Rapports dans le triangle rectangle : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.
Quiz d’entraînement sur les rapports du triangle rectangle avec leçon interactive étape par étape
Utilisez le quiz en haut de la page pour vous entraîner sur les rapports trigonométriques du triangle rectangle et la trigonométrie dans le triangle rectangle : sinus, cosinus et tangente avec SOHCAHTOA, les rapports trigonométriques réciproques (sécante, cosécante, cotangente), la recherche de côtés manquants avec le théorème de Pythagore, les valeurs d’angles particuliers pour \(30^\circ\), \(45^\circ\) et \(60^\circ\) (notamment les triangles \(30\text{-}60\text{-}90\) et \(45\text{-}45\text{-}90\)), et les identités des angles complémentaires comme \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\) et \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\). Pour revoir la méthode, cliquez sur Commencer la leçon afin d’ouvrir un guide étape par étape avec des exemples guidés et de courtes vérifications.
Comment fonctionne cet entraînement sur les rapports du triangle rectangle
1. Faites le quiz : répondez aux questions de trigonométrie dans le triangle rectangle en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon (facultative) : revoyez SOHCAHTOA, les rapports trigonométriques réciproques, les angles particuliers et les identités des angles complémentaires avec des exemples clairs.
3. Réessayez : revenez au quiz et appliquez immédiatement les règles des rapports dans le triangle rectangle.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les rapports du triangle rectangle
Bases de SOHCAHTOA
Côté opposé, côté adjacent, hypoténuse (par rapport à l’angle \(\theta\))
Passer rapidement des rapports aux longueurs de côtés (par exemple, \(\sec\theta=\dfrac{\text{hyp}}{\text{adj}}\))
Angles particuliers et triangles remarquables
Valeurs trigonométriques de \(30^\circ\), \(45^\circ\) et \(60^\circ\)
\(30\text{-}60\text{-}90\) et \(45\text{-}45\text{-}90\) : rapports de côtés dans les triangles remarquables
Évaluer des expressions comme \(\csc(60^\circ)\), \(\tan(30^\circ)\) et \(\cos(45^\circ)\)
Résolution de triangles rectangles
Théorème de Pythagore pour trouver des côtés manquants
Utiliser un rapport trigonométrique + un côté pour trouver un autre côté (par exemple, utiliser \(\tan\theta\) pour obtenir le côté opposé à partir du côté adjacent)
Angles complémentaires (\(\theta\) et \(90^\circ-\theta\)) et identités de cofonctions
Retour au quiz
Quand vous êtes prêt, revenez au quiz en haut de la page et continuez à vous entraîner sur les rapports trigonométriques du triangle rectangle.
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Rapports du triangle rectangle I
Guide pas à pas
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Leçon sur les rapports trigonométriques du triangle rectangle I
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Vue d’ensemble
Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : construire une compréhension claire des rapports trigonométriques du triangle rectangle afin d’utiliser SOHCAHTOA pour calculer \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) et \(\tan\theta\), d’utiliser les rapports trigonométriques réciproques (\(\sec\theta\), \(\csc\theta\), \(\cot\theta\)), d’appliquer le théorème de Pythagore pour trouver des côtés manquants, d’évaluer les valeurs d’angles particuliers (\(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\)) et d’utiliser les identités des angles complémentaires comme \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\).
Critères de réussite
Identifier le côté opposé, le côté adjacent et l’hypoténuse par rapport à un angle aigu donné \(\theta\).
Utiliser les rapports réciproques : \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\), \(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\), \(\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\).
Trouver des côtés manquants avec le théorème de Pythagore : \(a^2+b^2=c^2\) (où \(c\) est l’hypoténuse).
Évaluer les rapports trigonométriques aux angles particuliers \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) à l’aide des triangles remarquables.
Utiliser les identités des angles complémentaires dans les triangles rectangles : \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\), \(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\), \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\).
Résoudre des applications de base sur les triangles rectangles (par exemple côté manquant, angle d’élévation).
Vocabulaire essentiel
Triangle rectangle : triangle qui possède un angle de \(90^\circ\).
Hypoténuse : côté opposé à l’angle de \(90^\circ\) (le côté le plus long).
Opposé / adjacent : définis par rapport à l’angle aigu choisi \(\theta\).
Rapports trigonométriques : \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) comme rapports de longueurs dans un triangle rectangle.
Rapports réciproques : \(\csc\), \(\sec\), \(\cot\) sont les inverses de \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\).
Angles complémentaires : deux angles dont la somme vaut \(90^\circ\).
Vérification rapide
Vérification 1 : Quel rapport définit \(\sin\theta\) dans un triangle rectangle ?
Indice : SOH - le sinus est égal au côté opposé divisé par l’hypoténuse.
Vérification 2 : Dans un triangle rectangle, si le côté opposé vaut \(6\) et l’hypoténuse vaut \(10\), que vaut \(\sin\theta\) ?
Indice : \(\sin\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\dfrac{6}{10}\), puis simplifiez.
Bases de SOHCAHTOA
Sinus, cosinus et tangente dans un triangle rectangle
Objectif d’apprentissage : choisir le bon rapport trigonométrique et calculer \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) et \(\tan\theta\) à partir des longueurs de côtés.
Idée clé
Dans un triangle rectangle, choisissez un angle aigu \(\theta\). Par rapport à \(\theta\), le côté opposé est en face de \(\theta\), le côté adjacent touche \(\theta\) (sans être l’hypoténuse), et l’hypoténuse est en face de l’angle de \(90^\circ\). Alors : \[ \sin\theta=\frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}},\quad \cos\theta=\frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}},\quad \tan\theta=\frac{\text{opposite}}{\text{adjacent}}. \] C’est le moyen mnémotechnique classique SOHCAHTOA.
Exemple guidé
Exemple : Si le côté adjacent vaut \(12\) et l’hypoténuse vaut \(13\), que vaut \(\cos\theta\) ?
Les côtés opposé et adjacent dépendent de l’angle aigu choisi comme \(\theta\).
Rapports réciproques
Sécante, cosécante et cotangente
Objectif d’apprentissage : passer de \(\sin,\cos,\tan\) à leurs inverses \(\csc,\sec,\cot\) en utilisant les rapports de côtés.
Idée clé
Les rapports trigonométriques réciproques sont : \[ \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}=\frac{\text{hyp}}{\text{opp}},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{\text{hyp}}{\text{adj}},\quad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\text{adj}}{\text{opp}}. \] Si vous savez calculer \(\sin\), \(\cos\) ou \(\tan\), vous obtenez aussitôt \(\csc\), \(\sec\) ou \(\cot\) en inversant la fraction.
Exemple guidé
Exemple : Un triangle rectangle a un côté opposé de \(8\), un côté adjacent de \(15\) et une hypoténuse de \(17\). Que vaut \(\sec\theta\) ?
Règle des réciproques : \(\sec=\dfrac{1}{\cos}\), \(\csc=\dfrac{1}{\sin}\), \(\cot=\dfrac{1}{\tan}\).
Pythagore + rapports
Trouver les côtés manquants, puis calculer les rapports
Objectif d’apprentissage : combiner le théorème de Pythagore et les rapports trigonométriques pour trouver des côtés inconnus et de nouveaux rapports.
Idée clé
Beaucoup de problèmes sur les rapports dans un triangle rectangle se font en deux étapes : (1) trouver un côté manquant avec le théorème de Pythagore \(a^2+b^2=c^2\), puis (2) calculer \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\) ou leurs inverses. Si un rapport comme \(\cos\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\) est donné, on peut souvent reconstruire le triangle.
Exemple guidé
Exemple : Dans un triangle rectangle, \(\cos\theta=\dfrac{8}{17}\). Que vaut \(\sin\theta\) ?
\(\cos\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\dfrac{8}{17}\), donc le côté adjacent vaut \(8\) et l’hypoténuse vaut \(17\). Trouvez le côté opposé : \[ \text{opp}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15. \] Alors \[ \sin\theta=\frac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\frac{15}{17}. \]
À vous
À vous 1 : Si \(\cos\theta=\dfrac{5}{13}\), que vaut \(\sec\theta\) ?
Indice : \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\), donc inversez la fraction.
À vous 2 : Dans un triangle rectangle, si \(\tan\theta=2\) et si le côté adjacent vaut \(3\), quelle est la longueur du côté opposé ?
Indice : \(\tan\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}\). Donc \(\text{opp}=2\cdot 3\).
Résumé
Utilisez \(a^2+b^2=c^2\) pour trouver des côtés manquants si nécessaire.
Calculez ensuite le rapport trigonométrique demandé avec SOHCAHTOA ou les réciproques.
Angles particuliers
Triangles remarquables et valeurs exactes
Objectif d’apprentissage : retrouver les valeurs exactes de \(30^\circ\), \(45^\circ\) et \(60^\circ\) avec les triangles rectangles remarquables.
Idée clé
Deux triangles rectangles remarquables donnent des valeurs trigonométriques exactes : le triangle \(45\text{-}45\text{-}90\) a le rapport de côtés \(1:1:\sqrt{2}\), et le triangle \(30\text{-}60\text{-}90\) a le rapport de côtés \(1:\sqrt{3}:2\). On en déduit : \[ \sin 30^\circ=\frac12,\ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\ \tan 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3} \] \[ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\ \tan 45^\circ=1 \] \[ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos 60^\circ=\frac12,\ \tan 60^\circ=\sqrt3 \]
Exemple guidé
Exemple : Que vaut \(\tan(30^\circ)\) ?
Avec le triangle \(30\text{-}60\text{-}90\), \(\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\).
À vous
À vous 1 : Que vaut \(\cos(45^\circ)\) ?
Indice : dans un triangle \(45\text{-}45\text{-}90\), \(\cos 45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt2}\).
À vous 2 : Que vaut \(\csc(60^\circ)\) ?
Indice : \(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\) et \(\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\).
Résumé
Les triangles remarquables donnent les valeurs exactes pour \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\).
Utilisez les réciproques pour obtenir \(\sec\), \(\csc\), \(\cot\) à partir de \(\cos\), \(\sin\), \(\tan\).
Angles complémentaires
Angles complémentaires et identités de cofonctions
Objectif d’apprentissage : utiliser le fait que les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires pour réécrire des expressions trigonométriques.
Idée clé
Dans tout triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme \(90^\circ\). Donc si l’un des angles aigus est \(\theta\), l’autre est \(90^\circ-\theta\). Cela crée des identités de cofonctions : \[ \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta,\quad \cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta, \] \[ \tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta,\quad \cot(90^\circ-\theta)=\tan\theta, \] \[ \sec(90^\circ-\theta)=\csc\theta,\quad \csc(90^\circ-\theta)=\sec\theta. \] Une conversion très fréquente est \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\).
Exemple guidé
Exemple : Réécrire \(\sin(90^\circ-\theta)\) en fonction de \(\theta\).
Comme les angles sont complémentaires dans un triangle rectangle : \[ \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta. \]
À vous
À vous 1 : Que vaut \(\tan\bigl(90^\circ-\theta\bigr)\) en fonction de \(\tan\theta\) ?
Indice : \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\) et \(\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\).
À vous 2 : Si \(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\), que vaut \(\cot\theta\) ?
Indice : si \(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\), utilisez un triangle \(3\text{-}4\text{-}5\) : côté opposé \(=3\), hypoténuse \(=5\), côté adjacent \(=4\). Donc \(\cot\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{opp}}\).
Résumé
Angles complémentaires : \(\theta\) et \(90^\circ-\theta\).
Objectif d’apprentissage : choisir le rapport qui correspond aux côtés connus et au côté ou à l’angle recherché.
Idée clé
Pour résoudre efficacement des problèmes de triangles rectangles, associez ce que vous connaissez au rapport qui l’utilise :
Si vous avez le côté opposé et l’hypoténuse, utilisez \(\sin\theta\).
Si vous avez le côté adjacent et l’hypoténuse, utilisez \(\cos\theta\).
Si vous avez le côté opposé et le côté adjacent, utilisez \(\tan\theta\).
Si vous devez trouver un angle à partir d’un rapport (comme \(\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\)), utilisez les angles particuliers (ou la trigonométrie inverse dans les leçons suivantes).
Exemple guidé
Exemple : Dans un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent \(7\) et \(24\), quelle est l’hypoténuse ?
Utilisez le théorème de Pythagore : \[ c=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25. \] C’est le triangle \(7\text{-}24\text{-}25\).
À vous
À vous 1 : Dans un triangle rectangle, si les côtés de l’angle droit mesurent \(7\) et \(24\), que vaut \(\sin(\theta)\) pour le plus petit angle aigu ?
Indice : le plus petit angle aigu est opposé au côté le plus court, \(7\). L’hypoténuse vaut \(25\).
À vous 2 : Si \(\cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt3}{2}\), combien vaut \(\alpha\) en degrés ?
Indice : \(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\) et \(\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\).
Résumé
Choisissez \(\sin\), \(\cos\) ou \(\tan\) selon les côtés connus.
Utilisez les triangles remarquables pour reconnaître rapidement les valeurs exactes.
Applications et vérification finale
Pourquoi les rapports du triangle rectangle sont utiles
Objectif d’apprentissage : relier les rapports du triangle rectangle à des applications et terminer par une vérification de précision.
Où apparaît la trigonométrie du triangle rectangle
Géométrie : similitude de triangles, distances et relations entre angles.
Sciences et ingénierie : décomposition en composantes, rampes, pentes et navigation.
Situations du quotidien : angles d’élévation ou de dépression, ombres, hauteurs et inclinaisons.
Exemple guidé : une valeur exacte rapide
Exemple : Évaluer \(\csc(90^\circ)\).
\(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\) et \(\sin(90^\circ)=1\), donc \(\csc(90^\circ)=1\).
À vous
À vous 1 : Que vaut \(\csc(90^\circ)\) ?
Indice : \(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\) et \(\sin 90^\circ=1\).
Étape suivante : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Si vous manquez une question, rouvrez le livre et revoyez la page qui correspond à la compétence sur les rapports du triangle rectangle dont vous avez besoin.
Série 5+
Série 10+
Série 15+
Série 20+
Série 25+