Cuestionario de práctica de conceptos básicos de integración de Lebesgue con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario más abajo en la página para practicar conceptos básicos de integración de Lebesgue: conjuntos medibles, funciones indicadoras \(1_A\), conjuntos nulos y razonamiento con propiedades que se cumplen casi en todas partes, funciones simples \(\sum a_i1_{A_i}\), integrales no negativas, monotonía, integrabilidad en \(L^1\) mediante \(\int |f|<\infty\), el teorema de convergencia monótona, el lema de Fatou, la convergencia dominada y errores comunes que involucran medida infinita o cambios en conjuntos nulos. Si necesitas repasar, abre la lección para ver ejemplos claros y comprobaciones rápidas.
Responde la serie de preguntas y revisa tus errores al final.
Cómo funciona esta práctica de conceptos básicos de integración de Lebesgue
1. Haz la serie de práctica: responde preguntas sobre indicadoras, conjuntos nulos, funciones simples, integrabilidad y teoremas de convergencia.
2. Abre la lección: repasa las definiciones, las hipótesis de los teoremas y ejemplos breves antes de volver a intentarlo.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y traduce cada problema en un cálculo de medida, una afirmación que se cumple casi en todas partes o una lista de verificación de teorema de convergencia.
Lo que aprenderás en la lección de conceptos básicos de integración de Lebesgue
Indicadoras y conjuntos nulos
Regla de la indicadora: \(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\).
Conjuntos nulos: cambiar valores en un conjunto de medida cero no cambia la integral.
Casi en todas partes: una propiedad puede fallar en un conjunto nulo y aun así cumplirse c.t.p.
Funciones simples y \(L^1\)
Funciones simples: sumas finitas \(\sum a_i1_{A_i}\) sobre conjuntos medibles.
Integral no negativa: aproxima desde abajo mediante funciones simples.
Integrable: \(f\in L^1\) significa \(\int |f|\,d\mu<\infty\); \(L^1\) trata como la misma clase a las funciones iguales c.t.p.
Teoremas de convergencia
Convergencia monótona: \(0\le f_n\uparrow f\) da \(\int f_n\to\int f\).
Fatou: \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) para \(f_n\) no negativas.
Convergencia dominada: una sola \(g\in L^1\) con \(|f_n|\le g\) permite pasar límites a través de integrales.
Errores comunes
Medida infinita: \(1_{\mathbb{R}}\) tiene integral infinita en \(\mathbb{R}\).
Convergencia puntual sola: no basta para la convergencia dominada.
Integral nula de una función no negativa: si \(f\ge0\) y \(\int f\,d\mu=0\), entonces \(f=0\) casi en todas partes.
Lección de conceptos básicos de integración de Lebesgue
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Resumen de la lección
Propósito: Construir una primera caja de herramientas fiable para la integración de Lebesgue: calcular integrales de indicadoras y funciones simples, usar correctamente conjuntos nulos e igualdad casi en todas partes, distinguir integrales no negativas de integrales finitas en \(L^1\), aplicar monotonía e integrabilidad absoluta, y elegir entre convergencia monótona, lema de Fatou y convergencia dominada comprobando primero las hipótesis.
Criterios de éxito
Calcular \(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\) y \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\).
Usar la aditividad numerable para conjuntos medibles disjuntos, la monotonía de conjuntos \(A\subset B\Rightarrow\mu(A)\le\mu(B)\) y los conjuntos nulos numerables.
Explicar que una propiedad se cumple casi en todas partes cuando falla solo en un conjunto nulo.
Integrar una función simple no negativa \(\sum a_i1_{A_i}\) como \(\sum a_i\mu(A_i)\) sobre piezas medibles disjuntas.
Saber que la integral no negativa puede ser \(+\infty\), y que \(\int f=0\) con \(f\ge0\) fuerza \(f=0\) c.t.p.
Usar \(f\in L^1\) para significar \(\int |f|\,d\mu<\infty\), y \(f_n\to f\) en \(L^1\) para significar \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\).
Aplicar hechos de \(L^1\): las funciones son finitas c.t.p., las sumas siguen siendo integrables, \(|\int f|\le\int |f|\), y las funciones iguales c.t.p. representan el mismo elemento de \(L^1\).
Usar convergencia monótona para \(0\le f_n\uparrow f\).
Usar el lema de Fatou y la convergencia dominada con la desigualdad y las hipótesis correctas.
Vocabulario clave
Indicadora: \(1_A(x)=1\) en \(A\) y \(0\) fuera de \(A\).
Conjunto nulo: un conjunto medible \(N\) con \(\mu(N)=0\).
Casi en todas partes: verdadero fuera de un conjunto nulo.
Función simple: una función medible con rango finito, usualmente escrita como \(\sum a_i1_{A_i}\).
Integral no negativa: el supremo de integrales de funciones simples por debajo de \(f\).
\(L^1\): el espacio de funciones integrables con \(\int |f|<\infty\).
Comprobación rápida previa
Comprobación previa: ¿Cuánto es \(\int 1_A\,d\mu\)?
Pista: La indicadora cuenta medida, no puntos de frontera ni un valor máximo.
Las indicadoras convierten la medida de conjuntos en integración
Objetivo de aprendizaje: Tratar \(1_A\) como el puente básico entre medida e integral, y usar conjuntos nulos sin preocuparte demasiado por excepciones puntuales.
Idea clave
Para cualquier conjunto medible \(A\), la integral de Lebesgue de su indicadora es su medida: \[\int 1_A\,d\mu=\mu(A).\] Si \(c\ge0\), entonces \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\). Cuando \(A\) y \(B\) son disjuntos, \(1_A+1_B=1_{A\cup B}\), así que la integración refleja la aditividad numerable. Si \(A\subset B\), entonces \(1_A\le1_B\), de modo que \(\mu(A)\le\mu(B)\).
Ejemplos
En \(\mathbb{R}\) con la medida de longitud, \(\int 1_{[1,3]}\,dx=2\).
Un conjunto unitario tiene medida \(0\), así que \(\int 1_{\{0\}}\,dx=0\).
Los racionales en \([0,1]\) son numerables, por lo tanto nulos.
\(\int 1_{\mathbb{R}}\,dx=+\infty\) en toda la recta real.
Casi en todas partes
Una afirmación se cumple casi en todas partes si el conjunto donde falla tiene medida \(0\). Las integrales de funciones medibles no negativas y de funciones en \(L^1\) no cambian cuando la función se altera en un conjunto nulo.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Cuánto es \(\int_0^1 1_{\mathbb{Q}}(x)\,dx\)?
Dentro de \([0,1]\), los racionales son numerables y tienen medida de Lebesgue \(0\). Por lo tanto, \(1_{\mathbb{Q}}\) es igual a \(0\) casi en todas partes en \([0,1]\), y la integral es \(0\).
Inténtalo
Inténtalo: Si una propiedad falla solo en los racionales de \([0,1]\), ¿se cumple casi en todas partes?
Pista: Un conjunto numerable tiene medida de Lebesgue \(0\).
Las funciones simples son los bloques de construcción de la integral
Objetivo de aprendizaje: Calcular integrales de funciones simples y ver por qué las integrales no negativas se construyen mediante aproximación desde abajo.
Idea clave
Una función simple no negativa tiene la forma \(s=\sum_{i=1}^m a_i1_{A_i}\), donde \(a_i\ge0\) y los conjuntos medibles \(A_i\) pueden elegirse disjuntos. Su integral es \[\int s\,d\mu=\sum_{i=1}^m a_i\,\mu(A_i).\] Para una función medible no negativa \(f\), define \(\int f\) como el supremo de \(\int s\) sobre funciones simples \(0\le s\le f\).
Pasos de construcción
Divide el dominio en piezas de nivel medibles.
Usa un valor constante en cada pieza.
Multiplica cada valor por la medida de la pieza donde aparece.
Suma las contribuciones, permitiendo que el resultado sea \(+\infty\) para funciones no negativas.
Usa la regla de funciones simples: \[\int s\,d\mu=3\mu(A)+1\mu(B)=3\cdot2+5=11.\]
Inténtalo
Inténtalo: Si \(A\cap B=\emptyset\), \(\mu(A)=3\), \(\mu(B)=1\), y \(s=2\,1_A+5\,1_B\), ¿cuánto es \(\int s\,d\mu\)?
Pista: Multiplica cada valor constante por la medida del conjunto donde aparece y luego suma.
Las integrales finitas en \(L^1\) vienen de la integrabilidad absoluta
Objetivo de aprendizaje: Separar integrales extendidas no negativas de integrales finitas con signo, y usar la monotonía de forma segura.
Idea clave
Para una función real medible, escribe \(f=f^+-f^-\), donde \(f^+=\max(f,0)\) y \(f^-=\max(-f,0)\). La integral \(\int f\) es finita cuando \(\int |f|\,d\mu<\infty\). Esto es exactamente \(f\in L^1\). La integrabilidad absoluta evita la expresión indefinida \(+\infty-\infty\).
Hechos para recordar
Si \(f\ge0\), entonces \(\int f\ge0\), posiblemente \(+\infty\).
Si \(f\ge0\) y \(\int f\,d\mu=0\), entonces \(f=0\) casi en todas partes.
Si \(0\le f\le g\) c.t.p., entonces \(\int f\le\int g\).
Si \(|f|\le g\) y \(g\in L^1\), entonces \(f\in L^1\).
Si \(f\in L^1\), entonces \(f\) es finita c.t.p. y \(|\int f\,d\mu|\le\int |f|\,d\mu<\infty\).
Si \(f,g\in L^1\), entonces \(f+g\in L^1\).
Si \(f=0\) c.t.p., entonces \(\int |f|=0\).
Si \(f=g\) c.t.p. y ambas son integrables, entonces \(\int f=\int g\); en \(L^1\), representan el mismo elemento.
\(f_n\to f\) en \(L^1\) significa \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Supón que \(|f|\le 2\,1_{[0,3]}\) en \(\mathbb{R}\). ¿Por qué \(f\in L^1\)?
La función dominante tiene integral finita: \(\int 2\,1_{[0,3]}\,dx=2\cdot3=6\). Como \(|f|\le 2\,1_{[0,3]}\), la monotonía da \(\int |f|\le6\), así que \(f\) es integrable.
Inténtalo
Inténtalo: Si \(0\le f\le g\) casi en todas partes, ¿qué se sigue para las integrales no negativas?
Pista: La integral de Lebesgue preserva el orden para funciones medibles no negativas.
Los límites crecientes no negativos conmutan con la integración
Objetivo de aprendizaje: Reconocer el teorema de convergencia monótona y usarlo sin exigir una función dominante separada.
Idea clave
Si \(0\le f_1\le f_2\le\cdots\) y \(f_n(x)\uparrow f(x)\) puntualmente, entonces \[\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu.\] El valor puede ser \(+\infty\). La no negatividad y el crecimiento monótono son las hipótesis clave.
Lista de verificación del teorema
Cada \(f_n\) es medible y no negativa.
La sucesión crece puntualmente: \(f_n\le f_{n+1}\).
El límite puntual es \(f=\sup_n f_n\).
No se requiere una función dominante integrable.
La conclusión es la convergencia de las integrales a la integral del límite.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Sea \(f_n=1_{[0,1-1/n]}\) en \([0,1]\). Halla \(\lim_n\int f_n\,dx\).
Los conjuntos \([0,1-1/n]\) crecen hacia \([0,1)\). Así, \(f_n\uparrow 1_{[0,1)}\). Por convergencia monótona, \[\lim_n\int f_n\,dx=\int 1_{[0,1)}\,dx=1.\]
Inténtalo
Inténtalo: Para \(f_n=1_{[0,1-1/n]}\) en \([0,1]\), ¿a qué tienden las integrales?
Pista: El conjunto límite tiene longitud \(1\), aunque le falte un extremo.
Fatou da la desigualdad unilateral que sobrevive con hipótesis débiles
Objetivo de aprendizaje: Recordar la dirección del lema de Fatou y cuándo no se debe esperar igualdad.
Idea clave
Para funciones medibles no negativas \(f_n\), el lema de Fatou dice \[\int \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu.\] Es una afirmación de semicontinuidad inferior: la masa puede desaparecer en el límite, pero la integral del límite inferior no puede superar el límite inferior de las integrales.
Qué dice
Úsalo cuando tengas funciones no negativas pero no crecimiento monótono.
Da una desigualdad, no igualdad automática.
A menudo prueba cotas inferiores para integrales límite.
Un error común es invertir la desigualdad.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Sea \(f_n=n\,1_{(0,1/n)}\) en \([0,1]\). ¿Qué muestra Fatou?
Cada \(\int_0^1 f_n\,dx=1\). Para cada \(x\in[0,1]\) fijo, \(f_n(x)\to0\); no queda masa concentrada en ningún punto, así que \(\liminf f_n=0\). Fatou da \(0=\int0\le\liminf\int f_n=1\). La igualdad no está forzada.
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuál es la desigualdad del lema de Fatou para \(f_n\) no negativas?
Pista: La integral del liminf queda en el lado menor.
Una cota integrable permite pasar límites a través de la integral
Objetivo de aprendizaje: Aplicar convergencia dominada comprobando convergencia c.t.p. y una función dominante integrable.
Idea clave
Si \(f_n\to f\) casi en todas partes y existe una sola \(g\in L^1\) tal que \(|f_n|\le g\) para todo \(n\), entonces \(f\in L^1\), \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\), y \(\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\). La misma \(g\) debe funcionar para toda la sucesión.
Lista de verificación del teorema
Medibilidad de las funciones involucradas.
Convergencia puntual o casi en todas partes \(f_n\to f\).
Una sola cota \(|f_n|\le g\) para todo \(n\).
La cota es integrable: \(g\in L^1\).
Conclusión: convergencia en \(L^1\) y convergencia de integrales.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: En \([0,1]\), usa convergencia dominada para \(f_n(x)=x^n\).
Tenemos \(0\le x^n\le1\), y \(1\in L^1([0,1])\). Además \(x^n\to0\) para \(0\le x<1\) y \(x^n\to1\) en \(x=1\), una excepción en un conjunto nulo. La convergencia dominada da \(\int_0^1 x^n\,dx\to0\). De hecho, \(\int_0^1x^n\,dx=1/(n+1)\).
Inténtalo
Inténtalo: ¿Cuál es la hipótesis extra clave en la convergencia dominada?
Pista: La convergencia puntual necesita una función dominante integrable para controlar toda la sucesión.
La mayoría de los errores ignoran conjuntos nulos, infinito o hipótesis de teoremas
Objetivo de aprendizaje: Terminar con las distinciones que mantienen fiable la caja de herramientas básica de Lebesgue.
Errores comunes
Cambios en conjuntos nulos: no cambian las integrales de funciones no negativas o integrables.
Puntual versus c.t.p.: las excepciones de un solo punto normalmente no importan para la integración.
Medida infinita: \(1_{\mathbb{R}}\) no está en \(L^1(\mathbb{R})\).
Integral no negativa: se permite que sea \(+\infty\).
Integral con signo: evita \(+\infty-\infty\); usa \(\int |f|<\infty\) para \(L^1\).
Convergencia monótona: necesita funciones no negativas crecientes.
Convergencia dominada: necesita una única función dominante integrable, no solo convergencia puntual.
Fatou: da una desigualdad unilateral, no una igualdad para pasar límites.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Por qué \(1_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}\) es integrable con integral \(0\), mientras que \(1_{\mathbb{R}}\) en \(\mathbb{R}\) no está en \(L^1\)?
La primera función es \(0\) casi en todas partes en un intervalo finito, así que su integral es \(0\). La segunda tiene \(\int_{\mathbb{R}}1\,dx=\mu(\mathbb{R})=+\infty\), así que su integral absoluta no es finita y no está en \(L^1(\mathbb{R})\).
Inténtalo
Inténtalo: Si \(f=g\) casi en todas partes y ambas son integrables, ¿qué se sigue?
Pista: La diferencia \(f-g\) es cero casi en todas partes.
Repaso final
\(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\), y \(A\subset B\Rightarrow\mu(A)\le\mu(B)\).
Los conjuntos nulos numerables tienen medida \(0\), y una unión numerable de conjuntos nulos es nula.
La igualdad casi en todas partes basta para la igualdad de integrales en el contexto no negativo o integrable.
Las funciones simples se integran sumando valor por medida sobre piezas medibles.
La integral no negativa puede ser \(+\infty\); si \(f\ge0\) y \(\int f=0\), entonces \(f=0\) c.t.p.
\(f\in L^1\) significa \(\int |f|<\infty\), así que \(f\) es finita c.t.p., \(|\int f|\le\int |f|\), y las sumas de funciones de \(L^1\) siguen estando en \(L^1\).
\(L^1\) identifica funciones que coinciden c.t.p.; \(f_n\to f\) en \(L^1\) significa \(\int |f_n-f|\to0\).
La convergencia monótona maneja \(0\le f_n\uparrow f\).
El lema de Fatou da \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) para \(f_n\) no negativas.
La convergencia dominada necesita \(f_n\to f\) c.t.p. y \(|f_n|\le g\in L^1\).
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar el cuestionario. Para cada pregunta, pregúntate primero si evalúa un cálculo con indicadoras, una excepción en conjunto nulo, una suma de función simple, integrabilidad en \(L^1\), convergencia monótona, lema de Fatou o convergencia dominada.
Serie de práctica
Preguntas de práctica de Lebesgue Integration Basics con puntuación instantánea
Responde las 10 preguntas de abajo y recibe tu puntuación final con una revisión de errores para saber exactamente qué mejorar.
0/10respondidas
Pregunta 1Sin responder
¿Cuál es la integral de Lebesgue del indicador \(1_A\)?
Respuesta correcta: C. La medida de \(A\)
Explicación: La integral de un indicador es la medida del conjunto.
Pregunta 2Sin responder
Si un conjunto tiene medida cero, ¿cuánto vale \(\int 1_A\)?
Respuesta correcta: B. \(0\)
Explicación: La integral de \(1_A\) es igual a la medida de \(A\).
Pregunta 3Sin responder
Cambiar una función medible en un conjunto de medida cero cambia su integral de Lebesgue:
Respuesta correcta: C. En absoluto
Explicación: La integración de Lebesgue ignora cambios en conjuntos de medida cero.
Pregunta 4Sin responder
¿Qué significa "casi en todas partes"?
Respuesta correcta: C. Excepto en un conjunto de medida cero
Explicación: Una propiedad se cumple casi en todas partes si falla solo en un conjunto de medida cero.
Pregunta 5Sin responder
La integral de una función medible no negativa es siempre:
Respuesta correcta: B. No negativa, posiblemente infinita
Explicación: No puede ser negativa, aunque puede ser infinita.
Pregunta 6Sin responder
¿Qué teorema se aplica a una sucesión creciente \(0\le f_n\uparrow f\)?
Respuesta correcta: B. Teorema de convergencia monótona
Explicación: El teorema de convergencia monótona trata sucesiones crecientes no negativas.
Pregunta 7Sin responder
¿Qué teorema usa una función integrable dominante para pasar un límite bajo la integral?
Respuesta correcta: D. Teorema de convergencia dominada
Explicación: El teorema de convergencia dominada usa una cota integrable.
Pregunta 8Sin responder
Si \(f=0\) casi en todas partes, entonces \(\int |f|\) es:
Respuesta correcta: A. \(0\)
Explicación: Una función nula casi en todas partes tiene integral cero de su valor absoluto.
Pregunta 9Sin responder
Una función simple toma:
Respuesta correcta: A. Una cantidad finita de valores
Explicación: Las funciones simples toman solo una cantidad finita de valores y son piezas básicas para la integral.
Pregunta 10Sin responder
La integral de Lebesgue es especialmente buena para manejar:
Respuesta correcta: C. Límites de funciones medibles
Explicación: Sus teoremas de convergencia facilitan integrar límites de funciones.
