संकेतक समुच्चय के माप को समाकलन में बदलते हैं

मुख्य विचार

किसी भी मापनीय समुच्चय \(A\) के लिए उसके संकेतक का लेबेग समाकल उसका माप है: \[\int 1_A\,d\mu=\mu(A).\] यदि \(c\ge0\), तो \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\). जब \(A\) और \(B\) विच्छिन्न हों, तो \(1_A+1_B=1_{A\cup B}\), इसलिए समाकलन गणनीय योगात्मकता को दर्शाता है। यदि \(A\subset B\), तो \(1_A\le1_B\), अतः \(\mu(A)\le\mu(B)\)।

उदाहरण

• लंबाई माप के साथ \(\mathbb{R}\) पर, \(\int 1_{[1,3]}\,dx=2\)।
• एकल बिंदु का माप \(0\) है, इसलिए \(\int 1_{\{0\}}\,dx=0\)।
• \([0,1]\) में परिमेय संख्याएं गणनीय हैं, इसलिए शून्य-माप हैं।
• पूरी वास्तविक रेखा पर \(\int 1_{\mathbb{R}}\,dx=+\infty\)।

लगभग सर्वत्र

कोई कथन लगभग सर्वत्र तब सही होता है जब जहां वह असफल होता है उस समुच्चय का माप \(0\) हो। अऋणात्मक मापनीय फलनों और \(L^1\) फलनों के समाकल तब नहीं बदलते जब फलन को शून्य-माप समुच्चय पर बदला जाए।

हल किया हुआ उदाहरण

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सरल फलन समाकल के निर्माण-खंड हैं

मुख्य विचार

अऋणात्मक सरल फलन का रूप \(s=\sum_{i=1}^m a_i1_{A_i}\) होता है, जहां \(a_i\ge0\) और मापनीय समुच्चय \(A_i\) विच्छिन्न चुने जा सकते हैं। इसका समाकल है \[\int s\,d\mu=\sum_{i=1}^m a_i\,\mu(A_i).\] अऋणात्मक मापनीय \(f\) के लिए, \(\int f\) को उन सरल \(0\le s\le f\) के \(\int s\) के सुप्रीमम के रूप में परिभाषित करें।

निर्माण चरण

• प्रांत को मापनीय स्तर-टुकड़ों में बांटें।
• हर टुकड़े पर एक स्थिर मान लें।
• हर मान को उसके टुकड़े के माप से गुणा करें।
• योगदानों को जोड़ें; अऋणात्मक फलनों के लिए परिणाम \(+\infty\) भी हो सकता है।

हल किया हुआ उदाहरण

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सीमित \(L^1\) समाकल निरपेक्ष समाकलनीयता से आते हैं

मुख्य विचार

वास्तविक मापनीय फलन के लिए \(f=f^+-f^-\) लिखें, जहां \(f^+=\max(f,0)\) और \(f^-=\max(-f,0)\)। समाकल \(\int f\) सीमित तब होता है जब \(\int |f|\,d\mu<\infty\)। यही ठीक \(f\in L^1\) है। निरपेक्ष समाकलनीयता अपरिभाषित व्यंजक \(+\infty-\infty\) से बचाती है।

याद रखने योग्य तथ्य

• यदि \(f\ge0\), तो \(\int f\ge0\), संभवतः \(+\infty\)।
• यदि \(f\ge0\) और \(\int f\,d\mu=0\), तो \(f=0\) लगभग सर्वत्र।
• यदि \(0\le f\le g\) लगभग सर्वत्र, तो \(\int f\le\int g\)।
• यदि \(|f|\le g\) और \(g\in L^1\), तो \(f\in L^1\)।
• यदि \(f\in L^1\), तो \(f\) लगभग सर्वत्र सीमित है और \(|\int f\,d\mu|\le\int |f|\,d\mu<\infty\)।
• यदि \(f,g\in L^1\), तो \(f+g\in L^1\)।
• यदि \(f=0\) लगभग सर्वत्र, तो \(\int |f|=0\)।
• यदि \(f=g\) लगभग सर्वत्र और दोनों समाकलनीय हैं, तो \(\int f=\int g\); \(L^1\) में वे वही अवयव दर्शाते हैं।
• \(L^1\) में \(f_n\to f\) का अर्थ है \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\)।

हल किया हुआ उदाहरण

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बढ़ती अऋणात्मक सीमाएं समाकलन के साथ अदल-बदल करती हैं

मुख्य विचार

यदि \(0\le f_1\le f_2\le\cdots\) और \(f_n(x)\uparrow f(x)\) बिंदुवार, तो \[\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu.\] मान \(+\infty\) हो सकता है। अऋणात्मकता और एकरस वृद्धि मुख्य शर्तें हैं।

प्रमेय जांच-सूची

• हर \(f_n\) मापनीय और अऋणात्मक है।
• अनुक्रम बिंदुवार बढ़ता है: \(f_n\le f_{n+1}\)।
• बिंदुवार सीमा \(f=\sup_n f_n\) है।
• समाकलनीय प्रभुत्वकारी फलन की जरूरत नहीं है।
• निष्कर्ष है कि समाकल सीमा फलन के समाकल की ओर अभिसरित होते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

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फातू कमजोर शर्तों में बची रहने वाली एकतरफा असमता देता है

मुख्य विचार

अऋणात्मक मापनीय फलनों \(f_n\) के लिए फातू का लेम्मा कहता है \[\int \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu.\] यह निम्न-अर्धसांतत्य का कथन है: सीमा में द्रव्यमान गायब हो सकता है, पर निचली सीमा का समाकल समाकलों की निचली सीमा से बड़ा नहीं हो सकता।

यह क्या कहता है

• इसे तब उपयोग करें जब अऋणात्मक फलन हों पर एकरस वृद्धि न हो।
• यह असमता देता है, अपने-आप समानता नहीं।
• यह अक्सर सीमा-समाकलों के लिए निचले बंध सिद्ध करता है।
• आम गलती असमता की दिशा उलट देना है।

हल किया हुआ उदाहरण

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समाकलनीय बंध सीमा को समाकल के भीतर ले जाने देता है

मुख्य विचार

यदि \(f_n\to f\) लगभग सर्वत्र और कोई एक \(g\in L^1\) ऐसा है कि सभी \(n\) के लिए \(|f_n|\le g\), तो \(f\in L^1\), \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\), और \(\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\)। वही \(g\) पूरे अनुक्रम के लिए काम करना चाहिए।

प्रमेय जांच-सूची

• शामिल फलनों की मापनीयता।
• बिंदुवार या लगभग सर्वत्र अभिसरण \(f_n\to f\)।
• हर \(n\) के लिए एक ही बंध \(|f_n|\le g\)।
• बंध समाकलनीय है: \(g\in L^1\)।
• निष्कर्ष: \(L^1\) में अभिसरण और समाकलों का अभिसरण।

हल किया हुआ उदाहरण

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अधिकतर गलतियां शून्य-माप समुच्चयों, अनंतता या प्रमेय-शर्तों की अनदेखी से आती हैं

आम चूकें

• शून्य-माप समुच्चय पर बदलाव: वे अऋणात्मक या समाकलनीय फलनों के समाकल नहीं बदलते।
• बिंदुवार बनाम लगभग सर्वत्र: एक-बिंदु अपवाद आम तौर पर समाकलन में फर्क नहीं डालते।
• अनंत माप: \(1_{\mathbb{R}}\), \(L^1(\mathbb{R})\) में नहीं है।
• अऋणात्मक समाकल: इसे \(+\infty\) होने की अनुमति है।
• चिन्हित समाकल: \(+\infty-\infty\) से बचें; \(L^1\) के लिए \(\int |f|<\infty\) उपयोग करें।
• एकरस अभिसरण: अऋणात्मक बढ़ते फलन चाहिए।
• प्रभुत्व अभिसरण: एक ही समाकलनीय प्रभुत्वकारी फलन चाहिए, केवल बिंदुवार अभिसरण नहीं।
• फातू: एकतरफा असमता देता है, सीमा को समाकल में ले जाने वाली समानता नहीं।

हल किया हुआ उदाहरण

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अंतिम सारांश

• \(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\), और \(A\subset B\Rightarrow\mu(A)\le\mu(B)\)।
• गणनीय शून्य-माप समुच्चयों का माप \(0\) होता है, और शून्य-माप समुच्चयों का गणनीय संघ भी शून्य-माप होता है।
• अऋणात्मक या समाकलनीय स्थिति में समाकलों की समानता के लिए लगभग सर्वत्र समानता काफी है।
• सरल फलनों का समाकल मापनीय टुकड़ों पर मान गुणा माप जोड़कर निकाला जाता है।
• अऋणात्मक समाकल \(+\infty\) हो सकता है; यदि \(f\ge0\) और \(\int f=0\), तो \(f=0\) लगभग सर्वत्र।
• \(f\in L^1\) का अर्थ \(\int |f|<\infty\) है, इसलिए \(f\) लगभग सर्वत्र सीमित है, \(|\int f|\le\int |f|\), और \(L^1\) फलनों के योग \(L^1\) में रहते हैं।
• \(L^1\) उन फलनों की पहचान करता है जो लगभग सर्वत्र समान हैं; \(L^1\) में \(f_n\to f\) का अर्थ \(\int |f_n-f|\to0\) है।
• एकरसता: \(0\le f\le g\) लगभग सर्वत्र होने पर \(\int f\le\int g\)।
• एकरस अभिसरण \(0\le f_n\uparrow f\) को संभालता है।
• फातू का लेम्मा अऋणात्मक \(f_n\) के लिए \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) देता है।
• प्रभुत्व अभिसरण के लिए \(f_n\to f\) लगभग सर्वत्र और \(|f_n|\le g\in L^1\) चाहिए।