समकोण त्रिभुज अनुपात अभ्यास क्विज़, चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ
पृष्ठ के नीचे दिए गए क्विज़ से समकोण त्रिभुज अनुपात और समकोण त्रिभुज त्रिकोणमिति का अभ्यास करें: SOHCAHTOA से साइन, कोसाइन, और टैंजेंट, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपात (सेकेंट, कोसेकेंट, कोटैंजेंट), पाइथागोरस प्रमेय से अज्ञात भुजाएँ निकालना, \(30^\circ\), \(45^\circ\), और \(60^\circ\) के विशेष कोण मान (जिसमें \(30\text{-}60\text{-}90\) और \(45\text{-}45\text{-}90\) त्रिभुज शामिल हैं), और \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\) तथा \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\) जैसी पूरक कोण सर्वसमिकाएँ। दोहराना हो तो हल किए हुए उदाहरणों और छोटी जाँचों वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह समकोण त्रिभुज अनुपात अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: पृष्ठ के नीचे दिए गए समकोण त्रिभुज त्रिकोणमितीय अनुपात प्रश्नों का उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): साफ उदाहरणों के साथ SOHCAHTOA, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपात, विशेष कोण और पूरक सर्वसमिकाएँ दोहराएँ।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और समकोण त्रिभुज अनुपात नियमों को तुरंत लागू करें।
उद्देश्य:समकोण त्रिभुज अनुपातों (समकोण त्रिभुज त्रिकोणमिति) की स्पष्ट समझ बनाना ताकि आप SOHCAHTOA से \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), और \(\tan\theta\) निकाल सकें, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपात (\(\sec\theta\), \(\csc\theta\), \(\cot\theta\)) उपयोग कर सकें, अज्ञात भुजाएँ निकालने के लिए पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकें, विशेष कोण मान (\(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\)) निकाल सकें, और \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\) जैसी पूरक कोण सर्वसमिकाएँ उपयोग कर सकें।
सफलता मानदंड
दिए गए तीक्ष्ण कोण \(\theta\) के सापेक्ष विपरीत, आसन्न, और कर्ण पहचानें।
SOHCAHTOA सही उपयोग करें: \(\sin\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}\), \(\cos\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\), \(\tan\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}\)।
व्युत्क्रम अनुपात उपयोग करें: \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\), \(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\), \(\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\)।
विशेष त्रिभुजों से विशेष कोणों \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) पर त्रिकोणमितीय अनुपात निकालें।
समकोण त्रिभुजों में पूरक कोण सर्वसमिकाएँ उपयोग करें: \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\), \(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\), \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\)।
कर्ण: \(90^\circ\) कोण के सामने वाली भुजा (सबसे लंबी भुजा)।
विपरीत / आसन्न: चुने हुए तीक्ष्ण कोण \(\theta\) के सापेक्ष परिभाषित।
त्रिकोणमितीय अनुपात: समकोण त्रिभुजों में भुजा-लंबाई अनुपात के रूप में \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\)।
व्युत्क्रम अनुपात: \(\csc\), \(\sec\), \(\cot\), \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) के व्युत्क्रम हैं।
पूरक कोण: दो कोण जिनका योग \(90^\circ\) है।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: समकोण त्रिभुज में \(\sin\theta\) को कौन सा अनुपात परिभाषित करता है?
संकेत: SOH में साइन = विपरीत / कर्ण।
पूर्व-जाँच 2: समकोण त्रिभुज में यदि विपरीत भुजा \(6\) और कर्ण \(10\) है, तो \(\sin\theta\) क्या है?
संकेत: \(\sin\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\dfrac{6}{10}\), फिर सरल करें।
SOHCAHTOA आधार
समकोण त्रिभुज में साइन, कोसाइन, और टैंजेंट
सीखने का लक्ष्य: सही त्रिकोणमितीय अनुपात चुनना और भुजा-लंबाइयों से \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), और \(\tan\theta\) निकालना।
मुख्य विचार
समकोण त्रिभुज में एक तीक्ष्ण कोण \(\theta\) चुनें। \(\theta\) के सापेक्ष: विपरीत \(\theta\) के सामने है, आसन्न \(\theta\) को छूती है (लेकिन कर्ण नहीं है), और कर्ण \(90^\circ\) कोण के सामने है। फिर: \[ \sin\theta=\frac{\text{opp}}{\text{hyp}},\quad \cos\theta=\frac{\text{adj}}{\text{hyp}},\quad \tan\theta=\frac{\text{opp}}{\text{adj}}. \] यह पारंपरिक स्मृति-सूत्र SOHCAHTOA है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: यदि आसन्न भुजा \(12\) और कर्ण \(13\) है, तो \(\cos\theta\) क्या है?
\(\cos\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\) उपयोग करें: \[ \cos\theta=\frac{12}{13}. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: कर्ण \(10\) और विपरीत भुजा \(5\) वाले समकोण त्रिभुज में \(\sin\theta\) क्या है?
संकेत: \(\sin\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\dfrac{5}{10}\), फिर सरल करें।
खुद कोशिश 2: समकोण त्रिभुज में यदि विपरीत \(=9\) और आसन्न \(=12\), तो \(\tan\theta\) क्या है?
संकेत: \(\tan\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}=\dfrac{9}{12}\), फिर सरल करें।
विपरीत/आसन्न इस पर निर्भर करते हैं कि आप किस तीक्ष्ण कोण को \(\theta\) कहते हैं।
व्युत्क्रम अनुपात
सेकेंट, कोसेकेंट और कोटैंजेंट
सीखने का लक्ष्य: भुजा अनुपातों से \(\sin,\cos,\tan\) और उनके व्युत्क्रम \(\csc,\sec,\cot\) के बीच बदलना।
मुख्य विचार
व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय अनुपात हैं: \[ \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}=\frac{\text{hyp}}{\text{opp}},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{\text{hyp}}{\text{adj}},\quad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\text{adj}}{\text{opp}}. \] यदि आप \(\sin\), \(\cos\), या \(\tan\) निकाल सकते हैं, तो भिन्न उलटकर \(\csc\), \(\sec\), या \(\cot\) तुरंत पा सकते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: एक समकोण त्रिभुज में विपरीत \(8\), आसन्न \(15\), और कर्ण \(17\) है। \(\sec\theta\) क्या है?
सीखने का लक्ष्य: पाइथागोरस प्रमेय को त्रिकोणमितीय अनुपातों के साथ मिलाकर अज्ञात भुजाएँ और नए अनुपात निकालना।
मुख्य विचार
कई समकोण त्रिभुज अनुपात समस्याएँ दो-चरण प्रक्रिया होती हैं: (1) पाइथागोरस प्रमेय \(a^2+b^2=c^2\) से अज्ञात भुजा निकालें, फिर (2) \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\) या उनके व्युत्क्रम निकालें। यदि \(\cos\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}\) जैसा अनुपात दिया हो, तो अक्सर त्रिभुज फिर से बनाया जा सकता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: समकोण त्रिभुज में \(\cos\theta=\dfrac{8}{17}\)। \(\sin\theta\) क्या है?
\(\cos\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}}=\dfrac{8}{17}\), इसलिए आसन्न \(=8\) और कर्ण \(=17\)। विपरीत भुजा निकालें: \[ \text{opp}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15. \] फिर \[ \sin\theta=\frac{\text{opp}}{\text{hyp}}=\frac{15}{17}. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: यदि \(\cos\theta=\dfrac{5}{13}\), तो \(\sec\theta\) क्या है?
संकेत: \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\), इसलिए भिन्न उलट दें।
खुद कोशिश 2: समकोण त्रिभुज में यदि \(\tan\theta=2\) और आसन्न भुजा \(3\) है, तो विपरीत भुजा क्या है?
संकेत: \(\tan\theta=\dfrac{\text{opp}}{\text{adj}}\)। इसलिए \(\text{opp}=2\cdot 3\)।
सारांश
ज़रूरत होने पर अज्ञात भुजाएँ निकालने के लिए \(a^2+b^2=c^2\) उपयोग करें।
फिर SOHCAHTOA या व्युत्क्रमों से चाहा हुआ त्रिकोणमितीय अनुपात निकालें।
विशेष कोण
विशेष त्रिभुज और सटीक त्रिकोणमितीय मान
सीखने का लक्ष्य: \(30^\circ\), \(45^\circ\), और \(60^\circ\) के सटीक त्रिकोणमितीय मानों को विशेष समकोण त्रिभुजों से याद करना।
मुख्य विचार
दो विशेष समकोण त्रिभुज सटीक त्रिकोणमितीय मान देते हैं: \(45\text{-}45\text{-}90\) का भुजा अनुपात \(1:1:\sqrt{2}\) है, और \(30\text{-}60\text{-}90\) का भुजा अनुपात \(1:\sqrt{3}:2\) है। इनसे आप निकाल सकते हैं: \[ \sin 30^\circ=\frac12,\ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\ \tan 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3} \] \[ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\ \tan 45^\circ=1 \] \[ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos 60^\circ=\frac12,\ \tan 60^\circ=\sqrt3 \]
संकेत: \(45\text{-}45\text{-}90\) त्रिभुज में \(\cos 45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt2}\)।
खुद कोशिश 2: \(\csc(60^\circ)\) क्या है?
संकेत: \(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\) और \(\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\)।
सारांश
विशेष त्रिभुज \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) पर सटीक मान देते हैं।
\(\cos\), \(\sin\), \(\tan\) से \(\sec\), \(\csc\), \(\cot\) पाने के लिए व्युत्क्रमों का उपयोग करें।
पूरक कोण
पूरक कोण और सहफलन सर्वसमिकाएँ
सीखने का लक्ष्य: त्रिकोणमितीय व्यंजकों को फिर से लिखने के लिए इस तथ्य का उपयोग करना कि समकोण त्रिभुज के तीक्ष्ण कोण पूरक होते हैं।
मुख्य विचार
किसी भी समकोण त्रिभुज में दो तीक्ष्ण कोणों का योग \(90^\circ\) होता है। इसलिए यदि एक तीक्ष्ण कोण \(\theta\) है, तो दूसरा \(90^\circ-\theta\) है। इससे सहफलन सर्वसमिकाएँ बनती हैं: \[ \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta,\quad \cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta, \] \[ \tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta,\quad \cot(90^\circ-\theta)=\tan\theta, \] \[ \sec(90^\circ-\theta)=\csc\theta,\quad \csc(90^\circ-\theta)=\sec\theta. \] बहुत सामान्य रूपांतरण है \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\sin(90^\circ-\theta)\) को \(\theta\) के पदों में लिखें।
क्योंकि समकोण त्रिभुज में कोण पूरक हैं: \[ \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta. \]
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(\tan\bigl(90^\circ-\theta\bigr)\), \(\tan\theta\) के पदों में क्या है?
संकेत: \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\) और \(\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\)।
खुद कोशिश 2: यदि \(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\), तो \(\cot\theta\) क्या है?
संकेत: यदि \(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\), तो \(3\text{-}4\text{-}5\) त्रिभुज उपयोग करें: विपरीत \(=3\), कर्ण \(=5\), आसन्न \(=4\)। फिर \(\cot\theta=\dfrac{\text{adj}}{\text{opp}}\)।
सारांश
पूरक कोण: \(\theta\) और \(90^\circ-\theta\)।
मुख्य सर्वसमिका: \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\)।
समकोण त्रिभुज हल करना
त्रिभुज हल करने के लिए सही अनुपात चुनना
सीखने का लक्ष्य: वह अनुपात चुनना जो ज्ञात भुजाओं और चाहिए भुजा/कोण से मेल खाता हो।
मुख्य विचार
समकोण त्रिभुज समस्याओं को कुशलता से हल करने के लिए, जो ज्ञात है उसे उस अनुपात से मिलाएँ जो उसे उपयोग करता है:
यदि आपके पास विपरीत और कर्ण हैं, तो \(\sin\theta\) उपयोग करें।
यदि आपके पास आसन्न और कर्ण हैं, तो \(\cos\theta\) उपयोग करें।
यदि आपके पास विपरीत और आसन्न हैं, तो \(\tan\theta\) उपयोग करें।
यदि आपको अनुपात से कोण चाहिए (जैसे \(\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\)), तो विशेष कोणों का उपयोग करें (या बाद के पाठों में प्रतिलोम त्रिकोणमितीय)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: भुजाएँ \(7\) और \(24\) वाले समकोण त्रिभुज में कर्ण क्या है?
पाइथागोरस प्रमेय उपयोग करें: \[ c=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25. \] यह \(7\text{-}24\text{-}25\) त्रिभुज है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: समकोण त्रिभुज में यदि भुजाएँ \(7\) और \(24\) हैं, तो छोटे तीक्ष्ण कोण के लिए \(\sin(\theta)\) क्या है?
संकेत: छोटा तीक्ष्ण कोण छोटी भुजा \(7\) के सामने है। कर्ण \(25\) है।
खुद कोशिश 2: यदि \(\cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt3}{2}\), तो डिग्री में \(\alpha\) क्या है?
संकेत: \(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\) और \(\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\)।
सारांश
आपके पास कौन सी भुजाएँ हैं, उसके आधार पर \(\sin\), \(\cos\), या \(\tan\) चुनें।
सटीक मान जल्दी पहचानने के लिए विशेष त्रिभुजों का उपयोग करें।
अनुप्रयोग और अंतिम जाँच
समकोण त्रिभुज अनुपात क्यों मायने रखते हैं
सीखने का लक्ष्य: समकोण त्रिभुज अनुपातों को अनुप्रयोगों से जोड़ना और अंतिम सटीकता जाँच पूरी करना।
समकोण त्रिभुज त्रिकोणमिति कहाँ दिखाई देती है
ज्यामिति: त्रिभुज समानता, दूरियाँ, और कोण संबंध।
विज्ञान और इंजीनियरिंग: अवयव-विभाजन, ढलान-पट, ढालें, और दिशा-निर्धारण।
रोज़मर्रा की समस्याएँ: उन्नयन/अवनमन कोण, छायाएँ, ऊँचाइयाँ, और झुकाव।
हल किया हुआ उदाहरण: एक तेज़ सटीक मान
उदाहरण: \(\csc(90^\circ)\) निकालें।
\(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\) और \(\sin(90^\circ)=1\), इसलिए \(\csc(90^\circ)=1\)।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(\csc(90^\circ)\) क्या है?
संकेत: \(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\) और \(\sin 90^\circ=1\)।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना क्विज़ फिर से आज़माएँ। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक दोबारा खोलें और जिस समकोण त्रिभुज अनुपात कौशल की ज़रूरत हो, वह पृष्ठ दोहराएँ।
अभ्यास सेट
समकोण त्रिभुज अनुपात अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
\(\sin(90^\circ)\) क्या है?
सही उत्तर: B. \(1\)
व्याख्या: परिभाषा के अनुसार, \(\sin(90^\circ)=1\).
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
यदि \(\sin\theta = \tfrac{3}{5}\) और \(\theta\) एक न्यून कोण है, तो \(\cos\theta\) क्या है?
सही उत्तर: A. \(\tfrac{4}{5}\)
व्याख्या: \(\cos\theta = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \sqrt{1 - (\tfrac{3}{5})^2} = \tfrac{4}{5}\) का उपयोग करें.
प्रश्न 3उत्तर नहीं दिया
\(\cos(0^\circ)\) क्या है?
सही उत्तर: B. \(1\)
व्याख्या: परिभाषा के अनुसार, \(\cos(0^\circ)=1\).
प्रश्न 4उत्तर नहीं दिया
\(\tan(45^\circ)\) क्या है?
सही उत्तर: D. \(1\)
व्याख्या: क्योंकि \(45^\circ\) पर सामने वाली भुजा = सन्निकट भुजा होती है, इसलिए \(\tan(45^\circ)=1\).
प्रश्न 5उत्तर नहीं दिया
\(\tan(60^\circ)\) क्या है?
सही उत्तर: D. \(\sqrt{3}\)
व्याख्या: 30-60-90 त्रिभुज में, \(\tan(60^\circ)=\sqrt{3}\).
प्रश्न 6उत्तर नहीं दिया
यदि \(\cos\theta = 0\) और \(0^\circ \le \theta < 180^\circ\) हो, तो \(\theta\) क्या है?
सही उत्तर: A. \(90^\circ\)
व्याख्या: \(\cos\theta=0\) तब होता है जब \(\theta=90^\circ\).
प्रश्न 7उत्तर नहीं दिया
\(\sin^2\theta+\cos^2\theta\) किसके बराबर है?
सही उत्तर: C. \(1\)
व्याख्या: पाइथागोरस सर्वसमिका के अनुसार, यह \(1\) के बराबर है.
प्रश्न 8उत्तर नहीं दिया
यदि \(\tan\theta=1\) हो, तो वह कौन-सा न्यून कोण \(\theta\) है?
सही उत्तर: C. \(45^\circ\)
व्याख्या: \(\tan\theta=1\) तब होता है जब \(\theta=45^\circ\).
प्रश्न 9उत्तर नहीं दिया
\(\cos(90^\circ)\) क्या है?
सही उत्तर: A. \(0\)
व्याख्या: परिभाषा के अनुसार, \(\cos(90^\circ)=0\).
