Kuis Latihan Dasar-Dasar Integrasi Lebesgue dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kumpulan soal di bagian bawah halaman untuk berlatih dasar-dasar integrasi Lebesgue: himpunan terukur, fungsi indikator \(1_A\), himpunan berukuran nol dan penalaran tentang sifat yang berlaku hampir di mana-mana, fungsi sederhana \(\sum a_i1_{A_i}\), integral tak negatif, monotonisitas, keterintegralan \(L^1\) melalui \(\int |f|<\infty\), teorema konvergensi monoton, lema Fatou, konvergensi terdominasi, dan kesalahan umum yang melibatkan ukuran tak hingga atau perubahan pada himpunan berukuran nol. Jika Anda perlu penyegaran, buka pelajaran untuk contoh yang jelas dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan dasar-dasar integrasi Lebesgue ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal tentang indikator, himpunan berukuran nol, fungsi sederhana, keterintegralan, dan teorema konvergensi.
2. Buka pelajaran: tinjau definisi, hipotesis teorema, dan contoh singkat sebelum mencoba lagi.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan terjemahkan setiap soal menjadi perhitungan ukuran, pernyataan yang berlaku hampir di mana-mana, atau daftar cek teorema konvergensi.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran dasar-dasar integrasi Lebesgue
Indikator dan himpunan berukuran nol
Aturan indikator: \(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\).
Himpunan nol: mengubah nilai pada himpunan berukuran nol tidak mengubah integral.
Hampir di mana-mana: suatu sifat boleh gagal pada himpunan berukuran nol dan tetap berlaku h.d.m.
Fungsi sederhana dan \(L^1\)
Fungsi sederhana: jumlah berhingga \(\sum a_i1_{A_i}\) atas himpunan terukur.
Integral tak negatif: hampiri dari bawah dengan fungsi sederhana.
Terintegralkan: \(f\in L^1\) berarti \(\int |f|\,d\mu<\infty\).
Teorema konvergensi
Konvergensi monoton: \(0\le f_n\uparrow f\) memberi \(\int f_n\to\int f\).
Fatou: \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) untuk \(f_n\) tak negatif.
Konvergensi terdominasi: satu \(g\in L^1\) dengan \(|f_n|\le g\) membuat limit dapat melewati integral.
Kesalahan umum
Ukuran tak hingga: \(1_{\mathbb{R}}\) memiliki integral tak hingga pada \(\mathbb{R}\).
Konvergensi titik demi titik saja: tidak cukup untuk konvergensi terdominasi.
Fungsi bertanda: \(\int f\) bernilai hingga ketika \(\int |f|\) bernilai hingga.
Tujuan: Bangun perangkat awal yang andal untuk integrasi Lebesgue: hitung integral indikator dan fungsi sederhana, gunakan himpunan berukuran nol dan kesamaan hampir di mana-mana dengan benar, bedakan integral tak negatif dari integral \(L^1\) yang hingga, terapkan monotonisitas dan keterintegralan mutlak, serta pilih antara konvergensi monoton, lema Fatou, dan konvergensi terdominasi dengan memeriksa hipotesis terlebih dahulu.
Kriteria keberhasilan
Hitung \(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\) dan \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\).
Gunakan aditivitas terhitung untuk himpunan terukur yang saling lepas dan kenali himpunan berukuran nol terhitung.
Jelaskan bahwa suatu sifat berlaku hampir di mana-mana ketika sifat itu gagal hanya pada himpunan berukuran nol.
Integralkan fungsi sederhana tak negatif \(\sum a_i1_{A_i}\) sebagai \(\sum a_i\mu(A_i)\) pada bagian terukur yang saling lepas.
Ketahui bahwa integral tak negatif dapat bernilai \(+\infty\).
Gunakan \(f\in L^1\) untuk berarti \(\int |f|\,d\mu<\infty\).
Gunakan konvergensi monoton untuk \(0\le f_n\uparrow f\).
Gunakan lema Fatou dan konvergensi terdominasi dengan arah ketaksamaan dan hipotesis yang benar.
Kosakata kunci
Indikator: \(1_A(x)=1\) pada \(A\) dan \(0\) di luar \(A\).
Himpunan nol: himpunan terukur \(N\) dengan \(\mu(N)=0\).
Hampir di mana-mana: benar di luar suatu himpunan berukuran nol.
Fungsi sederhana: fungsi terukur dengan rentang berhingga, biasanya ditulis sebagai \(\sum a_i1_{A_i}\).
Integral tak negatif: supremum dari integral fungsi sederhana di bawah \(f\).
\(L^1\): ruang fungsi terintegralkan dengan \(\int |f|<\infty\).
Cek awal cepat
Cek awal: Berapakah \(\int 1_A\,d\mu\)?
Petunjuk: Indikator menghitung ukuran, bukan titik batas atau nilai maksimum.
Indikator mengubah ukuran himpunan menjadi integrasi
Tujuan pembelajaran: Perlakukan \(1_A\) sebagai jembatan dasar antara ukuran dan integral, serta gunakan himpunan berukuran nol tanpa mempersulit pengecualian titik demi titik.
Ide utama
Untuk setiap himpunan terukur \(A\), integral Lebesgue dari indikatornya adalah ukurannya: \[\int 1_A\,d\mu=\mu(A).\] Jika \(c\ge0\), maka \(\int c\,1_A\,d\mu=c\mu(A)\). Ketika \(A\) dan \(B\) saling lepas, \(1_A+1_B=1_{A\cup B}\), sehingga integrasi mencerminkan aditivitas terhitung.
Contoh
Pada \(\mathbb{R}\) dengan ukuran panjang, \(\int 1_{[1,3]}\,dx=2\).
Satu titik memiliki ukuran \(0\), sehingga \(\int 1_{\{0\}}\,dx=0\).
Bilangan rasional dalam \([0,1]\) terhitung, jadi merupakan himpunan berukuran nol.
\(\int 1_{\mathbb{R}}\,dx=+\infty\) pada seluruh garis real.
Hampir di mana-mana
Suatu pernyataan berlaku hampir di mana-mana jika himpunan tempat pernyataan itu gagal memiliki ukuran \(0\). Integral fungsi terukur tak negatif dan fungsi \(L^1\) tidak berubah ketika fungsi diubah pada himpunan berukuran nol.
Di dalam \([0,1]\), bilangan rasional terhitung dan memiliki ukuran Lebesgue \(0\). Karena itu \(1_{\mathbb{Q}}\) sama dengan \(0\) hampir di mana-mana pada \([0,1]\), dan integralnya adalah \(0\).
Coba
Coba: Jika suatu sifat gagal hanya pada bilangan rasional dalam \([0,1]\), apakah sifat itu berlaku hampir di mana-mana?
Petunjuk: Himpunan terhitung memiliki ukuran Lebesgue \(0\).
Fungsi sederhana adalah blok pembangun integral
Tujuan pembelajaran: Hitung integral fungsi sederhana dan lihat mengapa integral tak negatif dibangun melalui aproksimasi dari bawah.
Ide utama
Fungsi sederhana tak negatif memiliki bentuk \(s=\sum_{i=1}^m a_i1_{A_i}\), dengan \(a_i\ge0\) dan himpunan terukur \(A_i\) dapat dipilih saling lepas. Integralnya adalah \[\int s\,d\mu=\sum_{i=1}^m a_i\,\mu(A_i).\] Untuk fungsi terukur tak negatif \(f\), definisikan \(\int f\) sebagai supremum dari \(\int s\) atas fungsi sederhana \(0\le s\le f\).
Langkah konstruksi
Pecah domain menjadi bagian level yang terukur.
Gunakan nilai konstan pada setiap bagian.
Kalikan setiap nilai dengan ukuran bagian tempat nilai itu muncul.
Jumlahkan kontribusinya, dengan kemungkinan hasil \(+\infty\) untuk fungsi tak negatif.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(A\cap B=\emptyset\), \(\mu(A)=2\), \(\mu(B)=5\), dan \(s=3\,1_A+1_B\). Cari \(\int s\,d\mu\).
Gunakan aturan fungsi sederhana: \[\int s\,d\mu=3\mu(A)+1\mu(B)=3\cdot2+5=11.\]
Coba
Coba: Jika \(A\cap B=\emptyset\), \(\mu(A)=3\), \(\mu(B)=1\), dan \(s=2\,1_A+5\,1_B\), berapakah \(\int s\,d\mu\)?
Petunjuk: Kalikan setiap nilai konstan dengan ukuran himpunan tempat nilai itu muncul, lalu jumlahkan.
Integral \(L^1\) yang hingga berasal dari keterintegralan mutlak
Tujuan pembelajaran: Pisahkan integral diperluas tak negatif dari integral bertanda yang hingga, dan gunakan monotonisitas dengan aman.
Ide utama
Untuk fungsi terukur real, tulis \(f=f^+-f^-\), dengan \(f^+=\max(f,0)\) dan \(f^-=\max(-f,0)\). Integral \(\int f\) bernilai hingga ketika \(\int |f|\,d\mu<\infty\). Ini persis berarti \(f\in L^1\). Keterintegralan mutlak mencegah ekspresi tak terdefinisi \(+\infty-\infty\).
Fakta yang perlu diingat
Jika \(f\ge0\), maka \(\int f\ge0\), mungkin \(+\infty\).
Jika \(0\le f\le g\) h.d.m., maka \(\int f\le\int g\).
Jika \(|f|\le g\) dan \(g\in L^1\), maka \(f\in L^1\).
Jika \(f=0\) h.d.m., maka \(\int |f|=0\).
Jika \(f=g\) h.d.m. dan keduanya terintegralkan, maka \(\int f=\int g\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(|f|\le 2\,1_{[0,3]}\) pada \(\mathbb{R}\). Mengapa \(f\in L^1\)?
Fungsi dominatornya memiliki integral hingga: \(\int 2\,1_{[0,3]}\,dx=2\cdot3=6\). Karena \(|f|\le 2\,1_{[0,3]}\), monotonisitas memberi \(\int |f|\le6\), sehingga \(f\) terintegralkan.
Coba
Coba: Jika \(0\le f\le g\) hampir di mana-mana, apa yang berlaku untuk integral tak negatifnya?
Petunjuk: Integral Lebesgue mempertahankan urutan untuk fungsi terukur tak negatif.
Limit tak negatif yang meningkat dapat dipertukarkan dengan integrasi
Tujuan pembelajaran: Kenali teorema konvergensi monoton dan gunakan tanpa memerlukan fungsi dominator terpisah.
Ide utama
Jika \(0\le f_1\le f_2\le\cdots\) dan \(f_n(x)\uparrow f(x)\) titik demi titik, maka \[\lim_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu=\int f\,d\mu.\] Nilainya boleh \(+\infty\). Ketaknegatifan dan kenaikan monoton adalah hipotesis kunci.
Daftar cek teorema
Setiap \(f_n\) terukur dan tak negatif.
Barisannya meningkat titik demi titik: \(f_n\le f_{n+1}\).
Limit titik demi titiknya adalah \(f=\sup_n f_n\).
Tidak diperlukan fungsi dominator terintegralkan.
Kesimpulannya adalah konvergensi integral menuju integral dari limit.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(f_n=1_{[0,1-1/n]}\) pada \([0,1]\). Cari \(\lim_n\int f_n\,dx\).
Himpunan \([0,1-1/n]\) meningkat menuju \([0,1)\). Jadi \(f_n\uparrow 1_{[0,1)}\). Dengan konvergensi monoton, \[\lim_n\int f_n\,dx=\int 1_{[0,1)}\,dx=1.\]
Coba
Coba: Untuk \(f_n=1_{[0,1-1/n]}\) pada \([0,1]\), integralnya menuju apa?
Petunjuk: Himpunan limit memiliki panjang \(1\), meskipun satu titik ujung tidak termasuk.
Fatou memberi ketaksamaan satu sisi yang tetap bertahan dengan hipotesis lemah
Tujuan pembelajaran: Ingat arah lema Fatou dan kapan kesamaan tidak seharusnya diharapkan.
Ide utama
Untuk fungsi terukur tak negatif \(f_n\), lema Fatou menyatakan \[\int \liminf_{n\to\infty} f_n\,d\mu\le \liminf_{n\to\infty}\int f_n\,d\mu.\] Ini adalah pernyataan semikontinuitas bawah: massa dapat hilang pada limit, tetapi integral dari limit bawah tidak dapat melebihi limit bawah integral.
Apa yang dinyatakan
Gunakan ketika Anda memiliki fungsi tak negatif tetapi tidak ada kenaikan monoton.
Ia memberi ketaksamaan, bukan kesamaan otomatis.
Ia sering membuktikan batas bawah untuk integral pembatas.
Kesalahan umum adalah membalik arah ketaksamaan.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(f_n=n\,1_{(0,1/n)}\) pada \([0,1]\). Apa yang ditunjukkan Fatou?
Setiap \(\int_0^1 f_n\,dx=1\). Untuk setiap \(x\in[0,1]\) tetap, \(f_n(x)\to0\) kecuali tidak ada massa yang tersisa pada satu titik, sehingga \(\liminf f_n=0\). Fatou memberi \(0=\int0\le\liminf\int f_n=1\). Kesamaan tidak dipaksakan.
Coba
Coba: Ketaksamaan mana yang merupakan lema Fatou untuk \(f_n\) tak negatif?
Petunjuk: Integral dari liminf berada di sisi yang lebih kecil.
Pembatas terintegralkan membuat limit dapat melewati integral
Tujuan pembelajaran: Terapkan konvergensi terdominasi dengan memeriksa konvergensi h.d.m. dan satu fungsi dominator terintegralkan.
Ide utama
Jika \(f_n\to f\) hampir di mana-mana dan ada satu \(g\in L^1\) sedemikian sehingga \(|f_n|\le g\) untuk semua \(n\), maka \(f\in L^1\), \(\int |f_n-f|\,d\mu\to0\), dan \(\int f_n\,d\mu\to\int f\,d\mu\). \(g\) yang sama harus berlaku untuk seluruh barisan.
Daftar cek teorema
Keterukuran fungsi-fungsi yang terlibat.
Konvergensi titik demi titik atau hampir di mana-mana \(f_n\to f\).
Satu pembatas \(|f_n|\le g\) untuk setiap \(n\).
Pembatas itu terintegralkan: \(g\in L^1\).
Kesimpulan: konvergensi dalam \(L^1\) dan konvergensi integral.
Contoh dikerjakan
Contoh: Pada \([0,1]\), gunakan konvergensi terdominasi untuk \(f_n(x)=x^n\).
Kita punya \(0\le x^n\le1\), dan \(1\in L^1([0,1])\). Selain itu \(x^n\to0\) untuk \(0\le x<1\) dan \(x^n\to1\) pada \(x=1\), suatu pengecualian himpunan berukuran nol. Konvergensi terdominasi memberi \(\int_0^1 x^n\,dx\to0\). Memang \(\int_0^1x^n\,dx=1/(n+1)\).
Coba
Coba: Apa hipotesis tambahan kunci dalam konvergensi terdominasi?
Petunjuk: Konvergensi titik demi titik memerlukan satu selubung terintegralkan untuk mengendalikan seluruh barisan.
Kebanyakan kesalahan mengabaikan himpunan berukuran nol, ketakterhinggaan, atau hipotesis teorema
Tujuan pembelajaran: Akhiri dengan pembedaan yang menjaga perangkat dasar Lebesgue tetap andal.
Kesalahan umum
Perubahan pada himpunan berukuran nol: tidak mengubah integral fungsi tak negatif atau fungsi terintegralkan.
Titik demi titik versus h.d.m.: pengecualian satu titik biasanya tidak penting untuk integrasi.
Ukuran tak hingga: \(1_{\mathbb{R}}\) tidak berada dalam \(L^1(\mathbb{R})\).
Integral tak negatif: boleh bernilai \(+\infty\).
Integral bertanda: hindari \(+\infty-\infty\); gunakan \(\int |f|<\infty\) untuk \(L^1\).
MCT: memerlukan fungsi tak negatif yang meningkat.
DCT: memerlukan satu dominator terintegralkan, bukan hanya konvergensi titik demi titik.
Fatou: memberi ketaksamaan satu sisi, bukan kesamaan pemindahan limit.
Contoh dikerjakan
Contoh: Mengapa \(1_{\mathbb{Q}\cap[0,1]}\) terintegralkan dengan integral \(0\), sedangkan \(1_{\mathbb{R}}\) pada \(\mathbb{R}\) tidak berada dalam \(L^1\)?
Fungsi pertama adalah \(0\) hampir di mana-mana pada interval berhingga, jadi integralnya \(0\). Fungsi kedua memiliki \(\int_{\mathbb{R}}1\,dx=\mu(\mathbb{R})=+\infty\), sehingga integral mutlaknya tidak hingga dan fungsi itu tidak berada dalam \(L^1(\mathbb{R})\).
Coba
Coba: Jika \(f=g\) hampir di mana-mana dan keduanya terintegralkan, apa yang berlaku?
Petunjuk: Selisih \(f-g\) bernilai nol hampir di mana-mana.
Rekap akhir
\(\int 1_A\,d\mu=\mu(A)\).
Himpunan nol terhitung memiliki ukuran \(0\), dan gabungan terhitung dari himpunan berukuran nol tetap himpunan berukuran nol.
Kesamaan hampir di mana-mana cukup untuk kesamaan integral dalam konteks tak negatif atau terintegralkan.
Fungsi sederhana diintegralkan dengan menjumlahkan nilai dikali ukuran pada bagian terukur.
Lema Fatou memberi \(\int\liminf f_n\le\liminf\int f_n\) untuk \(f_n\) tak negatif.
Konvergensi terdominasi memerlukan \(f_n\to f\) h.d.m. dan \(|f_n|\le g\in L^1\).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis lagi. Untuk setiap soal, pertama tanyakan apakah soal itu menguji perhitungan indikator, pengecualian himpunan berukuran nol, jumlah fungsi sederhana, keterintegralan \(L^1\), konvergensi monoton, lema Fatou, atau konvergensi terdominasi.
Set latihan
Soal latihan Lebesgue Integration Basics dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Berapa integral Lebesgue dari indikator \(1_A\)?
Jawaban benar: C. Ukuran dari \(A\)
Penjelasan: Integral dari indikator adalah ukuran himpunan tersebut.
Soal 2Belum dijawab
Jika suatu himpunan berukuran nol, berapa \(\int 1_A\)?
Jawaban benar: B. \(0\)
Penjelasan: Integral \(1_A\) sama dengan ukuran \(A\).
Soal 3Belum dijawab
Mengubah fungsi terukur pada himpunan berukuran nol mengubah integral Lebesgue-nya:
Jawaban benar: C. Tidak sama sekali
Penjelasan: Integrasi Lebesgue mengabaikan perubahan pada himpunan berukuran nol.
Soal 4Belum dijawab
Apa arti "hampir di mana-mana"?
Jawaban benar: C. Kecuali pada himpunan berukuran nol
Penjelasan: Suatu sifat berlaku hampir di mana-mana jika gagal hanya pada himpunan berukuran nol.
Soal 5Belum dijawab
Integral dari fungsi terukur tak negatif selalu:
Jawaban benar: B. Tak negatif, mungkin tak hingga
Penjelasan: Nilainya tidak bisa negatif, meskipun dapat tak hingga.
Soal 6Belum dijawab
Teorema mana yang berlaku untuk barisan naik \(0\le f_n\uparrow f\)?
Jawaban benar: B. Teorema konvergensi monoton
Penjelasan: Teorema konvergensi monoton menangani barisan tak negatif yang naik.
Soal 7Belum dijawab
Teorema mana yang memakai fungsi terintegralkan yang mendominasi untuk melewatkan limit ke dalam integral?
Jawaban benar: D. Teorema konvergensi terdominasi
Penjelasan: Teorema konvergensi terdominasi memakai batas terintegralkan.
Soal 8Belum dijawab
Jika \(f=0\) hampir di mana-mana, maka \(\int |f|\) adalah:
Jawaban benar: A. \(0\)
Penjelasan: Fungsi yang nol hampir di mana-mana memiliki integral nilai mutlak nol.
Soal 9Belum dijawab
Fungsi sederhana mengambil:
Jawaban benar: A. Hingga banyak nilai
Penjelasan: Fungsi sederhana hanya mengambil hingga banyak nilai dan menjadi blok dasar integral.
Soal 10Belum dijawab
Integral Lebesgue sangat baik untuk menangani:
Jawaban benar: C. Limit fungsi terukur
Penjelasan: Teorema-teorema konvergensinya membuat limit fungsi lebih mudah diintegralkan.
