Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Rasio Segitiga Siku-siku - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.

Sinus, cosinus, dan tangen dalam segitiga siku-siku

Ide kunci

Dalam segitiga siku-siku, pilih satu sudut lancip \(\theta\). Relatif terhadap \(\theta\): depan berada di seberang \(\theta\), samping menyentuh \(\theta\) (tetapi bukan sisi miring), dan sisi miring berada di seberang sudut \(90^\circ\). Maka: \[ \sin\theta=\frac{\text@@P8@@}{\text@@P9@@},\quad \cos\theta=\frac{\text@@P10@@}{\text@@P11@@},\quad \tan\theta=\frac{\text@@P12@@}{\text@@P13@@}. \] Ini adalah mnemonik klasik SOHCAHTOA.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• SOHCAHTOA: \(\sin\theta=\dfrac{\text@@P4@@}{\text\(\cos\theta=\dfrac{\text\(\tan\theta=\dfrac{\text@@P8@@}{\text@@P9@@}\)}{\text\(\theta\)}\)}\), \(\cos\theta=\dfrac{\text\(\tan\theta=\dfrac{\text@@P8@@}{\text@@P9@@}\)}{\text\(\theta\)}\), \(\tan\theta=\dfrac{\text@@P8@@}{\text@@P9@@}\).
• Depan/samping bergantung pada sudut lancip mana yang disebut \(\theta\).

Sekan, kosekan, dan kotangen

Ide kunci

Rasio trigonometri resiprok adalah: \[ \csc\theta=\frac@@P2@@{\sin\theta}=\frac{\text@@P3@@}{\text@@P4@@},\quad \sec\theta=\frac@@P5@@{\cos\theta}=\frac{\text@@P6@@}{\text@@P7@@},\quad \cot\theta=\frac@@P8@@{\tan\theta}=\frac{\text@@P9@@}{\text@@P10@@}. \] Jika Anda dapat menghitung \(\sin\), \(\cos\), atau \(\tan\), Anda dapat langsung memperoleh \(\csc\), \(\sec\), atau \(\cot\) dengan membalik pecahan.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(\sec\theta=\dfrac{\text@@P4@@}{\text\(\csc\theta=\dfrac{\text\(\cot\theta=\dfrac{\text\(\csc=\dfrac@@P11@@{\sin}\)}{\text\(\cot=\dfrac@@P12@@{\tan}\)}\)}{\text\(\sec=\dfrac@@P10@@{\cos}\)}\)}\), \(\csc\theta=\dfrac{\text\(\cot\theta=\dfrac{\text\(\csc=\dfrac@@P11@@{\sin}\)}{\text\(\cot=\dfrac@@P12@@{\tan}\)}\)}{\text\(\sec=\dfrac@@P10@@{\cos}\)}\), \(\cot\theta=\dfrac{\text\(\csc=\dfrac@@P11@@{\sin}\)}{\text\(\cot=\dfrac@@P12@@{\tan}\)}\).
• Aturan resiprok: \(\sec=\dfrac@@P10@@{\cos}\), \(\csc=\dfrac@@P11@@{\sin}\), \(\cot=\dfrac@@P12@@{\tan}\).

Temukan sisi yang hilang, lalu hitung rasio

Ide kunci

Banyak soal rasio segitiga siku-siku merupakan proses dua langkah: (1) temukan sisi yang hilang menggunakan teorema Pythagoras \(a^2+b^2=c^2\), lalu (2) hitung \(\sin\theta\), \(\cos\theta\), \(\tan\theta\) atau resiproknya. Jika diberikan rasio seperti \(\cos\theta=\dfrac{\text@@P4@@}{\text@@P5@@}\), Anda sering dapat membangun kembali segitiganya.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Gunakan \(a^2+b^2=c^2\) untuk menemukan sisi yang hilang saat diperlukan.
• Lalu hitung rasio trigonometri yang diminta menggunakan SOHCAHTOA atau resiprok.

Segitiga istimewa dan nilai trigonometri eksak

Ide kunci

Dua segitiga siku-siku istimewa memberi nilai trigonometri eksak: \(45\text@@P4@@45\text\(1:1:\sqrt\(30\text\(1:\sqrt\[ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}@@P12@@,\ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}@@P13@@,\ \tan 45^\circ=1 \]:2\)60\text\[ \sin 30^\circ=\frac12,\ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}\[ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}@@P14@@,\ \cos 60^\circ=\frac12,\ \tan 60^\circ=\sqrt3 \],\ \tan 30^\circ=\frac{\sqrt3}@@P11@@ \]90\)\)90\) memiliki rasio sisi \(1:1:\sqrt\(30\text\(1:\sqrt\[ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}@@P12@@,\ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}@@P13@@,\ \tan 45^\circ=1 \]:2\)60\text\[ \sin 30^\circ=\frac12,\ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}\[ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}@@P14@@,\ \cos 60^\circ=\frac12,\ \tan 60^\circ=\sqrt3 \],\ \tan 30^\circ=\frac{\sqrt3}@@P11@@ \]90\)\), dan \(30\text\(1:\sqrt\[ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}@@P12@@,\ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}@@P13@@,\ \tan 45^\circ=1 \]:2\)60\text\[ \sin 30^\circ=\frac12,\ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}\[ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}@@P14@@,\ \cos 60^\circ=\frac12,\ \tan 60^\circ=\sqrt3 \],\ \tan 30^\circ=\frac{\sqrt3}@@P11@@ \]90\) memiliki rasio sisi \(1:\sqrt\[ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}@@P12@@,\ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}@@P13@@,\ \tan 45^\circ=1 \]:2\). Dari sini, Anda dapat menurunkan: \[ \sin 30^\circ=\frac12,\ \cos 30^\circ=\frac{\sqrt3}\[ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}@@P14@@,\ \cos 60^\circ=\frac12,\ \tan 60^\circ=\sqrt3 \],\ \tan 30^\circ=\frac{\sqrt3}@@P11@@ \] \[ \sin 45^\circ=\frac{\sqrt2}@@P12@@,\ \cos 45^\circ=\frac{\sqrt2}@@P13@@,\ \tan 45^\circ=1 \] \[ \sin 60^\circ=\frac{\sqrt3}@@P14@@,\ \cos 60^\circ=\frac12,\ \tan 60^\circ=\sqrt3 \]

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Segitiga istimewa memberi nilai eksak pada \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\).
• Gunakan resiprok untuk memperoleh \(\sec\), \(\csc\), \(\cot\) dari \(\cos\), \(\sin\), \(\tan\).

Sudut berpelengkap dan identitas kofungsi

Ide kunci

Dalam segitiga siku-siku mana pun, dua sudut lancip berjumlah \(90^\circ\). Jadi jika satu sudut lancip adalah \(\theta\), sudut lainnya \(90^\circ-\theta\). Ini menghasilkan identitas kofungsi: \[ \sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta,\quad \cos(90^\circ-\theta)=\sin\theta, \] \[ \tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta,\quad \cot(90^\circ-\theta)=\tan\theta, \] \[ \sec(90^\circ-\theta)=\csc\theta,\quad \csc(90^\circ-\theta)=\sec\theta. \] Konversi yang sangat umum adalah \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta=\dfrac@@P2@@{\tan\theta}\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Sudut berpelengkap: \(\theta\) dan \(90^\circ-\theta\).
• Identitas kunci: \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta=\dfrac@@P4@@{\tan\theta}\).

Memilih rasio yang tepat untuk menyelesaikan segitiga

Ide kunci

Untuk menyelesaikan soal segitiga siku-siku secara efisien, cocokkan yang Anda ketahui dengan rasio yang memakainya:

• Jika Anda punya depan dan miring, gunakan \(\sin\theta\).
• Jika Anda punya samping dan miring, gunakan \(\cos\theta\).
• Jika Anda punya depan dan samping, gunakan \(\tan\theta\).

Jika Anda membutuhkan sudut dari rasio (seperti \(\cos\alpha=\frac{\sqrt3}@@P0@@\)), gunakan sudut istimewa (atau inverse trigonometri pada pelajaran berikutnya).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Pilih \(\sin\), \(\cos\), atau \(\tan\) berdasarkan sisi yang Anda punya.
• Gunakan segitiga istimewa untuk mengenali nilai eksak dengan cepat.

Mengapa rasio segitiga siku-siku penting

Di mana trigonometri segitiga siku-siku muncul

• Geometri: kesebangunan segitiga, jarak, dan hubungan sudut.
• Sains dan teknik: penguraian komponen, bidang miring, kemiringan, dan navigasi.
• Soal sehari-hari: sudut elevasi/depresi, bayangan, tinggi, dan tanjakan.

Contoh dikerjakan: nilai eksak cepat

Coba

Rekap akhir

• SOHCAHTOA: \(\sin\theta=\dfrac{\text@@P10@@}{\text\(\cos\theta=\dfrac{\text\(\tan\theta=\dfrac{\text\(\sec=\dfrac\(30\text\(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\)60\text\(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\)90\){\cos}\)}{\text\(\cot=\dfrac\(45\text@@P21@@45\text@@P22@@90\){\tan}\)}\)}{\text\(\csc=\dfrac\(30^\circ,45^\circ,60^\circ\){\sin}\)}\)}\), \(\cos\theta=\dfrac{\text\(\tan\theta=\dfrac{\text\(\sec=\dfrac\(30\text\(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\)60\text\(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\)90\){\cos}\)}{\text\(\cot=\dfrac\(45\text@@P21@@45\text@@P22@@90\){\tan}\)}\)}{\text\(\csc=\dfrac\(30^\circ,45^\circ,60^\circ\){\sin}\)}\), \(\tan\theta=\dfrac{\text\(\sec=\dfrac\(30\text\(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\)60\text\(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\)90\){\cos}\)}{\text\(\cot=\dfrac\(45\text@@P21@@45\text@@P22@@90\){\tan}\)}\).
• Resiprok: \(\csc=\dfrac\(30^\circ,45^\circ,60^\circ\){\sin}\), \(\sec=\dfrac\(30\text\(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\)60\text\(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\)90\){\cos}\), \(\cot=\dfrac\(45\text@@P21@@45\text@@P22@@90\){\tan}\).
• Gunakan teorema Pythagoras untuk menemukan sisi yang hilang sebelum menghitung rasio.
• Sudut istimewa \(30^\circ,45^\circ,60^\circ\) berasal dari segitiga \(30\text\(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\)60\text\(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\)90\) dan \(45\text@@P21@@45\text@@P22@@90\).
• Sudut berpelengkap: \(\sin(90^\circ-\theta)=\cos\theta\), \(\tan(90^\circ-\theta)=\cot\theta\).