Практические задания, тест и пошаговый урок по теме Отношения в прямоугольном треугольнике - улучшайте математические навыки с помощью точных вопросов и понятных объяснений.
Тест по отношениям в прямоугольном треугольнике с пошаговым интерактивным уроком
Используйте тест в верхней части страницы, чтобы отрабатывать отношения в прямоугольном треугольнике и тригонометрию прямоугольного треугольника: синус, косинус и тангенс с помощью SOHCAHTOA, обратные тригонометрические отношения (секанс, косеканс, котангенс), нахождение неизвестных сторон с помощью теоремы Пифагора, значения особых углов для \(30^\circ\), \(45^\circ\) и \(60^\circ\) (включая треугольники \(30\text{-}60\text{-}90\) и \(45\text{-}45\text{-}90\)), а также тождества дополнительных углов, такие как \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\) и \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\). Если хотите освежить материал, нажмите Начать урок, чтобы открыть пошаговое руководство с разобранными примерами и быстрыми проверками.
Как устроена тренировка по отношениям в прямоугольном треугольнике
1. Пройдите тест: ответьте на вопросы по тригонометрическим отношениям в прямоугольном треугольнике в верхней части страницы.
2. Откройте урок (необязательно): повторите SOHCAHTOA, обратные тригонометрические отношения, особые углы и тождества дополнительных углов на понятных примерах.
3. Повторите: вернитесь к тесту и сразу примените правила отношений в прямоугольном треугольнике.
Что вы изучите в уроке по отношениям в прямоугольном треугольнике
Быстро переходите между отношениями и длинами сторон (например, \(\sec\theta=\dfrac{\text{гип.}}{\text{прилеж.}}\))
Особые углы и особые треугольники
Тригонометрические значения для \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\)
\(30\text{-}60\text{-}90\) и \(45\text{-}45\text{-}90\): отношения сторон в треугольниках
Вычисляйте выражения вроде \(\csc(60^\circ)\), \(\tan(30^\circ)\) и \(\cos(45^\circ)\)
Решение прямоугольных треугольников
Теорема Пифагора для нахождения неизвестных сторон
Используйте тригонометрическое отношение + одну сторону, чтобы найти другую (например, используйте \(\tan\theta\), чтобы получить противолежащий катет из прилежащего)
Дополнительные углы (\(\theta\) и \(90^\circ-\theta\)) и кофункциональные тождества
Назад к тесту
Когда будете готовы, вернитесь к тесту в верхней части страницы и продолжайте отрабатывать отношения в прямоугольном треугольнике.
⭐⭐⭐⭐
📐
Отношения в прямоугольном треугольнике I
Пошаговое руководство
Нажмите, чтобы открыть ->
Загрузка...
Урок по отношениям в прямоугольном треугольнике I
1 / 8
Обзор урока
Обзор урока
Цель: Сформировать ясное понимание отношений в прямоугольном треугольнике (тригонометрии прямоугольного треугольника), чтобы использовать SOHCAHTOA для вычисления \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) и \(\tan\theta\), применять обратные тригонометрические отношения (\(\sec\theta\), \(\csc\theta\), \(\cot\theta\)), использовать теорему Пифагора для нахождения неизвестных сторон, вычислять значения особых углов (\(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\)) и применять тождества дополнительных углов, например \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\).
Критерии успеха
Определять противолежащий, прилежащий катеты и гипотенузу относительно заданного острого угла \(\theta\).
Правильно использовать SOHCAHTOA: \(\sin\theta=\dfrac{\text{противол.}}{\text{гип.}}\), \(\cos\theta=\dfrac{\text{прилеж.}}{\text{гип.}}\), \(\tan\theta=\dfrac{\text{противол.}}{\text{прилеж.}}\).
Использовать обратные отношения: \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\), \(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\), \(\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\).
Находить неизвестные стороны с помощью теоремы Пифагора: \(a^2+b^2=c^2\) (где \(c\) - гипотенуза).
Вычислять тригонометрические отношения для особых углов \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) с помощью особых треугольников.
Использовать тождества дополнительных углов в прямоугольных треугольниках: \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\), \(\cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta\), \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\).
Решать базовые прикладные задачи на прямоугольные треугольники (например, неизвестная сторона, угол подъема).
Ключевые термины
Прямоугольный треугольник: треугольник с углом \(90^\circ\).
Гипотенуза: сторона, лежащая напротив угла \(90^\circ\) (самая длинная сторона).
Противолежащий / прилежащий: определяются относительно выбранного острого угла \(\theta\).
Тригонометрические отношения: \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\) как отношения длин сторон в прямоугольных треугольниках.
Обратные отношения: \(\csc\), \(\sec\), \(\cot\) являются обратными к \(\sin\), \(\cos\), \(\tan\).
Дополнительные углы: два угла, сумма которых равна \(90^\circ\).
Быстрая проверка
Проверка 1: Какое отношение определяет \(\sin\theta\) в прямоугольном треугольнике?
Проверка 2: В прямоугольном треугольнике противолежащая сторона равна \(6\), а гипотенуза \(10\). Чему равно \(\sin\theta\)?
Подсказка: \(\sin\theta=\dfrac{\text{противол.}}{\text{гип.}}=\dfrac{6}{10}\), затем упростите.
Основы SOHCAHTOA
Синус, косинус и тангенс в прямоугольном треугольнике
Цель обучения: Выбирать правильное тригонометрическое отношение и вычислять \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) и \(\tan\theta\) по длинам сторон.
Главная идея
В прямоугольном треугольнике выберите один острый угол \(\theta\). Относительно \(\theta\): противолежащая сторона лежит напротив \(\theta\), прилежащая касается \(\theta\) (но не является гипотенузой), а гипотенуза лежит напротив угла \(90^\circ\). Тогда: \[ \sin\theta=\frac{\text{противолежащая}}{\text{гипотенуза}},\quad \cos\theta=\frac{\text{прилежащая}}{\text{гипотенуза}},\quad \tan\theta=\frac{\text{противолежащая}}{\text{прилежащая}}. \] Это классическая мнемоника SOHCAHTOA.
Разобранный пример
Пример: Если прилежащая сторона равна \(12\), а гипотенуза \(13\), чему равно \(\cos\theta\)?
Противолежащая/прилежащая стороны зависят от того, какой острый угол вы называете \(\theta\).
Обратные отношения
Секанс, косеканс и котангенс
Цель обучения: Переходить между \(\sin,\cos,\tan\) и их обратными \(\csc,\sec,\cot\) с помощью отношений сторон.
Главная идея
Обратные тригонометрические отношения: \[ \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}=\frac{\text{гип.}}{\text{противол.}},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{\text{гип.}}{\text{прилеж.}},\quad \cot\theta=\frac{1}{\tan\theta}=\frac{\text{прилеж.}}{\text{противол.}}. \] Если вы умеете вычислять \(\sin\), \(\cos\) или \(\tan\), то \(\csc\), \(\sec\) или \(\cot\) можно получить сразу, перевернув дробь.
Разобранный пример
Пример: В прямоугольном треугольнике противолежащая сторона \(8\), прилежащая \(15\), гипотенуза \(17\). Чему равно \(\sec\theta\)?
Правило обратных величин: \(\sec=\dfrac{1}{\cos}\), \(\csc=\dfrac{1}{\sin}\), \(\cot=\dfrac{1}{\tan}\).
Пифагор + отношения
Найдите неизвестные стороны, затем вычислите отношения
Цель обучения: Совмещать теорему Пифагора с тригонометрическими отношениями, чтобы находить неизвестные стороны и новые отношения.
Главная идея
Многие задачи на отношения в прямоугольном треугольнике решаются в два шага: (1) найдите неизвестную сторону с помощью теоремы Пифагора \(a^2+b^2=c^2\), затем (2) вычислите \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\) или их обратные. Если задано отношение вроде \(\cos\theta=\dfrac{\text{прилеж.}}{\text{гип.}}\), часто можно восстановить треугольник.
Разобранный пример
Пример: В прямоугольном треугольнике \(\cos\theta=\dfrac{8}{17}\). Чему равно \(\sin\theta\)?
\(\cos\theta=\dfrac{\text{прилеж.}}{\text{гип.}}=\dfrac{8}{17}\), значит прилежащая \(=8\), а гипотенуза \(=17\). Найдите противолежащую сторону: \[ \text{противол.}=\sqrt{17^2-8^2}=\sqrt{289-64}=\sqrt{225}=15. \] Тогда \[ \sin\theta=\frac{\text{противол.}}{\text{гип.}}=\frac{15}{17}. \]
Попробуйте
Попробуйте 1: Если \(\cos\theta=\dfrac{5}{13}\), чему равно \(\sec\theta\)?
Подсказка: \(\sec\theta=\dfrac{1}{\cos\theta}\), поэтому переверните дробь.
Попробуйте 2: В прямоугольном треугольнике, если \(\tan\theta=2\), а прилежащая сторона равна \(3\), какова противолежащая сторона?
Используйте \(a^2+b^2=c^2\), чтобы находить неизвестные стороны при необходимости.
Затем вычисляйте нужное тригонометрическое отношение с помощью SOHCAHTOA или обратных величин.
Особые углы
Особые треугольники и точные тригонометрические значения
Цель обучения: Вспоминать точные значения для \(30^\circ\), \(45^\circ\) и \(60^\circ\) с помощью особых прямоугольных треугольников.
Главная идея
Два особых прямоугольных треугольника дают точные тригонометрические значения: \(45\text{-}45\text{-}90\) имеет отношение сторон \(1:1:\sqrt{2}\), а \(30\text{-}60\text{-}90\) имеет отношение сторон \(1:\sqrt{3}:2\). Из этого можно вывести: \[ \sin 30^\circ=\frac12,\ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\ \tan 30^\circ=\frac{\sqrt3}{3} \] \[ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}{2},\ \tan 45^\circ=1 \] \[ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}{2},\ \cos 60^\circ=\frac12,\ \tan 60^\circ=\sqrt3 \]
Разобранный пример
Пример: Чему равно \(\tan(30^\circ)\)?
Из треугольника \(30\text{-}60\text{-}90\): \(\tan(30^\circ)=\dfrac{1}{\sqrt3}=\dfrac{\sqrt3}{3}\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Чему равно \(\cos(45^\circ)\)?
Подсказка: в треугольнике \(45\text{-}45\text{-}90\), \(\cos 45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt2}\).
Попробуйте 2: Чему равно \(\csc(60^\circ)\)?
Подсказка: \(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\), а \(\sin 60^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\).
Итоги
Особые треугольники дают точные значения при \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\).
Используйте обратные величины, чтобы получать \(\sec\), \(\csc\), \(\cot\) из \(\cos\), \(\sin\), \(\tan\).
Дополнительные углы
Дополнительные углы и кофункциональные тождества
Цель обучения: Использовать факт, что острые углы прямоугольного треугольника являются дополнительными, чтобы переписывать тригонометрические выражения.
Главная идея
В любом прямоугольном треугольнике два острых угла в сумме дают \(90^\circ\). Поэтому если один острый угол равен \(\theta\), другой равен \(90^\circ-\theta\). Это создает кофункциональные тождества: \[ \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta,\quad \cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta, \] \[ \tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta,\quad \cot(90^\circ-\theta)=\tan\theta, \] \[ \sec(90^\circ-\theta)=\csc\theta,\quad \csc(90^\circ-\theta)=\sec\theta. \] Очень частое преобразование: \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\).
Разобранный пример
Пример: Перепишите \(\sin(90^\circ-\theta)\) через \(\theta\).
Поскольку углы в прямоугольном треугольнике дополнительные: \[ \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta. \]
Попробуйте
Попробуйте 1: Чему равно \(\tan\bigl(90^\circ-\theta\bigr)\) через \(\tan\theta\)?
Подсказка: \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\) и \(\cot\theta=\dfrac{1}{\tan\theta}\).
Попробуйте 2: Если \(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\), чему равно \(\cot\theta\)?
Подсказка: если \(\sin\theta=\dfrac{3}{5}\), используйте треугольник \(3\text{-}4\text{-}5\): противолежащая \(=3\), гипотенуза \(=5\), прилежащая \(=4\). Тогда \(\cot\theta=\dfrac{\text{прилеж.}}{\text{противол.}}\).
Итоги
Дополнительные углы: \(\theta\) и \(90^\circ-\theta\).
Выбор правильного отношения для решения треугольника
Цель обучения: Выбирать отношение, которое соответствует известным сторонам и нужной стороне/углу.
Главная идея
Чтобы эффективно решать задачи на прямоугольные треугольники, сопоставляйте известные данные с подходящим отношением:
Если известны противолежащая сторона и гипотенуза, используйте \(\sin\theta\).
Если известны прилежащая сторона и гипотенуза, используйте \(\cos\theta\).
Если известны противолежащая и прилежащая стороны, используйте \(\tan\theta\).
Если нужно найти угол по отношению (например, \(\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\)), используйте особые углы (или обратные тригонометрические функции в следующих уроках).
Разобранный пример
Пример: В прямоугольном треугольнике с катетами \(7\) и \(24\) чему равна гипотенуза?
Используйте теорему Пифагора: \[ c=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=\sqrt{625}=25. \] Это треугольник \(7\text{-}24\text{-}25\).
Попробуйте
Попробуйте 1: В прямоугольном треугольнике с катетами \(7\) и \(24\) чему равно \(\sin(\theta)\) для меньшего острого угла?
Подсказка: меньший острый угол лежит напротив меньшего катета \(7\). Гипотенуза равна \(25\).
Попробуйте 2: Если \(\cos(\alpha)=\dfrac{\sqrt3}{2}\), чему равно \(\alpha\) в градусах?
Подсказка: \(\cos 30^\circ=\dfrac{\sqrt3}{2}\), а \(\cos 60^\circ=\dfrac{1}{2}\).
Итоги
Выбирайте \(\sin\), \(\cos\) или \(\tan\) по тому, какие стороны известны.
Используйте особые треугольники, чтобы быстро распознавать точные значения.
Применения и итоговая проверка
Почему отношения в прямоугольном треугольнике важны
Цель обучения: Связать отношения в прямоугольном треугольнике с применениями и завершить итоговой проверкой точности.
Где встречается тригонометрия прямоугольного треугольника
Геометрия: подобие треугольников, расстояния и отношения углов.
Наука и инженерия: разложение на компоненты, пандусы, наклоны и навигация.
Повседневные задачи: углы подъема/понижения, тени, высоты и уклоны.
Разобранный пример: быстрое точное значение
Пример: Вычислите \(\csc(90^\circ)\).
\(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\), а \(\sin(90^\circ)=1\), поэтому \(\csc(90^\circ)=1\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Чему равно \(\csc(90^\circ)\)?
Подсказка: \(\csc\theta=\dfrac{1}{\sin\theta}\), а \(\sin 90^\circ=1\).
Используйте теорему Пифагора, чтобы находить неизвестные стороны перед вычислением отношений.
Особые углы \(30^\circ,45^\circ,60^\circ\) происходят из треугольников \(30\text{-}60\text{-}90\) и \(45\text{-}45\text{-}90\).
Дополнительные углы: \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\), \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\).
Следующий шаг: Закройте урок и попробуйте тест снова. Если ошибетесь в вопросе, откройте книгу и повторите страницу, связанную с нужным навыком по отношениям в прямоугольном треугольнике.
Серия 5+
Серия 10+
Серия 15+
Серия 20+
Серия 25+