Lebesgue Integration Basics : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.
Quiz d’entraînement sur les bases de l’intégration de Lebesgue avec une leçon interactive pas à pas
Utilisez le quiz en haut de la page pour travailler les bases de l’intégration de Lebesgue : ensembles mesurables, fonctions indicatrices \(1_A\), ensembles de mesure nulle et raisonnement presque partout, fonctions simples \(\sum a_i1_{A_i}\), intégrales non négatives, monotonie, intégrabilité \(L^1\) via \(\int |f|<\infty\), théorème de convergence monotone, lemme de Fatou, convergence dominée et pièges courants liés à la mesure infinie ou aux modifications sur des ensembles de mesure nulle. Si vous avez besoin d’un rappel, ouvrez la leçon pour des exemples et des vérifications rapides faciles à suivre mentalement.
Comment fonctionne cet entraînement sur les bases de l’intégration de Lebesgue
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur les indicatrices, les ensembles de mesure nulle, les fonctions simples, l’intégrabilité et les théorèmes de convergence.
2. Ouvrez la leçon : revoyez les définitions, les hypothèses des théorèmes et de courts exemples avant de réessayer.
3. Réessayez : revenez au quiz et traduisez chaque problème en calcul de mesure, en énoncé presque partout ou en liste de vérification d’un théorème de convergence.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les bases de l’intégration de Lebesgue
Indicatrices et ensembles de mesure nulle
Règle de l’indicatrice : \(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\).
Ensembles de mesure nulle : modifier les valeurs sur un ensemble de mesure nulle ne change pas l’intégrale.
Presque partout : une propriété peut échouer sur un ensemble négligeable et rester vraie p.p.
Fonctions simples et \(L^1\)
Fonctions simples : sommes finies \(\sum a_i1_{A_i}\) sur des ensembles mesurables.
Intégrale non négative : approximation par en dessous par des fonctions simples.
Intégrable : \(f\in L^1\) signifie \(\int |f|\,d\mu<\infty\) ; dans \(L^1\), les fonctions égales p.p. représentent la même classe.
Théorèmes de convergence
Convergence monotone : \(0\le f_n\uparrow f\) donne \(\int f_n\to\int f\).
Fatou : \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) pour des \(f_n\) non négatives.
Convergence dominée : une même fonction \(g\in L^1\) avec \(|f_n|\le g\) permet de faire passer les limites sous les intégrales.
Pièges courants
Mesure infinie : \(1_{\mathbb{R}}\) a une intégrale infinie sur \(\mathbb{R}\).
Convergence ponctuelle seule : elle ne suffit pas pour la convergence dominée.
Intégrale nulle non négative : si \(f\ge0\) et \(\int f\,d\mu=0\), alors \(f=0\) presque partout.
Prêt à tester les hypothèses ?
Revenez au quiz et vérifiez si chaque question porte sur la mesure, l’égalité presque partout, les fonctions simples, l’intégrabilité, la convergence monotone, Fatou ou la convergence dominée.
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Analyse supérieure
Leçon sur les bases de l’intégration de Lebesgue
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Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : Construire une première boîte à outils fiable pour l’intégration de Lebesgue : calculer les intégrales d’indicatrices et de fonctions simples, utiliser correctement les ensembles de mesure nulle et l’égalité presque partout, distinguer les intégrales non négatives des intégrales \(L^1\) finies, appliquer la monotonie et l’intégrabilité absolue, et choisir entre convergence monotone, lemme de Fatou et convergence dominée en vérifiant d’abord les hypothèses.
Critères de réussite
Calculer \(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\) et \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\).
Utiliser l’additivité dénombrable pour des ensembles mesurables disjoints, la monotonie des ensembles \(A\subset B\Rightarrow\mu(A)\le\mu(B)\), et reconnaître les ensembles dénombrables de mesure nulle.
Expliquer qu’une propriété est vraie presque partout lorsqu’elle échoue seulement sur un ensemble de mesure nulle.
Intégrer une fonction simple non négative \(\sum a_i1_{A_i}\) comme \(\sum a_i\mu(A_i)\) sur des morceaux mesurables disjoints.
Savoir que l’intégrale non négative peut valoir \(+\infty\), et que \(\int f=0\) avec \(f\ge0\) force \(f=0\) p.p.
Utiliser \(f\in L^1\) pour signifier \(\int |f|\,d\mu<\infty\), et \(f_n\to f\) dans \(L^1\) pour signifier \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\).
Appliquer les faits de \(L^1\) : les fonctions sont finies p.p., les sommes restent intégrables, \(|\int f|\le\int |f|\), et deux fonctions égales p.p. représentent le même élément de \(L^1\).
Utiliser la convergence monotone pour \(0\le f_n\uparrow f\).
Utiliser le lemme de Fatou et la convergence dominée avec la bonne inégalité et les bonnes hypothèses.
Vocabulaire clé
Indicatrice : \(1_A(x)=1\) sur \(A\) et \(0\) hors de \(A\).
Ensemble de mesure nulle : un ensemble mesurable \(N\) tel que \(\mu(N)=0\).
Presque partout : vrai en dehors d’un ensemble de mesure nulle.
Fonction simple : une fonction mesurable à image finie, souvent écrite \(\sum a_i1_{A_i}\).
Intégrale non négative : la borne supérieure des intégrales des fonctions simples en dessous de \(f\).
\(L^1\) : l’espace des fonctions intégrables avec \(\int |f|<\infty\).
Vérification rapide initiale
Vérification initiale : Que vaut \(\int 1_A\,d\mu\) ?
Indice : l’indicatrice compte la mesure, pas les points du bord ni une valeur maximale.
Les indicatrices transforment la mesure d’un ensemble en intégrale
Objectif d’apprentissage : traiter \(1_A\) comme le pont de base entre mesure et intégrale, et utiliser les ensembles de mesure nulle sans compliquer les exceptions ponctuelles.
Idée clé
Pour tout ensemble mesurable \(A\), l’intégrale de Lebesgue de son indicatrice est sa mesure : \[\int 1_A\,d\mu=\mu(A).\] Si \(c\ge0\), alors \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\). Lorsque \(A\) et \(B\) sont disjoints, \(1_A+1_B=1_{A\cup B}\), donc l’intégration reflète l’additivité dénombrable. Si \(A\subset B\), alors \(1_A\le1_B\), d’où \(\mu(A)\le\mu(B)\).
Exemples
Sur \(\mathbb{R}\) muni de la mesure de longueur, \(\int 1_{[1,3]}\,dx=2\).
Un singleton a mesure \(0\), donc \(\int 1_{\{0\}}\,dx=0\).
Les rationnels dans \([0,1]\) sont dénombrables, donc de mesure nulle.
\(\int 1_{\mathbb{R}}\,dx=+\infty\) sur toute la droite réelle.
Presque partout
Un énoncé est vrai presque partout si l’ensemble où il échoue a mesure \(0\). Les intégrales des fonctions mesurables non négatives et des fonctions \(L^1\) ne changent pas lorsque la fonction est modifiée sur un ensemble de mesure nulle.
Exemple corrigé
Exemple : Que vaut \(\int_0^1 1_{\mathbb{Q}}(x)\,dx\) ?
Dans \([0,1]\), les rationnels sont dénombrables et ont une mesure de Lebesgue \(0\). Donc \(1_{\mathbb{Q}}\) est égale à \(0\) presque partout sur \([0,1]\), et l’intégrale vaut \(0\).
À vous
À vous : Si une propriété échoue seulement sur les rationnels de \([0,1]\), est-elle vraie presque partout ?
Indice : un ensemble dénombrable a une mesure de Lebesgue \(0\).
Les fonctions simples sont les briques de base de l’intégrale
Objectif d’apprentissage : calculer des intégrales de fonctions simples et voir pourquoi les intégrales non négatives sont construites par approximation par en dessous.
Idée clé
Une fonction simple non négative a la forme \(s=\sum_{i=1}^m a_i1_{A_i}\), où \(a_i\ge0\) et les ensembles mesurables \(A_i\) peuvent être choisis disjoints. Son intégrale est \[\int s\,d\mu=\sum_{i=1}^m a_i\,\mu(A_i).\] Pour une fonction mesurable non négative \(f\), on définit \(\int f\) comme la borne supérieure de \(\int s\) sur les fonctions simples \(0\le s\le f\).
Étapes de construction
Découper le domaine en morceaux de niveau mesurables.
Utiliser une valeur constante sur chaque morceau.
Multiplier chaque valeur par la mesure du morceau correspondant.
Additionner les contributions, en autorisant le résultat \(+\infty\) pour les fonctions non négatives.
Exemple corrigé
Exemple : Soient \(A\cap B=\emptyset\), \(\mu(A)=2\), \(\mu(B)=5\), et \(s=3\,1_A+1_B\). Trouvez \(\int s\,d\mu\).
Utilisez la règle des fonctions simples : \[\int s\,d\mu=3\mu(A)+1\mu(B)=3\cdot2+5=11.\]
À vous
À vous : Si \(A\cap B=\emptyset\), \(\mu(A)=3\), \(\mu(B)=1\), et \(s=2\,1_A+5\,1_B\), que vaut \(\int s\,d\mu\) ?
Indice : multipliez chaque valeur constante par la mesure de l’ensemble où elle apparaît, puis additionnez.
Les intégrales \(L^1\) finies viennent de l’intégrabilité absolue
Objectif d’apprentissage : séparer les intégrales étendues non négatives des intégrales signées finies, et utiliser la monotonie sans risque.
Idée clé
Pour une fonction réelle mesurable, écrivez \(f=f^+-f^-\), où \(f^+=\max(f,0)\) et \(f^-=\max(-f,0)\). L’intégrale \(\int f\) est finie lorsque \(\int |f|\,d\mu<\infty\). C’est exactement \(f\in L^1\). L’intégrabilité absolue évite l’expression indéfinie \(+\infty-\infty\).
Faits à retenir
Si \(f\ge0\), alors \(\int f\ge0\), éventuellement \(+\infty\).
Si \(f\ge0\) et \(\int f\,d\mu=0\), alors \(f=0\) presque partout.
Si \(0\le f\le g\) p.p., alors \(\int f\le\int g\).
Si \(|f|\le g\) et \(g\in L^1\), alors \(f\in L^1\).
Si \(f\in L^1\), alors \(f\) est finie p.p. et \(|\int f\,d\mu|\le\int |f|\,d\mu<\infty\).
Si \(f,g\in L^1\), alors \(f+g\in L^1\).
Si \(f=0\) p.p., alors \(\int |f|=0\).
Si \(f=g\) p.p. et si les deux fonctions sont intégrables, alors \(\int f=\int g\) ; dans \(L^1\), elles représentent le même élément.
\(f_n\to f\) dans \(L^1\) signifie \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\).
Exemple corrigé
Exemple : Supposons que \(|f|\le 2\,1_{[0,3]}\) sur \(\mathbb{R}\). Pourquoi a-t-on \(f\in L^1\) ?
La fonction dominante a une intégrale finie : \(\int 2\,1_{[0,3]}\,dx=2\cdot3=6\). Comme \(|f|\le 2\,1_{[0,3]}\), la monotonie donne \(\int |f|\le6\), donc \(f\) est intégrable.
À vous
À vous : Si \(0\le f\le g\) presque partout, que peut-on conclure pour les intégrales non négatives ?
Indice : l’intégrale de Lebesgue préserve l’ordre pour les fonctions mesurables non négatives.
Les limites croissantes non négatives commutent avec l’intégration
Objectif d’apprentissage : reconnaître le théorème de convergence monotone et l’utiliser sans exiger de fonction dominante séparée.
Idée clé
Si \(0\le f_1\le f_2\le\cdots\) et si \(f_n(x)\uparrow f(x)\) ponctuellement, alors \[\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu.\] La valeur peut être \(+\infty\). La non-négativité et la croissance monotone sont les hypothèses clés.
Liste de vérification du théorème
Chaque \(f_n\) est mesurable et non négative.
La suite croît ponctuellement : \(f_n\le f_{n+1}\).
La limite ponctuelle est \(f=\sup_n f_n\).
Aucune fonction dominante intégrable n’est nécessaire.
La conclusion est la convergence des intégrales vers l’intégrale de la limite.
Exemple corrigé
Exemple : Soit \(f_n=1_{[0,1-1/n]}\) sur \([0,1]\). Trouvez \(\lim_n\int f_n\,dx\).
Les ensembles \([0,1-1/n]\) croissent vers \([0,1)\). Ainsi \(f_n\uparrow 1_{[0,1)}\). Par convergence monotone, \[\lim_n\int f_n\,dx=\int 1_{[0,1)}\,dx=1.\]
À vous
À vous : Pour \(f_n=1_{[0,1-1/n]}\) sur \([0,1]\), vers quoi tendent les intégrales ?
Indice : l’ensemble limite a longueur \(1\), même s’il manque une extrémité.
Fatou donne l’inégalité unilatérale qui survit avec des hypothèses faibles
Objectif d’apprentissage : retenir le sens du lemme de Fatou et savoir quand il ne faut pas attendre l’égalité.
Idée clé
Pour des fonctions mesurables non négatives \(f_n\), le lemme de Fatou affirme \[\int \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu.\] C’est un énoncé de semi-continuité inférieure : de la masse peut disparaître à la limite, mais l’intégrale de la limite inférieure ne peut pas dépasser la limite inférieure des intégrales.
Ce qu’il affirme
Utilisez-le lorsque vous avez des fonctions non négatives mais pas de croissance monotone.
Il donne une inégalité, pas une égalité automatique.
Il sert souvent à prouver des bornes inférieures pour des intégrales limites.
Une erreur courante consiste à inverser l’inégalité.
Exemple corrigé
Exemple : Soit \(f_n=n\,1_{(0,1/n)}\) sur \([0,1]\). Que montre Fatou ?
Chaque \(\int_0^1 f_n\,dx=1\). Pour tout \(x\in[0,1]\) fixé, \(f_n(x)\to0\) ; aucune masse ne reste en un point, donc \(\liminf f_n=0\). Fatou donne \(0=\int0\le\liminf\int f_n=1\). L’égalité n’est pas forcée.
À vous
À vous : Quelle est l’inégalité du lemme de Fatou pour des \(f_n\) non négatives ?
Indice : l’intégrale de la liminf est du côté le plus petit.
Une borne intégrable permet de faire passer les limites sous l’intégrale
Objectif d’apprentissage : appliquer la convergence dominée en vérifiant la convergence p.p. et une seule fonction dominante intégrable.
Idée clé
Si \(f_n\to f\) presque partout et s’il existe une même fonction \(g\in L^1\) telle que \(|f_n|\le g\) pour tout \(n\), alors \(f\in L^1\), \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\), et \(\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\). La même fonction \(g\) doit fonctionner pour toute la suite.
Liste de vérification du théorème
Mesurabilité des fonctions concernées.
Convergence ponctuelle ou presque partout \(f_n\to f\).
Une seule borne \(|f_n|\le g\) pour tout \(n\).
La borne est intégrable : \(g\in L^1\).
Conclusion : convergence dans \(L^1\) et convergence des intégrales.
Exemple corrigé
Exemple : Sur \([0,1]\), utilisez la convergence dominée pour \(f_n(x)=x^n\).
On a \(0\le x^n\le1\), et \(1\in L^1([0,1])\). De plus, \(x^n\to0\) pour \(0\le x<1\) et \(x^n\to1\) en \(x=1\), une exception sur un ensemble de mesure nulle. La convergence dominée donne \(\int_0^1 x^n\,dx\to0\). En effet, \(\int_0^1x^n\,dx=1/(n+1)\).
À vous
À vous : Quelle est l’hypothèse supplémentaire clé de la convergence dominée ?
Indice : la convergence ponctuelle a besoin d’une enveloppe intégrable pour contrôler toute la suite.
La plupart des erreurs ignorent les ensembles de mesure nulle, l’infini ou les hypothèses des théorèmes
Objectif d’apprentissage : terminer avec les distinctions qui gardent fiable la boîte à outils de base de Lebesgue.
Pièges courants
Modifications sur des ensembles de mesure nulle : elles ne changent pas les intégrales des fonctions non négatives ou intégrables.
Ponctuel contre p.p. : les exceptions en un point ne comptent généralement pas pour l’intégration.
Mesure infinie : \(1_{\mathbb{R}}\) n’est pas dans \(L^1(\mathbb{R})\).
Intégrale non négative : elle peut valoir \(+\infty\).
Convergence monotone : elle demande des fonctions non négatives croissantes.
Convergence dominée : elle demande une même fonction dominante intégrable, pas seulement une convergence ponctuelle.
Fatou : donne une inégalité unilatérale, pas une égalité de passage à la limite.
Exemple corrigé
Exemple : Pourquoi \(1_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}\) est-elle intégrable et d’intégrale \(0\), tandis que \(1_{\mathbb{R}}\) sur \(\mathbb{R}\) n’est pas dans \(L^1\) ?
La première fonction vaut \(0\) presque partout sur un intervalle fini, donc son intégrale vaut \(0\). La seconde vérifie \(\int_{\mathbb{R}}1\,dx=\mu(\mathbb{R})=+\infty\), donc son intégrale absolue n’est pas finie et elle n’est pas dans \(L^1(\mathbb{R})\).
À vous
À vous : Si \(f=g\) presque partout et si les deux fonctions sont intégrables, que peut-on conclure ?
Indice : la différence \(f-g\) est nulle presque partout.
Récapitulatif final
\(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\), et \(A\subset B\Rightarrow\mu(A)\le\mu(B)\).
Les ensembles dénombrables ont mesure \(0\), et une réunion dénombrable d’ensembles de mesure nulle est de mesure nulle.
L’égalité presque partout suffit pour l’égalité des intégrales dans le cadre non négatif ou intégrable.
Les fonctions simples s’intègrent en sommant valeur fois mesure sur des morceaux mesurables.
L’intégrale non négative peut valoir \(+\infty\) ; si \(f\ge0\) et \(\int f=0\), alors \(f=0\) p.p.
\(f\in L^1\) signifie \(\int |f|<\infty\), donc \(f\) est finie p.p., \(|\int f|\le\int |f|\), et les sommes de fonctions \(L^1\) restent dans \(L^1\).
\(L^1\) identifie les fonctions qui coïncident p.p. ; \(f_n\to f\) dans \(L^1\) signifie \(\int |f_n-f|\to0\).
La convergence monotone traite \(0\le f_n\uparrow f\).
Le lemme de Fatou donne \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) pour des \(f_n\) non négatives.
La convergence dominée demande \(f_n\to f\) p.p. et \(|f_n|\le g\in L^1\).
Étape suivante : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Pour chaque question, demandez-vous d’abord si elle teste un calcul d’indicatrice, une exception sur un ensemble de mesure nulle, une somme de fonction simple, l’intégrabilité \(L^1\), la convergence monotone, le lemme de Fatou ou la convergence dominée.
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