Quiz d'entraînement sur les systèmes d'équations avec leçon interactive étape par étape
Utilisez le quiz en haut de la page pour vous entraîner aux systèmes d'équations et aux systèmes d'équations linéaires : résoudre un système linéaire à deux inconnues pour trouver le couple \((x,y)\), utiliser la méthode graphique, la méthode par substitution et la méthode par élimination (addition/soustraction), vérifier les solutions par substitution et reconnaître si un système a une solution, aucune solution ou une infinité de solutions. Vous travaillerez aussi les classifications courantes comme les systèmes compatibles ou incompatibles et indépendants ou dépendants, ainsi que de vrais problèmes avec des systèmes d'équations. Si vous voulez revoir la méthode, cliquez sur Commencer la leçon pour ouvrir un guide étape par étape avec des exemples guidés.
Comment fonctionne cet entraînement sur les systèmes d'équations
1. Faites le quiz : répondez aux questions sur les systèmes d'équations en haut de la page.
2. Ouvrez la leçon (facultatif) : revoyez la méthode graphique, la substitution, l'élimination et la façon de classer les systèmes linéaires.
3. Réessayez : revenez au quiz et appliquez immédiatement les stratégies sur les systèmes.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les systèmes d'équations
Bases et vocabulaire
Système d'équations linéaires et signification d'une solution \((x,y)\)
Forme standard \(Ax+By=C\), forme réduite et interprétation des droites
Systèmes compatibles / incompatibles et indépendants / dépendants
Méthode graphique
Tracer chaque équation et trouver le point d'intersection
Reconnaître les droites parallèles (aucune solution) et la même droite (une infinité de solutions)
Utiliser le coefficient directeur et les intersections avec les axes pour prévoir rapidement le nombre de solutions
Méthodes par substitution et par élimination
Méthode par substitution : isoler une inconnue, substituer, puis remplacer dans l'autre équation
Élimination (addition/soustraction) : additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue
Multiplier les équations pour créer des coefficients opposés et réduire les erreurs
Applications et vérification des solutions
Vérifier les solutions en remplaçant \((x,y)\) dans les deux équations
Résoudre des problèmes (billets, âges, mélanges, géométrie) avec des systèmes
Interpréter les réponses dans le contexte et repérer tôt les résultats impossibles
Retour au quiz
Quand vous êtes prêt, revenez au quiz en haut de la page et continuez à vous entraîner à résoudre des systèmes d'équations.
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Systèmes d'équations
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Leçon sur les systèmes d'équations
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Vue d’ensemble de la leçon
Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : construire une compréhension claire des systèmes d'équations afin de résoudre des systèmes d'équations linéaires à deux inconnues avec la méthode graphique, la substitution ou l'élimination, et d'interpréter si un système a une solution, aucune solution ou une infinité de solutions.
Critères de réussite
Expliquer ce qu'est un système d'équations et ce que signifie une solution \((x,y)\).
Résoudre un système par méthode graphique et repérer le point d'intersection.
Résoudre un système par la méthode par substitution.
Résoudre un système par la méthode par élimination (addition/soustraction), y compris en multipliant des équations si nécessaire.
Vérifier une solution en la remplaçant dans les deux équations.
Décider si un système a une solution, aucune solution ou une infinité de solutions.
Utiliser correctement les mots compatible / incompatible et indépendant / dépendant.
Modéliser et résoudre des problèmes avec des systèmes d'équations.
Vocabulaire essentiel
Système d'équations : deux équations (ou plus) avec les mêmes variables.
Solution : un couple ordonné \((x,y)\) qui rend les deux équations vraies.
Équation linéaire : une équation dont le graphe est une droite.
Compatible : le système a au moins une solution.
Incompatible : le système n'a aucune solution.
Indépendant : le système a exactement une solution (les droites se coupent une seule fois).
Dépendant : le système a une infinité de solutions (les équations représentent la même droite).
Substitution / élimination : méthodes algébriques courantes pour résoudre des systèmes.
Pré-vérification rapide
Pré-vérification 1 : quel couple ordonné \((x,y)\) résout le système \(x + y = 5\) et \(x - y = 1\) ?
Indice : additionnez les deux équations pour éliminer \(y\), puis remplacez dans une équation.
Pré-vérification 2 : combien de solutions le système \(\begin{cases}2x - 3y = 1\\4x - 6y = 2\end{cases}\) a-t-il ?
Indice : la deuxième équation est un multiple de la première, donc elles décrivent la même droite.
Méthode graphique
Résoudre graphiquement des systèmes d'équations linéaires
Objectif d'apprentissage : tracer deux équations linéaires et identifier la solution comme leur point d'intersection.
Idée clé
Chaque équation linéaire à deux inconnues se représente par une droite. Une solution du système est un point \((x,y)\) qui appartient aux deux droites. La solution est donc le point d'intersection.
Une intersection : une solution (système indépendant).
Même droite : une infinité de solutions (système dépendant).
Exemple guidé
Exemple : résolvez le système graphiquement : \(x + 2y = 8\) et \(x - y = 2\).
Réécrivez chaque équation sous forme réduite. À partir de \(x + 2y = 8\) : \(2y = -x + 8 \Rightarrow y = -\tfrac12 x + 4\). À partir de \(x - y = 2\) : \(-y = 2 - x \Rightarrow y = x - 2\).
Tracez les deux droites. Elles se coupent en \((4,2)\). Vérification : \(4 + 2(2) = 8\) et \(4 - 2 = 2\). La solution est donc \((4,2)\).
À vous
À vous 1 : quelle est la solution \((x,y)\) du système \(3x + y = 8\) et \(x + y = 4\) ?
Indice : soustrayez la deuxième équation de la première pour éliminer \(y\), puis remplacez dans une équation.
À vous 2 : si deux droites ont la même pente mais des ordonnées à l'origine différentes, le système a :
Indice : même pente signifie droites parallèles ; des ordonnées à l'origine différentes signifient qu'elles ne se rencontrent jamais.
Résumé
La méthode graphique transforme un système en deux droites ; la solution est leur intersection.
Droites parallèles → aucune solution ; même droite → une infinité de solutions.
Substitution
Résoudre des systèmes par substitution
Objectif d'apprentissage : résoudre un système en réécrivant une équation puis en substituant dans l'autre.
Idée clé
La méthode par substitution est efficace quand une équation est déjà résolue pour une variable (ou peut l'être facilement). Étapes :
Résoudre une équation pour \(x\) ou \(y\).
Substituer cette expression dans l'autre équation.
Résoudre l'équation à une seule inconnue obtenue.
Remplacer pour trouver l'autre variable.
Vérifier dans les deux équations.
Exemple guidé
Exemple : résolvez par substitution : \(\begin{cases}y = -x + 4\\2x + y = 6\end{cases}\).
Substituez \(y=-x+4\) dans \(2x+y=6\) : \(2x+(-x+4)=6 \Rightarrow x+4=6 \Rightarrow x=2\). Trouvez maintenant \(y\) : \(y=-2+4=2\). Vérification : \(2x+y=2(2)+2=6\). La solution est donc \((2,2)\).
À vous
À vous 1 : résolvez par substitution : \(\begin{cases}y = 2x + 1\\x + y = 7\end{cases}\). Quel est \((x,y)\) ?
Indice : substituez \(y=2x+1\) dans \(x+y=7\).
À vous 2 : dans le système \(\begin{cases}y = -x + 4\\2x + y = 6\end{cases}\), après avoir substitué \(y\) dans la deuxième équation, vous devez résoudre :
Indice : substituez \(y=-x+4\) dans \(2x+y=6\) et simplifiez.
Résumé
La substitution remplace une variable par une expression équivalente.
Remplacez toujours ensuite dans une équation et vérifiez le couple ordonné dans les deux équations.
Élimination
Résoudre des systèmes par élimination (addition et soustraction)
Objectif d'apprentissage : résoudre un système en additionnant ou en soustrayant les équations pour éliminer une variable.
Idée clé
La méthode par élimination (aussi appelée addition/soustraction) est rapide quand les coefficients sont alignés. Étapes :
Écrire les deux équations sous une forme comparable (comme \(Ax+By=C\)).
Si nécessaire, multiplier une ou deux équations pour créer des coefficients opposés.
Additionner ou soustraire pour éliminer une variable.
Résoudre pour la variable restante, puis remplacer.
Soustrayez la deuxième équation de la première pour éliminer \(y\) : \((3x+2y)-(x+2y)=11-5 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3\). Remplacez dans \(x+2y=5\) : \(3+2y=5 \Rightarrow 2y=2 \Rightarrow y=1\). Vérification : \(3(3)+2(1)=11\). La solution est donc \((3,1)\).
À vous
À vous 1 : quelle est la solution \((x,y)\) du système \(x + 2y = 8\) et \(x - y = 2\) ?
Indice : soustrayez \((x-y=2)\) de \((x+2y=8)\) pour éliminer \(x\).
À vous 2 : quelle est la solution \((x,y)\) du système \(2x + 3y = 11\) et \(x + y = 4\) ?
Indice : multipliez \(x+y=4\) par \(-2\), puis additionnez avec \(2x+3y=11\).
Résumé
L'élimination retire une variable en additionnant ou en soustrayant les équations.
On peut multiplier une équation, à condition de multiplier tous ses termes.
Nombre de solutions
Une solution, aucune solution ou une infinité de solutions
Objectif d'apprentissage : classer un système comme indépendant, incompatible ou dépendant avec l'algèbre.
Idée clé
Quand vous éliminez puis résolvez, trois cas peuvent se produire :
Une solution : vous obtenez un seul couple ordonné \((x,y)\).
Aucune solution : vous obtenez une contradiction comme \(0=5\). (Les droites sont parallèles.)
Une infinité de solutions : vous obtenez une identité comme \(0=0\). (Même droite.)
Exemple guidé
Exemple : déterminez le nombre de solutions de \(\begin{cases}x+2y=4\\2x+4y=8\end{cases}\).
Multipliez la première équation par \(2\) : \(2(x+2y)=2\cdot4 \Rightarrow 2x+4y=8\). Cela correspond exactement à la deuxième équation, donc les deux équations représentent la même droite. Le système a une infinité de solutions (système dépendant).
À vous
À vous 1 : déterminez le nombre de solutions de \(\begin{cases}x - 2y = 3\\2x - 4y = 8\end{cases}\).
Indice : multipliez la première équation par \(2\) et comparez-la à la deuxième.
À vous 2 : déterminez le nombre de solutions de \(\begin{cases}2x - 3y = 1\\4x - 6y = 2\end{cases}\).
Indice : la deuxième équation est exactement \(2\) fois la première.
Résumé
\(0=0\) après élimination signifie une infinité de solutions (même droite).
\(0=\text{nonzero}\) après élimination signifie aucune solution (droites parallèles).
Stratégie et pratique
Choisir une méthode et résoudre efficacement
Objectif d'apprentissage : savoir quand utiliser la méthode graphique, la substitution ou l'élimination, puis résoudre proprement.
Idée clé
Méthode graphique : utile pour visualiser et vérifier, mais parfois imprécise sans calculatrice.
Substitution : idéale quand une variable est déjà isolée (comme \(y=2x+1\)).
Élimination : idéale quand les coefficients correspondent (ou peuvent correspondre après multiplication).
Exemple guidé
Exemple : résolvez \(\begin{cases}5x + 4y = 13\\x + y = 3\end{cases}\).
Utilisez l'élimination : multipliez \(x+y=3\) par \(4\) pour faire correspondre le terme \(4y\) : \(4x + 4y = 12\). Soustrayez de \(5x+4y=13\) : \((5x+4y)-(4x+4y)=13-12 \Rightarrow x=1\). Puis \(x+y=3 \Rightarrow 1+y=3 \Rightarrow y=2\). Donc \((x,y)=(1,2)\).
À vous
À vous 1 : résolvez le système \(\begin{cases}x + 2y = 8\\x - 2y = 4\end{cases}\). Quel est \((x,y)\) ?
Indice : additionnez les équations pour éliminer \(y\), puis remplacez dans une équation.
À vous 2 : quelle est la solution \((x,y)\) du système \(4x + y = 9\) et \(x + y = 3\) ?
Indice : soustrayez \(x+y=3\) de \(4x+y=9\) pour éliminer \(y\).
Résumé
Choisissez la méthode qui exploite la structure du système (variable isolée → substitution, coefficients correspondants → élimination).
Vérifiez toujours \((x,y)\) dans les deux équations.
Applications
Traduire des problèmes en systèmes d'équations
Objectif d'apprentissage : transformer une situation réelle en deux équations, résoudre, puis interpréter la réponse.
Où apparaissent les systèmes
Billets et argent : prix différents et totaux.
Âges : relations de somme et de différence.
Géométrie : périmètre ou aire avec des relations entre les côtés.
Mélanges : deux composants se combinent pour donner une quantité totale.
Exemple guidé : problème de billets
Exemple : les billets adultes coûtent \$12 et les billets étudiants coûtent \$8. Au total, 25 billets ont été vendus pour \$260. Combien de billets adultes et de billets étudiants ont été vendus ?
Soit \(a\) le nombre de billets adultes et \(s\) le nombre de billets étudiants. Nombre total de billets : \(a+s=25\). Coût total : \(12a+8s=260\).
Multipliez la première équation par \(8\) : \(8a+8s=200\). Soustrayez de l'équation du coût : \((12a+8s)-(8a+8s)=260-200 \Rightarrow 4a=60 \Rightarrow a=15\). Puis \(s=25-15=10\). Il y a donc 15 billets adultes et 10 billets étudiants.
À vous
À vous 1 : deux nombres ont pour somme \(11\) et pour différence \(3\). Si \(x\) est le plus grand, quel est \((x,y)\) ?
Indice : utilisez \(x+y=11\) et \(x-y=3\).
À vous 2 : un rectangle a un périmètre de \(34\). Sa longueur vaut \(3\) de plus que sa largeur. Si \((w,\ell)\) représente (largeur, longueur), quel est \((w,\ell)\) ?
Indice : un périmètre de \(34\) signifie \(2w+2\ell=34\), et \(\ell=w+3\).
Résumé
Définissez clairement les variables, puis écrivez une équation pour chaque relation.
Après avoir résolu, vérifiez si la réponse a du sens dans le contexte.
Vue d'ensemble
Vérifier votre solution et relier les idées
Objectif d'apprentissage : vérifier les solutions de façon fiable, résumer les stratégies principales et terminer par une dernière vérification.
Comment vérifier une solution
Pour vérifier \((x,y)\), remplacez les valeurs dans les deux équations. Si les deux équations sont vraies, le couple ordonné est une solution. Si même une seule est fausse, ce n'est pas une solution.
Exemple guidé : vérifier une solution
Exemple : vérifiez si \((2,3)\) est une solution de \(2x+y=7\) et \(x+2y=8\).
Première équation : \(2(2)+3=4+3=7\) ✅ Deuxième équation : \(2+2(3)=2+6=8\) ✅ Donc \((2,3)\) est une solution.
À vous
À vous 1 : quelle est la solution \((x,y)\) du système \(2x + y = 7\) et \(x + 2y = 8\) ?
Indice : multipliez la première équation par \(2\) ou utilisez l'élimination pour retirer \(y\) ou \(x\).
À vous 2 : quelle méthode est généralement la plus efficace pour le système \(x + y = 7\) et \(x - y = 1\) ?
Indice : additionner les équations annule immédiatement \(y\).
Récapitulatif final
Méthode graphique : le point d'intersection est la solution.
Substitution : remplacer une variable par une expression équivalente.
Élimination : additionner ou soustraire les équations pour retirer une variable (multiplier si nécessaire).
Classification : une solution (indépendant), aucune solution (incompatible), une infinité (dépendant).
Vérification : remplacer \((x,y)\) dans les deux équations à chaque fois.
Prochaine étape : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Si vous manquez une question, rouvrez le livre et revoyez la page qui correspond à la compétence sur les systèmes dont vous avez besoin.
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