Basis eigen membuat matriks menjadi diagonal

Ide utama

Misalkan \(v_1,\dots,v_n\) adalah basis dan \(Av_i=\lambda_i v_i\). Masukkan vektor-vektor ini ke kolom-kolom \(P\), dan letakkan nilai eigen yang bersesuaian pada diagonal \(D\): \[P=\begin{pmatrix}|& &|\\ v_1&\cdots&v_n\\ |& &|\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).\] Maka \(AP=PD\), sehingga \(A=PDP^{-1}\). Rumus ini bukan trik ajaib: rumus ini mengatakan bahwa dalam basis eigen, \(A\) hanya menskalakan koordinat.

Daftar cek pengenalan

• Cari nilai eigen dan ruang eigen.
• Pilih cukup banyak vektor eigen bebas untuk membentuk basis.
• Letakkan vektor eigen sebagai kolom \(P\).
• Letakkan nilai eigen yang cocok dalam urutan yang sama pada \(D\).
• Cek \(AP=PD\) sebelum menghitung \(P^{-1}\).

Contoh dikerjakan

Coba

Dapat didiagonalkan berarti memiliki cukup banyak vektor eigen bebas

Ide utama

Untuk matriks \(n\times n\), diagonalisasi memerlukan \(n\) vektor eigen yang bebas linear. Nilai eigen berbeda membantu karena vektor eigen yang terkait dengan nilai eigen berbeda otomatis bebas linear. Karena itu, \(n\) nilai eigen berbeda dalam dimensi \(n\) menjamin dapat didiagonalkan. Nilai eigen berulang tidak otomatis buruk, tetapi memerlukan pengecekan dimensi ruang eigen.

Daftar cek pengenalan

• Jika matriks memiliki \(n\) nilai eigen berbeda atas lapangan yang sedang digunakan, matriks itu dapat didiagonalkan.
• Jika nilai eigen berulang, hitung setiap ruang eigen \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\).
• Jumlahkan dimensi ruang-ruang eigen.
• Matriks dapat didiagonalkan tepat ketika jumlah itu adalah \(n\).

Contoh dikerjakan

Coba

Multiplisitas saja tidak cukup

Ide utama

Nilai eigen berulang masih bisa dapat didiagonalkan, tetapi hanya jika ruang eigennya cukup besar. Untuk setiap nilai eigen \(\lambda\), \[\dim E_\lambda\le \text{algebraic multiplicity of }\lambda.\] Diagonalisasi memerlukan kesamaan untuk setiap nilai eigen, sehingga multiplisitas geometriknya berjumlah \(n\). Blok Jordan nontrivial gagal karena hanya memiliki satu arah vektor eigen untuk nilai eigen berulang.

Kesalahan umum

• Akar berulang dari polinom karakteristik tidak otomatis berarti tidak dapat didiagonalkan.
• Matriks segitiga tidak otomatis dapat didiagonalkan.
• Matriks dengan satu nilai eigen dapat didiagonalkan hanya jika matriks itu sudah merupakan matriks skalar pada seluruh ruang.
• Blok Jordan nontrivial memiliki terlalu sedikit vektor eigen.

Contoh dikerjakan

Coba

Cocokkan setiap vektor eigen dengan nilai eigennya

Ide utama

Setelah menemukan basis eigen, diagonalisasi terutama soal pencatatan yang rapi. Jika kolom-kolom \(P\) adalah \(v_1,\dots,v_n\), maka entri diagonal \(D\) harus \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\), dengan \(Av_i=\lambda_i v_i\). Mengubah urutan kolom diperbolehkan, tetapi \(D\) harus berubah dengan urutan yang sama.

Daftar cek pengenalan

• Pilih vektor eigen bebas sampai Anda memiliki basis.
• Tulis vektor-vektor itu sebagai kolom \(P\).
• Tulis nilai eigen yang cocok pada diagonal \(D\).
• Cek \(AP=PD\), yang sering lebih cepat daripada mengalikan \(PDP^{-1}\).
• Hitung \(P^{-1}\) hanya jika perhitungan berikutnya benar-benar membutuhkannya.

Contoh dikerjakan

Coba

Diagonalisasi mengubah pangkat menjadi pangkat entri demi entri

Ide utama

Jika \(A=PDP^{-1}\), maka perkalian berulang membatalkan faktor tengah: \[A^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}.\] Untuk \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\), \[D^n=\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_n^n).\] Gagasan yang sama berlaku untuk banyak polinom dalam \(A\): terapkan polinom pada setiap entri diagonal.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(A^n=PD^nP^{-1}\), bukan \(P^nD^nP^{-n}\).
• Pangkat diagonal dihitung entri demi entri.
• Jika tidak ada nilai eigen yang \(0\), maka \(A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}\).

Gunakan entri diagonal untuk membaca struktur

Ide utama

Ketika \(A=PDP^{-1}\), banyak fakta struktural mereduksi menjadi entri diagonal. \(A\) dapat diinvers tepat ketika setiap nilai eigen tidak nol. Jejak adalah jumlah nilai eigen, determinan adalah hasil kalinya, dan rank adalah banyaknya entri diagonal tak nol dalam \(D\). Jika \(A\) memenuhi persamaan polinom seperti \(A^2=A\), maka setiap nilai eigen memenuhi persamaan skalar yang sama \(\lambda^2=\lambda\).

Contoh dikerjakan

Coba

Keterpecahan dan akar berulang penting

Ide utama

Diagonalisasi bergantung pada lapangan. Di atas \(\mathbb{R}\), matriks dengan nilai eigen nonreal tidak dapat memiliki basis eigen real. Di atas \(\mathbb{C}\), nilai eigen tersebut bisa tersedia. Uji tingkat tinggi yang ringkas adalah: suatu matriks dapat didiagonalkan atas suatu lapangan tepat ketika polinom minimalnya terpecah atas lapangan itu dan tidak memiliki akar berulang.

Kesalahan umum

• Matriks sebangun memiliki jejak, determinan, polinom karakteristik, dan nilai eigen yang sama, tetapi tidak memiliki entri yang sama.
• Dapat didiagonalkan tidak berarti diagonal dalam basis awal.
• Memiliki nilai eigen saja tidak cukup; ruang-ruang eigen harus menyediakan basis.
• Nilai eigen berbeda adalah cukup, bukan perlu.
• Polinom minimal harus terpecah menjadi faktor linear berbeda atas lapangan yang dipilih.

Contoh dikerjakan

Coba

Rekap akhir

• Dapat didiagonalkan berarti ada basis eigen.
• \(A=PDP^{-1}\) dengan kolom \(P\) berupa vektor eigen dan entri diagonal \(D\) berupa nilai eigen yang cocok.
• \(n\) nilai eigen berbeda dalam dimensi \(n\) menjamin dapat didiagonalkan.
• Nilai eigen berulang memerlukan cek dimensi ruang eigen.
• Blok Jordan nontrivial tidak dapat didiagonalkan.
• Pangkat memenuhi \(A^n=PD^nP^{-1}\).
• Jejak, determinan, rank, invertibilitas, dan persamaan polinom dapat dibaca dari bentuk diagonal.
• Lapangan dan polinom minimal berpengaruh.