Uma base de autovetores torna a matriz diagonal

Ideia-chave

Suponha que \(v_1,\dots,v_n\) seja uma base e que \(Av_i=\lambda_i v_i\). Coloque esses vetores nas colunas de \(P\) e coloque os autovalores correspondentes na diagonal de \(D\): \[P=\begin{pmatrix}|& &|\\ v_1&\cdots&v_n\\ |& &|\end{pmatrix},\qquad D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n).\] Então \(AP=PD\), logo \(A=PDP^{-1}\). A fórmula não é mágica: ela diz que, na base de autovetores, \(A\) apenas escala coordenadas.

Lista de reconhecimento

• Encontre autovalores e autoespaços.
• Escolha autovetores independentes suficientes para formar uma base.
• Coloque os autovetores como colunas de \(P\).
• Coloque os autovalores correspondentes na mesma ordem em \(D\).
• Verifique \(AP=PD\) antes de calcular \(P^{-1}\).

Exemplo resolvido

Pratique

Diagonalizável significa ter autovetores independentes suficientes

Ideia-chave

Para uma matriz \(n\times n\), a diagonalização exige \(n\) autovetores linearmente independentes. Autovalores distintos ajudam porque autovetores associados a autovalores distintos são automaticamente linearmente independentes. Portanto, \(n\) autovalores distintos em dimensão \(n\) garantem diagonalizabilidade. Autovalores repetidos não são automaticamente ruins, mas exigem verificar as dimensões dos autoespaços.

Lista de reconhecimento

• Se a matriz tem \(n\) autovalores distintos sobre o corpo que você está usando, ela é diagonalizável.
• Se autovalores se repetem, calcule cada autoespaço \(E_\lambda=\ker(A-\lambda I)\).
• Some as dimensões dos autoespaços.
• A matriz é diagonalizável exatamente quando essa soma é \(n\).

Exemplo resolvido

Pratique

A multiplicidade não basta

Ideia-chave

Um autovalor repetido ainda pode ser diagonalizável, mas somente se seu autoespaço for grande o bastante. Para cada autovalor \(\lambda\), \[\dim E_\lambda\le \text{multiplicidade algébrica de }\lambda.\] A diagonalização exige igualdade para todo autovalor, de modo que as multiplicidades geométricas somem \(n\). Um bloco de Jordan não trivial falha porque tem apenas uma direção de autovetor para um autovalor repetido.

Armadilhas comuns

• Uma raiz repetida do polinômio característico não significa automaticamente que a matriz não é diagonalizável.
• Uma matriz triangular não é automaticamente diagonalizável.
• Uma matriz com um único autovalor só pode ser diagonalizável se já for uma matriz escalar no espaço todo.
• Um bloco de Jordan não trivial tem autovetores de menos.

Exemplo resolvido

Pratique

Associe cada autovetor ao seu autovalor

Ideia-chave

Depois de encontrar uma base de autovetores, a diagonalização é principalmente organização. Se as colunas de \(P\) são \(v_1,\dots,v_n\), então as entradas diagonais de \(D\) devem ser \(\lambda_1,\dots,\lambda_n\), onde \(Av_i=\lambda_i v_i\). Mudar a ordem das colunas é permitido, mas \(D\) deve mudar na mesma ordem.

Lista de reconhecimento

• Escolha autovetores independentes até ter uma base.
• Escreva-os como colunas de \(P\).
• Escreva os autovalores correspondentes na diagonal de \(D\).
• Verifique \(AP=PD\), o que muitas vezes é mais rápido do que multiplicar \(PDP^{-1}\).
• Só calcule \(P^{-1}\) quando um cálculo posterior realmente precisar dele.

Exemplo resolvido

Pratique

A diagonalização transforma potências em potências entrada por entrada

Ideia-chave

Se \(A=PDP^{-1}\), então a multiplicação repetida cancela os fatores do meio: \[A^n=(PDP^{-1})^n=PD^nP^{-1}.\] Para \(D=\operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)\), \[D^n=\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\dots,\lambda_n^n).\] A mesma ideia funciona para muitos polinômios em \(A\): aplique o polinômio a cada entrada diagonal.

Exemplo resolvido

Pratique

Resumo

• \(A^n=PD^nP^{-1}\), não \(P^nD^nP^{-n}\).
• Potências diagonais são calculadas entrada por entrada.
• Se nenhum autovalor é \(0\), então \(A^{-1}=PD^{-1}P^{-1}\).

Use entradas diagonais para ler a estrutura

Ideia-chave

Quando \(A=PDP^{-1}\), muitos fatos estruturais se reduzem às entradas diagonais. \(A\) é invertível exatamente quando todo autovalor é não nulo. O traço é a soma dos autovalores, o determinante é o produto deles, e o posto é o número de entradas diagonais não nulas em \(D\). Se \(A\) satisfaz uma equação polinomial como \(A^2=A\), então cada autovalor satisfaz a mesma equação escalar \(\lambda^2=\lambda\).

Exemplo resolvido

Pratique

Fatoração e raízes repetidas importam

Ideia-chave

A diagonalização depende do corpo. Sobre \(\mathbb{R}\), uma matriz com autovalores não reais não pode ter uma base real de autovetores. Sobre \(\mathbb{C}\), esses autovalores podem ficar disponíveis. Um teste compacto de alto nível é: uma matriz é diagonalizável sobre um corpo exatamente quando seu polinômio minimal se fatora sobre esse corpo e não tem raiz repetida.

Armadilhas comuns

• Matrizes semelhantes compartilham traço, determinante, polinômio característico e autovalores, mas não as mesmas entradas.
• Diagonalizável não significa diagonal na base original.
• Ter autovalores não basta; os autoespaços devem fornecer uma base.
• Autovalores distintos são suficientes, não necessários.
• O polinômio minimal deve se fatorar em fatores lineares distintos sobre o corpo escolhido.

Exemplo resolvido

Pratique

Recapitulação final

• Diagonalizável significa que existe uma base de autovetores.
• \(A=PDP^{-1}\), com as colunas de \(P\) iguais a autovetores e as entradas diagonais de \(D\) iguais aos autovalores correspondentes.
• \(n\) autovalores distintos em dimensão \(n\) garantem diagonalizabilidade.
• Autovalores repetidos exigem verificações de dimensão dos autoespaços.
• Blocos de Jordan não triviais não são diagonalizáveis.
• Potências satisfazem \(A^n=PD^nP^{-1}\).
• Traço, determinante, posto, invertibilidade e equações polinomiais podem ser lidos da forma diagonal.
• O corpo e o polinômio minimal importam.