लेबेग समाकलन की बुनियादों पर अभ्यास क्विज और चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ
नीचे दिए गए क्विज़ से लेबेग समाकलन की बुनियादों का अभ्यास करें: मापनीय समुच्चय, संकेतक फलन \(1_A\), शून्य-माप समुच्चय और लगभग सर्वत्र तर्क, सरल फलन \(\sum a_i1_{A_i}\), अऋणात्मक समाकल, एकरसता, \(\int |f|<\infty\) के माध्यम से \(L^1\) समाकलनीयता, एकरस अभिसरण प्रमेय, फातू का लेम्मा, प्रभुत्व अभिसरण, और अनंत माप या शून्य-माप समुच्चय पर बदले गए मानों से जुड़ी आम चूकें। दोहराना हो तो आसान उदाहरणों और छोटी जाँचों के लिए पाठ खोलें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
लेबेग समाकलन की बुनियादों का यह अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज लें: संकेतक फलनों, शून्य-माप समुच्चयों, सरल फलनों, समाकलनीयता और अभिसरण प्रमेयों पर प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें: फिर से प्रयास करने से पहले परिभाषाएं, प्रमेयों की शर्तें और छोटे उदाहरण दोहराएं।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज पर लौटें और हर प्रश्न को माप-गणना, लगभग सर्वत्र कथन या अभिसरण प्रमेय की जाँच-सूची में बदलें।
लेबेग समाकलन की बुनियादों के पाठ में आप क्या सीखेंगे
संकेतक फलन और शून्य-माप समुच्चय
संकेतक नियम: \(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\).
शून्य-माप समुच्चय: माप-शून्य समुच्चय पर मान बदलने से समाकल नहीं बदलता।
लगभग सर्वत्र: कोई गुण शून्य-माप समुच्चय पर असफल होकर भी लगभग सर्वत्र सही हो सकता है।
सरल फलन और \(L^1\)
सरल फलन: मापनीय समुच्चयों पर सीमित योग \(\sum a_i1_{A_i}\)।
अऋणात्मक समाकल: नीचे से सरल फलनों द्वारा सन्निकट करें।
समाकलनीय: \(f\in L^1\) का अर्थ है \(\int |f|\,d\mu<\infty\); \(L^1\) लगभग सर्वत्र समान फलनों को एक ही वर्ग मानता है।
अभिसरण प्रमेय
एकरस अभिसरण: \(0\le f_n\uparrow f\) से \(\int f_n\to\int f\) मिलता है।
फातू: अऋणात्मक \(f_n\) के लिए \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\)।
प्रभुत्व अभिसरण: यदि कोई एक \(g\in L^1\) ऐसा हो कि \(|f_n|\le g\), तो सीमाएं समाकलों के भीतर ले जा सकते हैं।
आम चूकें
अनंत माप: \(\mathbb{R}\) पर \(1_{\mathbb{R}}\) का समाकल अनंत है।
केवल बिंदुवार अभिसरण: प्रभुत्व अभिसरण के लिए इतना काफी नहीं है।
शून्य अऋणात्मक समाकल: यदि \(f\ge0\) और \(\int f\,d\mu=0\), तो \(f=0\) लगभग सर्वत्र।
उद्देश्य: लेबेग समाकलन के लिए भरोसेमंद शुरुआती औजार बनाना: संकेतक और सरल फलनों के समाकल निकालना, शून्य-माप समुच्चयों और लगभग सर्वत्र समानता का सही उपयोग करना, अऋणात्मक समाकलों और सीमित \(L^1\) समाकलों में फर्क करना, एकरसता और निरपेक्ष समाकलनीयता लागू करना, और पहले शर्तें जाँचकर एकरस अभिसरण, फातू के लेम्मा और प्रभुत्व अभिसरण में से सही प्रमेय चुनना।
सफलता मानदंड
\(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\) और \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\) निकालें।
विच्छिन्न मापनीय समुच्चयों के लिए गणनीय योगात्मकता, समुच्चय-एकरसता \(A\subset B\Rightarrow\mu(A)\le\mu(B)\), और गणनीय शून्य-माप समुच्चयों का उपयोग करें।
समझाएं कि कोई गुण लगभग सर्वत्र तब सही होता है जब वह केवल शून्य-माप समुच्चय पर असफल हो।
अऋणात्मक सरल फलन \(\sum a_i1_{A_i}\) को विच्छिन्न मापनीय टुकड़ों पर \(\sum a_i\mu(A_i)\) के रूप में समाकलित करें।
जानें कि अऋणात्मक समाकल \(+\infty\) हो सकता है, और \(f\ge0\) के साथ \(\int f=0\) होने पर \(f=0\) लगभग सर्वत्र होता है।
\(f\in L^1\) का अर्थ \(\int |f|\,d\mu<\infty\) लें, और \(L^1\) में \(f_n\to f\) का अर्थ \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\) लें।
\(L^1\) तथ्य लागू करें: फलन लगभग सर्वत्र सीमित होते हैं, योग समाकलनीय रहते हैं, \(|\int f|\le\int |f|\), और लगभग सर्वत्र समान फलन वही \(L^1\) अवयव दर्शाते हैं।
एकरसता लागू करें: \(0\le f\le g\) लगभग सर्वत्र होने पर \(\int f\le\int g\)।
\(0\le f_n\uparrow f\) के लिए एकरस अभिसरण का उपयोग करें।
फातू के लेम्मा और प्रभुत्व अभिसरण को सही असमता और शर्तों के साथ लागू करें।
मुख्य शब्दावली
संकेतक: \(1_A(x)=1\) \(A\) पर और \(A\) के बाहर \(0\)।
शून्य-माप समुच्चय: मापनीय समुच्चय \(N\) जिसके लिए \(\mu(N)=0\)।
लगभग सर्वत्र: शून्य-माप समुच्चय के बाहर सत्य।
सरल फलन: सीमित परिसर वाला मापनीय फलन, जिसे अक्सर \(\sum a_i1_{A_i}\) लिखा जाता है।
अऋणात्मक समाकल: \(f\) से नीचे स्थित सरल फलनों के समाकलों का सुप्रीमम।
\(L^1\): समाकलनीय फलनों का स्थान जहां \(\int |f|<\infty\)।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच: \(\int 1_A\,d\mu\) क्या है?
संकेत: संकेतक माप गिनता है, सीमा-बिंदु या अधिकतम मान नहीं।
संकेतक समुच्चय के माप को समाकलन में बदलते हैं
सीखने का लक्ष्य: \(1_A\) को माप और समाकल के बीच मूल पुल की तरह लें, और शून्य-माप समुच्चयों का उपयोग करते समय बिंदुवार अपवादों में न उलझें।
मुख्य विचार
किसी भी मापनीय समुच्चय \(A\) के लिए उसके संकेतक का लेबेग समाकल उसका माप है: \[\int 1_A\,d\mu=\mu(A).\] यदि \(c\ge0\), तो \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\). जब \(A\) और \(B\) विच्छिन्न हों, तो \(1_A+1_B=1_{A\cup B}\), इसलिए समाकलन गणनीय योगात्मकता को दर्शाता है। यदि \(A\subset B\), तो \(1_A\le1_B\), अतः \(\mu(A)\le\mu(B)\)।
उदाहरण
लंबाई माप के साथ \(\mathbb{R}\) पर, \(\int 1_{[1,3]}\,dx=2\)।
एकल बिंदु का माप \(0\) है, इसलिए \(\int 1_{\{0\}}\,dx=0\)।
\([0,1]\) में परिमेय संख्याएं गणनीय हैं, इसलिए शून्य-माप हैं।
पूरी वास्तविक रेखा पर \(\int 1_{\mathbb{R}}\,dx=+\infty\)।
लगभग सर्वत्र
कोई कथन लगभग सर्वत्र तब सही होता है जब जहां वह असफल होता है उस समुच्चय का माप \(0\) हो। अऋणात्मक मापनीय फलनों और \(L^1\) फलनों के समाकल तब नहीं बदलते जब फलन को शून्य-माप समुच्चय पर बदला जाए।
\([0,1]\) के भीतर परिमेय संख्याएं गणनीय हैं और उनका लेबेग माप \(0\) है। इसलिए \([0,1]\) पर \(1_{\mathbb{Q}}\) लगभग सर्वत्र \(0\) के बराबर है, और समाकल \(0\) है।
स्वयं आजमाएं
स्वयं आजमाएं: यदि \([0,1]\) में कोई गुण केवल परिमेय संख्याओं पर असफल होता है, तो क्या वह लगभग सर्वत्र सही है?
संकेत: किसी गणनीय समुच्चय का लेबेग माप \(0\) होता है।
सरल फलन समाकल के निर्माण-खंड हैं
सीखने का लक्ष्य: सरल फलनों के समाकल निकालें और देखें कि अऋणात्मक समाकल नीचे से सन्निकटन द्वारा क्यों बनते हैं।
मुख्य विचार
अऋणात्मक सरल फलन का रूप \(s=\sum_{i=1}^m a_i1_{A_i}\) होता है, जहां \(a_i\ge0\) और मापनीय समुच्चय \(A_i\) विच्छिन्न चुने जा सकते हैं। इसका समाकल है \[\int s\,d\mu=\sum_{i=1}^m a_i\,\mu(A_i).\] अऋणात्मक मापनीय \(f\) के लिए, \(\int f\) को उन सरल \(0\le s\le f\) के \(\int s\) के सुप्रीमम के रूप में परिभाषित करें।
निर्माण चरण
प्रांत को मापनीय स्तर-टुकड़ों में बांटें।
हर टुकड़े पर एक स्थिर मान लें।
हर मान को उसके टुकड़े के माप से गुणा करें।
योगदानों को जोड़ें; अऋणात्मक फलनों के लिए परिणाम \(+\infty\) भी हो सकता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: मान लें \(A\cap B=\emptyset\), \(\mu(A)=2\), \(\mu(B)=5\), और \(s=3\,1_A+1_B\)। \(\int s\,d\mu\) निकालें।
सरल-फलन नियम का उपयोग करें: \[\int s\,d\mu=3\mu(A)+1\mu(B)=3\cdot2+5=11.\]
स्वयं आजमाएं
स्वयं आजमाएं: यदि \(A\cap B=\emptyset\), \(\mu(A)=3\), \(\mu(B)=1\), और \(s=2\,1_A+5\,1_B\), तो \(\int s\,d\mu\) क्या है?
संकेत: हर स्थिर मान को उस समुच्चय के माप से गुणा करें जहां वह आता है, फिर जोड़ दें।
सीमित \(L^1\) समाकल निरपेक्ष समाकलनीयता से आते हैं
सीखने का लक्ष्य: अऋणात्मक विस्तारित समाकलों को सीमित चिन्हित समाकलों से अलग करें, और एकरसता का सुरक्षित उपयोग करें।
मुख्य विचार
वास्तविक मापनीय फलन के लिए \(f=f^+-f^-\) लिखें, जहां \(f^+=\max(f,0)\) और \(f^-=\max(-f,0)\)। समाकल \(\int f\) सीमित तब होता है जब \(\int |f|\,d\mu<\infty\)। यही ठीक \(f\in L^1\) है। निरपेक्ष समाकलनीयता अपरिभाषित व्यंजक \(+\infty-\infty\) से बचाती है।
याद रखने योग्य तथ्य
यदि \(f\ge0\), तो \(\int f\ge0\), संभवतः \(+\infty\)।
यदि \(f\ge0\) और \(\int f\,d\mu=0\), तो \(f=0\) लगभग सर्वत्र।
यदि \(0\le f\le g\) लगभग सर्वत्र, तो \(\int f\le\int g\)।
यदि \(|f|\le g\) और \(g\in L^1\), तो \(f\in L^1\)।
यदि \(f\in L^1\), तो \(f\) लगभग सर्वत्र सीमित है और \(|\int f\,d\mu|\le\int |f|\,d\mu<\infty\)।
यदि \(f,g\in L^1\), तो \(f+g\in L^1\)।
यदि \(f=0\) लगभग सर्वत्र, तो \(\int |f|=0\)।
यदि \(f=g\) लगभग सर्वत्र और दोनों समाकलनीय हैं, तो \(\int f=\int g\); \(L^1\) में वे वही अवयव दर्शाते हैं।
\(L^1\) में \(f_n\to f\) का अर्थ है \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: मान लें \(\mathbb{R}\) पर \(|f|\le 2\,1_{[0,3]}\)। \(f\in L^1\) क्यों है?
प्रभुत्वकारी फलन का समाकल सीमित है: \(\int 2\,1_{[0,3]}\,dx=2\cdot3=6\)। चूंकि \(|f|\le 2\,1_{[0,3]}\), एकरसता से \(\int |f|\le6\), इसलिए \(f\) समाकलनीय है।
स्वयं आजमाएं
स्वयं आजमाएं: यदि \(0\le f\le g\) लगभग सर्वत्र, तो अऋणात्मक समाकलों के लिए क्या निष्कर्ष निकलता है?
संकेत: लेबेग समाकल अऋणात्मक मापनीय फलनों के लिए क्रम को सुरक्षित रखता है।
बढ़ती अऋणात्मक सीमाएं समाकलन के साथ अदल-बदल करती हैं
सीखने का लक्ष्य: एकरस अभिसरण प्रमेय को पहचानें और अलग प्रभुत्वकारी फलन मांगे बिना इसका उपयोग करें।
मुख्य विचार
यदि \(0\le f_1\le f_2\le\cdots\) और \(f_n(x)\uparrow f(x)\) बिंदुवार, तो \[\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu.\] मान \(+\infty\) हो सकता है। अऋणात्मकता और एकरस वृद्धि मुख्य शर्तें हैं।
प्रमेय जाँच-सूची
हर \(f_n\) मापनीय और अऋणात्मक है।
अनुक्रम बिंदुवार बढ़ता है: \(f_n\le f_{n+1}\)।
बिंदुवार सीमा \(f=\sup_n f_n\) है।
समाकलनीय प्रभुत्वकारी फलन की जरूरत नहीं है।
निष्कर्ष है कि समाकल सीमा फलन के समाकल की ओर अभिसरित होते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \([0,1]\) पर \(f_n=1_{[0,1-1/n]}\) हो। \(\lim_n\int f_n\,dx\) निकालें।
समुच्चय \([0,1-1/n]\), \([0,1)\) तक बढ़ते हैं। अतः \(f_n\uparrow 1_{[0,1)}\)। एकरस अभिसरण से, \[\lim_n\int f_n\,dx=\int 1_{[0,1)}\,dx=1.\]
स्वयं आजमाएं
स्वयं आजमाएं: \([0,1]\) पर \(f_n=1_{[0,1-1/n]}\) के लिए समाकल किस ओर जाते हैं?
संकेत: सीमा-समुच्चय की लंबाई \(1\) है, भले ही उसमें एक अंतिम बिंदु न हो।
फातू कमजोर शर्तों में बची रहने वाली एकतरफा असमता देता है
सीखने का लक्ष्य: फातू के लेम्मा की दिशा याद रखें और जानें कि समानता की उम्मीद कब नहीं करनी चाहिए।
मुख्य विचार
अऋणात्मक मापनीय फलनों \(f_n\) के लिए फातू का लेम्मा कहता है \[\int \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu.\] यह निम्न-अर्धसांतत्य का कथन है: सीमा में द्रव्यमान गायब हो सकता है, पर निचली सीमा का समाकल समाकलों की निचली सीमा से बड़ा नहीं हो सकता।
यह क्या कहता है
इसे तब उपयोग करें जब अऋणात्मक फलन हों पर एकरस वृद्धि न हो।
यह असमता देता है, अपने-आप समानता नहीं।
यह अक्सर सीमा-समाकलों के लिए निचले बंध सिद्ध करता है।
आम गलती असमता की दिशा उलट देना है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \([0,1]\) पर \(f_n=n\,1_{(0,1/n)}\) हो। फातू क्या दिखाता है?
हर \(\int_0^1 f_n\,dx=1\)। हर स्थिर \(x\in[0,1]\) के लिए \(f_n(x)\to0\), क्योंकि किसी बिंदु पर द्रव्यमान नहीं बचता, इसलिए \(\liminf f_n=0\)। फातू देता है \(0=\int0\le\liminf\int f_n=1\)। समानता बाध्य नहीं है।
स्वयं आजमाएं
स्वयं आजमाएं: अऋणात्मक \(f_n\) के लिए फातू के लेम्मा की कौन-सी असमता है?
संकेत: निचली सीमा का समाकल छोटी तरफ बैठता है।
समाकलनीय बंध सीमा को समाकल के भीतर ले जाने देता है
सीखने का लक्ष्य: लगभग सर्वत्र अभिसरण और एक ही समाकलनीय प्रभुत्वकारी फलन जाँचकर प्रभुत्व अभिसरण लागू करें।
मुख्य विचार
यदि \(f_n\to f\) लगभग सर्वत्र और कोई एक \(g\in L^1\) ऐसा है कि सभी \(n\) के लिए \(|f_n|\le g\), तो \(f\in L^1\), \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\), और \(\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\)। वही \(g\) पूरे अनुक्रम के लिए काम करना चाहिए।
प्रमेय जाँच-सूची
शामिल फलनों की मापनीयता।
बिंदुवार या लगभग सर्वत्र अभिसरण \(f_n\to f\)।
हर \(n\) के लिए एक ही बंध \(|f_n|\le g\)।
बंध समाकलनीय है: \(g\in L^1\)।
निष्कर्ष: \(L^1\) में अभिसरण और समाकलों का अभिसरण।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \([0,1]\) पर \(f_n(x)=x^n\) के लिए प्रभुत्व अभिसरण का उपयोग करें।
हमारे पास \(0\le x^n\le1\) है, और \(1\in L^1([0,1])\)। साथ ही \(0\le x<1\) के लिए \(x^n\to0\) और \(x=1\) पर \(x^n\to1\), जो शून्य-माप अपवाद है। प्रभुत्व अभिसरण देता है \(\int_0^1 x^n\,dx\to0\)। सचमुच \(\int_0^1x^n\,dx=1/(n+1)\)।
स्वयं आजमाएं
स्वयं आजमाएं: प्रभुत्व अभिसरण में मुख्य अतिरिक्त शर्त क्या है?
संकेत: बिंदुवार अभिसरण को पूरे अनुक्रम को नियंत्रित करने वाला एक समाकलनीय आवरण चाहिए।
अधिकतर गलतियां शून्य-माप समुच्चयों, अनंतता या प्रमेय-शर्तों की अनदेखी से आती हैं
सीखने का लक्ष्य: उन भेदों के साथ समाप्त करें जो लेबेग के बुनियादी औजारों को भरोसेमंद रखते हैं।
आम चूकें
शून्य-माप समुच्चय पर बदलाव: वे अऋणात्मक या समाकलनीय फलनों के समाकल नहीं बदलते।
बिंदुवार बनाम लगभग सर्वत्र: एक-बिंदु अपवाद आम तौर पर समाकलन में फर्क नहीं डालते।
अनंत माप: \(1_{\mathbb{R}}\), \(L^1(\mathbb{R})\) में नहीं है।
अऋणात्मक समाकल: इसे \(+\infty\) होने की अनुमति है।
चिन्हित समाकल: \(+\infty-\infty\) से बचें; \(L^1\) के लिए \(\int |f|<\infty\) उपयोग करें।
एकरस अभिसरण: अऋणात्मक बढ़ते फलन चाहिए।
प्रभुत्व अभिसरण: एक ही समाकलनीय प्रभुत्वकारी फलन चाहिए, केवल बिंदुवार अभिसरण नहीं।
फातू: एकतरफा असमता देता है, सीमा को समाकल में ले जाने वाली समानता नहीं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(1_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}\) समाकल \(0\) के साथ समाकलनीय क्यों है, जबकि \(\mathbb{R}\) पर \(1_{\mathbb{R}}\), \(L^1\) में नहीं है?
पहला फलन सीमित अंतराल पर लगभग सर्वत्र \(0\) है, इसलिए उसका समाकल \(0\) है। दूसरे के लिए \(\int_{\mathbb{R}}1\,dx=\mu(\mathbb{R})=+\infty\), इसलिए उसका निरपेक्ष समाकल सीमित नहीं है और वह \(L^1(\mathbb{R})\) में नहीं है।
स्वयं आजमाएं
स्वयं आजमाएं: यदि \(f=g\) लगभग सर्वत्र और दोनों समाकलनीय हैं, तो क्या निष्कर्ष है?
संकेत: अंतर \(f-g\) लगभग सर्वत्र शून्य है।
अंतिम सारांश
\(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\), और \(A\subset B\Rightarrow\mu(A)\le\mu(B)\)।
गणनीय शून्य-माप समुच्चयों का माप \(0\) होता है, और शून्य-माप समुच्चयों का गणनीय संघ भी शून्य-माप होता है।
अऋणात्मक या समाकलनीय स्थिति में समाकलों की समानता के लिए लगभग सर्वत्र समानता काफी है।
सरल फलनों का समाकल मापनीय टुकड़ों पर मान गुणा माप जोड़कर निकाला जाता है।
अऋणात्मक समाकल \(+\infty\) हो सकता है; यदि \(f\ge0\) और \(\int f=0\), तो \(f=0\) लगभग सर्वत्र।
\(f\in L^1\) का अर्थ \(\int |f|<\infty\) है, इसलिए \(f\) लगभग सर्वत्र सीमित है, \(|\int f|\le\int |f|\), और \(L^1\) फलनों के योग \(L^1\) में रहते हैं।
\(L^1\) उन फलनों की पहचान करता है जो लगभग सर्वत्र समान हैं; \(L^1\) में \(f_n\to f\) का अर्थ \(\int |f_n-f|\to0\) है।
एकरसता: \(0\le f\le g\) लगभग सर्वत्र होने पर \(\int f\le\int g\)।
एकरस अभिसरण \(0\le f_n\uparrow f\) को संभालता है।
फातू का लेम्मा अऋणात्मक \(f_n\) के लिए \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) देता है।
प्रभुत्व अभिसरण के लिए \(f_n\to f\) लगभग सर्वत्र और \(|f_n|\le g\in L^1\) चाहिए।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और क्विज फिर से करें। हर प्रश्न में पहले पूछें कि वह संकेतक-गणना, शून्य-माप अपवाद, सरल-फलन योग, \(L^1\) समाकलनीयता, एकरस अभिसरण, फातू के लेम्मा या प्रभुत्व अभिसरण की जाँच कर रहा है।
