइगेनमानों में ज्यामितीय गुणिता जाँचना, और \(A^n=PD^nP^{-1}\) से घात निकालना।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह विकर्णीकरण अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज लें: आइगेन-बेसिस, समानता, घात, दोहराए आइगेनमान और आव्यूह-अपरिवर्तक प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें: \(A=PDP^{-1}\) का अर्थ, पर्याप्त आइगेनवेक्टरों की जाँच और विकर्ण रूप का उपयोग दोहराएँ।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज पर लौटें और पूछें कि क्या आव्यूह के पास आइगेनवेक्टरों का पूरा आधार है।
विकर्णीकरण पाठ में आप क्या सीखेंगे
\(A=PDP^{-1}\) का अर्थ
विकर्णीकरणीय: आइगेनवेक्टरों से बना आधार मौजूद है
\(P\): चुने क्रम में आइगेनवेक्टर स्तंभ होते हैं
\(D\): विकर्ण प्रविष्टियाँ उनसे मेल खाते आइगेनमान हैं
विकर्णीकरणीयता की कसौटियाँ
आयाम \(n\) में विकर्णीकरण के लिए \(n\) रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेनवेक्टर चाहिए
भिन्न आइगेनमान स्वतंत्र आइगेनवेक्टरों की गारंटी देते हैं
दोहराए आइगेनमानों में केवल अभिलाक्षणिक बहुपद नहीं, आइगेन-उपस्थान के आयाम चाहिए
रूप बनाना और उपयोग करना
आइगेन-बेसिस से \(P\) बनाएँ और मेल खाते आइगेनमान \(D\) पर रखें
\(A^n=PD^nP^{-1}\) उपयोग करें, क्योंकि विकर्ण घात प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि निकाली जाती है
ट्रेस, निर्धारक, रैंक और व्युत्क्रमणीयता विकर्ण रूप में जल्दी जाँची जाती हैं
संरचना और भूलें
असली जॉर्डन ब्लॉक में पर्याप्त आइगेनवेक्टर नहीं होते और वह विकर्णीकरणीय नहीं है
एक ही आइगेनमान \(\lambda\) वाला विकर्णीकरणीय आव्यूह \(\lambda I\) होता है
क्षेत्र महत्त्वपूर्ण है: कुछ वास्तविक आव्यूह केवल जटिल आइगेनवेक्टरों की अनुमति पर विकर्णीकरणीय होते हैं
उद्देश्य: तय करना सीखें कि कोई आव्यूह विकर्णीकरणीय है या नहीं, संभव होने पर \(A=PDP^{-1}\) बनाना, और विकर्ण रूप से घात, अपरिवर्तक और संरचनात्मक निष्कर्ष निकालना। मुख्य प्रश्न हमेशा है: क्या आइगेन-उपस्थान पूरे स्थान का आधार देते हैं?
सफलता मानदंड
कहें कि विकर्णीकरणीय का अर्थ आइगेनवेक्टरों का आधार होना है।
\(A=PDP^{-1}\) में \(P\), \(D\), और \(P^{-1}\) की भूमिका समझाएँ।
भिन्न आइगेनमानों को तेज पर्याप्त कसौटी की तरह उपयोग करें।
दोहराए आइगेनमानों में बीजीय और ज्यामितीय गुणिता की तुलना करें।
मेल खाते क्रम में \(P\) और \(D\) बनाएँ।
\(A^n=PD^nP^{-1}\) से घात निकालें।
मुख्य शब्दावली
विकर्णीकरणीय: किसी विकर्ण आव्यूह के समान, यानी किसी आइगेन-बेसिस में विकर्ण।
आइगेन-बेसिस: \(A\) के आइगेनवेक्टरों से बना आधार।
समानता: \(A=PDP^{-1}\), यानी अलग आधारों में वही रैखिक मानचित्र।
बीजीय गुणिता: अभिलाक्षणिक बहुपद में जड़ की गुणिता।
ज्यामितीय गुणिता: \(E_\lambda\) का आयाम।
न्यूनतम बहुपद कसौटी: विकर्णीकरण ठीक तब जब न्यूनतम बहुपद बिना दोहराई जड़ के रैखिक गुणकों में टूटे।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: आव्यूह \(A\) विकर्णीकरणीय कब है?
संकेत: ऐसा आधार चाहिए जिसमें आव्यूह हर आधार-सदिश को केवल स्केल करे।
पूर्व-जाँच 2: यदि \(A=PDP^{-1}\), तो \(D\) की विकर्ण प्रविष्टियाँ क्या हैं?
संकेत: \(P\) का हर स्तंभ अपने मेल खाते विकर्ण मान से स्केल होता है।
आइगेन-बेसिस आव्यूह को विकर्ण बनाता है
सीखने का लक्ष्य: \(A=PDP^{-1}\) को आइगेनवेक्टरों के आधार से जोड़ें और स्तंभों का क्रम क्यों महत्त्वपूर्ण है समझें।
मुख्य विचार
मान लें \(v_1,\dots,v_n\) एक आधार है और \(Av_i=\lambda_i v_i\)। इन सदिशों को \(P\) के स्तंभों में रखें और \(\lambda_i\) को उसी क्रम में \(D\) के विकर्ण पर रखें। तब \(AP=PD\), इसलिए \(A=PDP^{-1}\)।
पहचान सूची
आइगेनमान और आइगेन-उपस्थान खोजें।
आधार बनाने के लिए पर्याप्त स्वतंत्र आइगेनवेक्टर चुनें।
उन्हें \(P\) के स्तंभों में रखें।
मेल खाते आइगेनमान \(D\) में उसी क्रम में रखें।
\(P^{-1}\) निकालने से पहले \(AP=PD\) जाँचें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: स्वैप आव्यूह \(A=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\) को विकर्णीकृत करें।
\((1,1)\) और \((1,-1)\) आइगेनवेक्टर हैं। इसलिए \(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\) और \(D=\operatorname{diag}(1,-1)\)। दोनों स्तंभ स्वतंत्र हैं, इसलिए \(A=PDP^{-1}\)।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: \(A=PDP^{-1}\) में \(P\) के स्तंभों में क्या होता है?
संकेत: \(A\) से गुणा करने पर वही स्तंभ स्केल होना चाहिए।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(P\) के पहले स्तंभ का आइगेनमान \(2\) और दूसरे का \(5\) है, तो \(D\) क्या है?
संकेत: \(D\) का क्रम \(P\) के स्तंभों के क्रम जैसा रखें।
विकर्णीकरणीय का अर्थ पर्याप्त स्वतंत्र आइगेनवेक्टर
सीखने का लक्ष्य: केवल आइगेनमान नहीं, स्वतंत्र आइगेनवेक्टर गिनकर विकर्णीकरणीयता तय करें।
मुख्य विचार
\(n\times n\) आव्यूह के विकर्णीकरण के लिए \(n\) रैखिक रूप से स्वतंत्र आइगेनवेक्टर चाहिए। \(n\) भिन्न आइगेनमान आयाम \(n\) में विकर्णीकरण की गारंटी देते हैं। दोहराए आइगेनमानों में आइगेन-उपस्थान आयाम जाँचना पड़ता है।
पहचान सूची
यदि \(n\) भिन्न आइगेनमान हैं, आव्यूह विकर्णीकरणीय है।
यदि आइगेनमान दोहरते हैं, हर \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\) निकालें।
आयामों का योग करें।
योग \(n\) हो तो ही विकर्णीकरणीय है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(3\times3\) आव्यूह के आइगेनमान \(1\), \(2\), और \(5\) हैं। क्या निष्कर्ष है?
तीनों आइगेनमान भिन्न हैं, इसलिए तीन स्वतंत्र आइगेनवेक्टर मिलते हैं। आयाम \(3\) में यह पूरा आइगेन-बेसिस है, अतः आव्यूह विकर्णीकरणीय है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(3\times3\) आव्यूह के तीन भिन्न आइगेनमान हैं, तो क्या निष्कर्ष है?
संकेत: भिन्न आइगेनमानों के आइगेनवेक्टर रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।
स्वयं प्रयास 2: विकर्णीकरणीय \(4\times4\) आव्यूह के आधार में कितने आइगेनवेक्टर चाहिए?
संकेत: 4-विमीय स्थान के आधार में चार सदिश होते हैं।
गुणिता अकेली पर्याप्त नहीं
सीखने का लक्ष्य: बीजीय गुणिता, ज्यामितीय गुणिता और जॉर्डन-ब्लॉक बाधा को अलग करें।
मुख्य विचार
दोहराया आइगेनमान विकर्णीकरणीय हो सकता है, पर केवल तब जब उसका आइगेन-उपस्थान काफी बड़ा हो। हर \(\lambda\) के लिए \[\dim E_\lambda\le \text{बीजीय गुणिता}\] और विकर्णीकरण के लिए हर आइगेनमान पर समानता चाहिए।
सामान्य भूलें
अभिलाक्षणिक बहुपद की दोहराई जड़ अपने-आप अविकर्णीकरणीय नहीं बनाती।
त्रिभुजीय आव्यूह अपने-आप विकर्णीकरणीय नहीं होता।
एक ही आइगेनमान वाला विकर्णीकरणीय आव्यूह पूरे स्थान पर अदिश आव्यूह होता है।
असली जॉर्डन ब्लॉक में पर्याप्त आइगेनवेक्टर नहीं होते।
एकमात्र आइगेनमान \(1\) है। \((J-I)v=0\) से \(y=0\), इसलिए आइगेन-उपस्थान एक-विमीय है। \(2\times2\) आव्यूह को दो स्वतंत्र आइगेनवेक्टर चाहिए, अतः \(J\) विकर्णीकरणीय नहीं है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: क्या \(\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) विकर्णीकरणीय है?
संकेत: दोहराए आइगेनमान \(1\) का आइगेन-उपस्थान निकालें।
स्वयं प्रयास 2: सभी आइगेनमान \(5\) वाले विकर्णीकरणीय आव्यूह का रूप है:
संकेत: आइगेन-बेसिस में विकर्ण आव्यूह \(5I\) होगा।
हर आइगेनवेक्टर को उसके आइगेनमान से मिलाएँ
सीखने का लक्ष्य: विकर्णीकरण सावधानी से बनाएँ और \(P\) तथा \(D\) का क्रम न बिगाड़ें।
मुख्य विचार
यदि \(P\) के स्तंभ \(v_1,\dots,v_n\) हैं, तो \(D\) की विकर्ण प्रविष्टियाँ उसी क्रम में \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\) होंगी, जहाँ \(Av_i=\lambda_i v_i\)।
पहचान सूची
स्वतंत्र आइगेनवेक्टर चुनकर आधार बनाएँ।
उन्हें \(P\) के स्तंभों में लिखें।
मेल खाते आइगेनमान \(D\) पर लिखें।
\(AP=PD\) जाँचें।
जरूरत हो तभी \(P^{-1}\) निकालें।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(A=\begin{pmatrix}2&1\\0&3\end{pmatrix}\) के लिए \(P\) और \(D\) बनाएँ।
\(\lambda=2\) के लिए \(v_1=(1,0)\)। \(\lambda=3\) के लिए \(y=x\), अतः \(v_2=(1,1)\)। इसलिए \[P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\quad D=\operatorname{diag}(2,3).\]
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(P\) के पहले स्तंभ का आइगेनमान \(4\) और दूसरे का \(-1\) है, तो \(D\) क्या है?
संकेत: पहली विकर्ण प्रविष्टि पहले स्तंभ से और दूसरी दूसरे स्तंभ से मेल खाती है।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(A=PDP^{-1}\), तो \(P\) कैसा होना चाहिए?
संकेत: सूत्र में \(P^{-1}\) है।
विकर्णीकरण घातों को प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि बनाता है
सीखने का लक्ष्य: घात निकालने और आइगेनमान प्रभाव जल्दी पढ़ने के लिए विकर्णीकरण उपयोग करें।
मुख्य विचार
यदि \(A=PDP^{-1}\), तो \[A^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}.\] \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\) के लिए \[D^n=\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_n^n).\]
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: यदि \(D=\operatorname{diag}(2,-1)\), तो \(D^3\) निकालें।
विकर्ण आव्यूह की घातें प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि हैं: \[D^3=\operatorname{diag}(2^3,(-1)^3)=\operatorname{diag}(8,-1).\]
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(A=PDP^{-1}\), तो \(A^3\) क्या है?
संकेत: बीच के \(P^{-1}P\) रद्द हो जाते हैं।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(A\) विकर्णीकरणीय है और आइगेनमान \(2\) तथा \(3\) हैं, तो \(A^2\) के आइगेनमान क्या हैं?
संकेत: \(A\) को वर्ग करने से विकर्ण प्रविष्टियाँ वर्ग होती हैं।
सारांश
\(A^n=PD^nP^{-1}\), न कि \(P^nD^nP^{-n}\)।
विकर्ण घातें प्रविष्टि-दर-प्रविष्टि होती हैं।
कोई आइगेनमान \(0\) न हो तो \(A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}\)।
संरचना पढ़ने के लिए विकर्ण प्रविष्टियाँ उपयोग करें
सीखने का लक्ष्य: विकर्णीकरणीय आव्यूह के समीकरणों को आइगेनमानों के समीकरणों में बदलें।
मुख्य विचार
\(A=PDP^{-1}\) होने पर \(A\) व्युत्क्रमणीय ठीक तब है जब हर आइगेनमान अशून्य हो। ट्रेस योग, निर्धारक गुणनफल और रैंक \(D\) की अशून्य विकर्ण प्रविष्टियों की संख्या से मिलती है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: यदि \(A\) विकर्णीकरणीय है और \(A^2=A\), तो कौन से आइगेनमान संभव हैं? यदि किसी और आव्यूह के आइगेनमान \(2,3,4\) हैं, तो ट्रेस और निर्धारक क्या हैं?
विकर्ण रूप में \(D^2=D\), इसलिए हर \(\lambda\) के लिए \(\lambda^2=\lambda\)। संभव आइगेनमान \(0\) और \(1\) हैं। \(2,3,4\) के लिए ट्रेस \(9\) और निर्धारक \(24\) है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(A\) विकर्णीकरणीय है और \(A^2=0\), तो \(A\) है:
संकेत: हर आइगेनमान \(\lambda^2=0\) संतुष्ट करता है।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(D=\operatorname{diag}(0,1,2)\), तो \(D\) की रैंक क्या है?
संकेत: अशून्य विकर्ण प्रविष्टियाँ गिनें।
विभाजन और दोहराई जड़ें महत्त्वपूर्ण हैं
सीखने का लक्ष्य: क्षेत्र-निर्भरता, न्यूनतम बहुपद कसौटी और भरोसेमंद अंतिम सूची समझें।
मुख्य विचार
विकर्णीकरण क्षेत्र पर निर्भर करता है। \(\mathbb{R}\) पर अवास्तविक आइगेनमान वाला आव्यूह वास्तविक आइगेन-बेसिस नहीं रख सकता। \(\mathbb{C}\) पर वे आइगेनमान उपलब्ध हो सकते हैं।
सामान्य भूलें
समान आव्यूहों का ट्रेस, निर्धारक, अभिलाक्षणिक बहुपद और आइगेनमान समान होते हैं, पर प्रविष्टियाँ नहीं।
विकर्णीकरणीय का अर्थ मूल आधार में विकर्ण होना नहीं है।
आइगेनमान होना काफी नहीं; आइगेन-उपस्थान आधार दें।
न्यूनतम बहुपद चुने हुए क्षेत्र में भिन्न रैखिक गुणकों में टूटना चाहिए।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(R=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\) को \(\mathbb{R}\) और \(\mathbb{C}\) पर तुलना करें।
अभिलाक्षणिक समीकरण \(\lambda^2+1=0\) है। \(\mathbb{R}\) पर जड़ें नहीं हैं, इसलिए वास्तविक विकर्णीकरण नहीं। \(\mathbb{C}\) पर आइगेनमान \(i\) और \(-i\) हैं, इसलिए विकर्णीकरण संभव है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि आव्यूह विकर्णीकरणीय है, तो उसके न्यूनतम बहुपद में:
संकेत: विकर्णीकरण दोहराए जॉर्डन-ब्लॉक व्यवहार को रोकता है।
स्वयं प्रयास 2: क्या असली \(2\times2\) जॉर्डन ब्लॉक विकर्णीकरणीय है?
संकेत: उसके पास दोहराए आइगेनमान के लिए केवल एक आइगेन-दिशा है।
अंतिम सारांश
विकर्णीकरणीय का अर्थ आइगेन-बेसिस होना है।
\(A=PDP^{-1}\) में \(P\) के स्तंभ आइगेनवेक्टर और \(D\) की प्रविष्टियाँ मेल खाते आइगेनमान हैं।
आयाम \(n\) में \(n\) भिन्न आइगेनमान विकर्णीकरण की गारंटी देते हैं।
दोहराए आइगेनमानों में आइगेन-उपस्थान आयाम जाँचें।
घात \(A^n=PD^nP^{-1}\) से निकलती है।
क्षेत्र और न्यूनतम बहुपद महत्त्वपूर्ण हैं।
अगला कदम: पाठ बंद करें और क्विज फिर से करें। हर प्रश्न में पहले तय करें कि बात आइगेन-बेसिस कसौटी, \(P,D\) निर्माण, दोहराए आइगेनमान की भूल, या विकर्ण प्रविष्टियों के परिणाम की है।
अभ्यास सेट
Diagonalization अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
एक मैट्रिक्स \(A\) विकर्णनीय होती है जब उसके पास होता है:
सही उत्तर: A. अभिलाक्षणिक सदिशों का एक आधार
व्याख्या: विकर्णीकरण का अर्थ है कि आधार अभिलाक्षणिक सदिशों से बना हो।
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
यदि \(2\times2\) मैट्रिक्स के दो अलग-अलग वास्तविक अभिलाक्षणिक मान हों, तो क्या वह \(\mathbb{R}\) पर विकर्णनीय है?
सही उत्तर: D. हाँ
व्याख्या: अलग-अलग अभिलाक्षणिक मानों के अभिलाक्षणिक सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं।
