चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ समीकरणों के निकाय अभ्यास प्रश्नोत्तरी
पृष्ठ के ऊपर दिए प्रश्नोत्तरी से प्रणालीs का समीकरण और प्रणालीs का रैखिक समीकरण का अभ्यास करें: क्रमित pair \((x,y)\) के लिए दो-चर रैखिक प्रणाली हल करना, ग्राफ बनाना विधि, प्रतिस्थापन विधि, और उन्मूलन विधि (विज्ञापनजोड़/घटाव) उपयोग करना, प्रतिस्थापन से हल जाँचें करना, और पहचानना कि प्रणाली में एक हल, नहीं हल, या अनंत रूप से कई हल हैं। आप संगत बनाम असंगत और स्वतंत्र बनाम आश्रित प्रणालीs जैसी साझा classifications, साथ ही असली शब्द समस्याएँ के साथ प्रणालीs का समीकरण का अभ्यास भी करेंगे। यदि आपको पुनरावृत्ति चाहिए, तो हल किया हुआ उदाहरण वाली चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका खोलने के लिए पाठ शुरू करें पर क्लिक करें।
यह प्रणालीs का समीकरण अभ्यास कैसे काम करता है
1. प्रश्नोत्तरी लें: पृष्ठ के ऊपर दिए प्रणालीs का समीकरण प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें (वैकल्पिक): ग्राफ बनाना, प्रतिस्थापन, उन्मूलन, और रैखिक प्रणालीs classify करना दोहराएं।
3. दोबारा प्रयास करें: प्रश्नोत्तरी पर लौटें और प्रणालीs रणनीतियाँ तुरंत लागू करें।
प्रणालीs का समीकरण पाठ में आप क्या सीखेंगे
मूल बातें और शब्दावली
प्रणाली का रैखिक समीकरण और हल \((x,y)\) का अर्थ
मानक रूप \(Ax+By=C\), ढाल-अवरोध रूप, और रेखाएँ की व्याख्या
संगत / असंगत और स्वतंत्र / आश्रित प्रणालीs
ग्राफ बनाना विधि
हर समीकरण आलेख करें और प्रतिच्छेद बिंदु खोजें
समानांतर रेखाएँ (नहीं हल) और एक ही रेखा (अनंत रूप से कई हल) पहचानें
हल की संख्या जल्दी predict करने के लिए ढाल और अवरोध उपयोग करें
प्रतिस्थापन और उन्मूलन विधियाँ
प्रतिस्थापन विधि: चर के लिए हल करें करें, प्रतिस्थापित करें करें, फिर back-प्रतिस्थापित करें करें
उन्मूलन (विज्ञापनजोड़/घटाव): समीकरण जोड़ें या घटाएं ताकि एक चर eliminate हो
Opposite coefficients बनाने और त्रुटियाँ घटाने के लिए समीकरण गुणा करें करें
अनुप्रयोग और हल जाँचें करना
\((x,y)\) को दोनों समीकरण में डालकर हल जाँचें करें
प्रणालीs का उपयोग करके शब्द समस्याएँ हल करें (tickets, ages, mixtures, ज्यामिति)
उत्तर को context में समझें और impossible परिणाम जल्दी पहचानें
प्रश्नोत्तरी पर वापस
जब आप तैयार हों, पृष्ठ के ऊपर वाले प्रश्नोत्तरी पर लौटें और प्रणालीs का समीकरण हल करने का अभ्यास जारी रखें।
⭐⭐⭐
🧩
समीकरणों के निकाय
चरण-दर-चरण मार्गदर्शिका
खोलने के लिए टैप करें ->
लोड हो रहा है...
समीकरणों के निकाय पाठ
1 / 8
पाठ सारांश
पाठ सारांश
उद्देश्य:प्रणालीs का समीकरण की स्पष्ट समझ बनाएँ ताकि आप दो चर में प्रणालीs का रैखिक समीकरण को ग्राफ बनाना, प्रतिस्थापन, या उन्मूलन से हल कर सकें और समझ सकें कि प्रणाली में एक हल, नहीं हल, या अनंत रूप से कई हल हैं।
सफलता मानदंड
समझाएं कि प्रणाली का समीकरण क्या है और हल \((x,y)\) होने का क्या अर्थ है।
ग्राफ बनाना से प्रणाली हल करें और प्रतिच्छेद बिंदु पहचानें।
प्रतिस्थापन विधि से प्रणाली हल करें।
उन्मूलन विधि (विज्ञापनजोड़/घटाव) से प्रणाली हल करें, जरूरत होने पर समीकरण गुणा करें करें।
हल को दोनों समीकरण में प्रतिस्थापित करें करके जाँचें करें।
निर्णय करें कि प्रणाली में एक हल, नहीं हल, या अनंत रूप से कई हल हैं।
संगत / असंगत और स्वतंत्र / आश्रित शब्दों का सही उपयोग करें।
प्रणालीs का समीकरण का उपयोग करके शब्द समस्याएँ मॉडल और हल करें करें।
मुख्य शब्दावली
प्रणाली का समीकरण: समान चर वाली दो (या अधिक) समीकरण।
हल: क्रमित pair \((x,y)\) जो दोनों समीकरण को सत्य बनाता है।
रैखिक समीकरण: ऐसी समीकरण जिसका आलेख straight रेखा होता है।
संगत: प्रणाली में कम से कम एक हल है।
असंगत: प्रणाली में कोई हल नहीं है।
स्वतंत्र: प्रणाली में exactly एक हल है (रेखाएँ एक बार प्रतिच्छेद करें करती हैं)।
आश्रित: प्रणाली में अनंत रूप से कई हल हैं (समीकरण एक ही रेखा दर्शाती हैं)।
प्रतिस्थापन / उन्मूलन: प्रणालीs हल करें करने के साझा बीजीय विधियाँ।
त्वरित पूर्व-जांच
पूर्व-जांच 1: कौन सा क्रमित pair \((x,y)\), प्रणाली \(x + y = 5\) और \(x - y = 1\) को हल करें करता है?
संकेत: \(y\) eliminate करने के लिए दोनों समीकरण जोड़ें, फिर back प्रतिस्थापित करें करें।
पूर्व-जांच 2: प्रणाली \(\begin{cases}2x - 3y = 1\\4x - 6y = 2\end{cases}\) में कितने हल हैं?
संकेत: दूसरी समीकरण पहली की गुणज है, इसलिए वे एक ही रेखा बताती हैं।
ग्राफ बनाना
प्रणालीs का रैखिक समीकरण को आलेख करना
सीखने का लक्ष्य: दो रैखिक समीकरण आलेख करें और हल को उनके प्रतिच्छेद बिंदु के रूप में पहचानें।
मुख्य विचार
दो चर वाली हर रैखिक समीकरण का आलेख एक रेखा होता है। प्रणाली का हल वह बिंदु \((x,y)\) है जो दोनों रेखाएँ पर होता है। इसलिए हल प्रतिच्छेद बिंदु है।
एक बार प्रतिच्छेद करें: एक हल (स्वतंत्र प्रणाली)।
समानांतर रेखाएँ: नहीं हल (असंगत प्रणाली)।
समान रेखा: अनंत रूप से कई हल (आश्रित प्रणाली)।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: ग्राफ बनाना से प्रणाली हल करें: \(x + 2y = 8\) और \(x - y = 2\).
हर समीकरण को ढाल-अवरोध रूप में लिखें। \(x + 2y = 8\) से: \(2y = -x + 8 \Rightarrow y = -\tfrac12 x + 4\). \(x - y = 2\) से: \(-y = 2 - x \Rightarrow y = x - 2\).
दोनों रेखाएँ आलेख करें। वे \((4,2)\) पर प्रतिच्छेद करें करती हैं। जाँचें: \(4 + 2(2) = 8\) और \(4 - 2 = 2\). इसलिए हल \((4,2)\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: प्रणाली \(3x + y = 8\) और \(x + y = 4\) का हल \((x,y)\) क्या है?
संकेत: \(y\) eliminate करने के लिए पहली समीकरण में से दूसरी घटाएं, फिर प्रतिस्थापित करें करें।
खुद कोशिश 2: यदि दो रेखाएँ की समान ढाल हो लेकिन different \(y\)-अवरोध हों, तो प्रणाली में:
संकेत: समान ढाल का अर्थ समानांतर है; different अवरोध का अर्थ वे कभी नहीं मिलतीं।
सारांश
ग्राफ बनाना प्रणाली को दो रेखाएँ में बदलता है और हल उनका प्रतिच्छेद है।
समानांतर रेखाएँ → नहीं हल; एक ही रेखा → अनंत रूप से कई हल।
प्रतिस्थापन
प्रतिस्थापन से प्रणालीs हल करें
सीखने का लक्ष्य: एक समीकरण को rewrite करके और दूसरी में प्रतिस्थापित करें करके प्रणाली हल करें।
मुख्य विचार
प्रतिस्थापन विधि तब सबसे अच्छा होता है जब कोई समीकरण पहले से चर के लिए solved हो (या आसानी से solved हो सके)। Steps:
एक समीकरण को \(x\) या \(y\) के लिए हल करें करें।
उस व्यंजक को दूसरी समीकरण में प्रतिस्थापित करें करें।
मिली हुई एक-चर समीकरण हल करें।
दूसरा चर पाने के लिए back-प्रतिस्थापित करें करें।
दोनों समीकरण में जाँचें करें।
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: प्रतिस्थापन से हल करें: \(\begin{cases}y = -x + 4\\2x + y = 6\end{cases}\).
\(y=-x+4\) को \(2x+y=6\) में प्रतिस्थापित करें करें: \(2x+(-x+4)=6 \Rightarrow x+4=6 \Rightarrow x=2\). अब \(y\) निकालें: \(y=-2+4=2\). जाँचें: \(2x+y=2(2)+2=6\). इसलिए हल \((2,2)\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: प्रतिस्थापन से हल करें: \(\begin{cases}y = 2x + 1\\x + y = 7\end{cases}\). \((x,y)\) क्या है?
संकेत: \(y=2x+1\) को \(x+y=7\) में प्रतिस्थापित करें करें।
खुद कोशिश 2: प्रणाली \(\begin{cases}y = -x + 4\\2x + y = 6\end{cases}\) में, \(y\) को second समीकरण में प्रतिस्थापित करें करने के बाद आपको हल करें करना चाहिए:
संकेत: \(y=-x+4\) को \(2x+y=6\) में प्रतिस्थापित करें करें और सरल करें करें।
सारांश
प्रतिस्थापन एक चर को समतुल्य व्यंजक से replace करता है।
हमेशा back-प्रतिस्थापित करें करें और क्रमित pair को दोनों समीकरण में जाँचें करें।
उन्मूलन
उन्मूलन से प्रणालीs हल करें (विज्ञापनजोड़ और घटाव)
सीखने का लक्ष्य: एक चर eliminate करने के लिए समीकरण जोड़कर या घटाकर प्रणाली हल करें।
मुख्य विचार
उन्मूलन विधि (विज्ञापनजोड़/घटाव भी कहते हैं) तब तेज होता है जब coefficients रेखा ऊपर करते हैं। Steps:
दोनों समीकरण matching रूप में लिखें (जैसे \(Ax+By=C\)).
जरूरत हो तो opposite coefficients बनाने के लिए एक या दोनों समीकरण गुणा करें करें।
चर eliminate करने के लिए विज्ञापनd या घटाएँ करें।
बचे चर के लिए हल करें करें, फिर प्रतिस्थापित करें करें।
\(y\) eliminate करने के लिए पहली समीकरण में से दूसरी घटाएं: \((3x+2y)-(x+2y)=11-5 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3\). \(x+2y=5\) में प्रतिस्थापित करें करें: \(3+2y=5 \Rightarrow 2y=2 \Rightarrow y=1\). जाँचें: \(3(3)+2(1)=11\). इसलिए हल \((3,1)\) है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: प्रणाली \(x + 2y = 8\) और \(x - y = 2\) का हल \((x,y)\) क्या है?
संकेत: \(x\) eliminate करने के लिए \((x+2y=8)\) में से \((x-y=2)\) घटाएं।
खुद कोशिश 2: प्रणाली \(2x + 3y = 11\) और \(x + y = 4\) का हल \((x,y)\) क्या है?
संकेत: \(x+y=4\) को \(-2\) से गुणा करें करें और \(2x+3y=11\) में विज्ञापनd करें।
सारांश
उन्मूलन समीकरण जोड़कर/घटाकर एक चर हटाता है।
समीकरण गुणा करें करना allowed है, बस हर पद गुणा करें करें।
हल की संख्या
One हल, नहीं हल, या अनंत रूप से कई हल
सीखने का लक्ष्य: Algebra से प्रणाली को स्वतंत्र, असंगत, या आश्रित classify करें।
मुख्य विचार
जब आप eliminate और हल करें करते हैं, तीन में से एक बात होती है:
One हल: आपको एक single क्रमित pair \((x,y)\) मिलता है।
नहीं हल: \(0=5\) जैसा विरोधाभास मिलता है। (रेखाएँ समानांतर हैं।)
Infinitely many हल: \(0=0\) जैसी तत्समक मिलती है। (समान रेखा.)
हल किया गया उदाहरण
उदाहरण: \(\begin{cases}x+2y=4\\2x+4y=8\end{cases}\) के हल की संख्या निर्धारित करें।
पहली समीकरण को \(2\) से गुणा करें करें: \(2(x+2y)=2\cdot4 \Rightarrow 2x+4y=8\). यह exactly second समीकरण से मिलान करें करती है, इसलिए दोनों समीकरण एक ही रेखा दर्शाती हैं। प्रणाली में अनंत रूप से कई हल हैं (आश्रित प्रणाली)।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: \(\begin{cases}x - 2y = 3\\2x - 4y = 8\end{cases}\) के हल की संख्या निर्धारित करें।
संकेत: पहली समीकरण को \(2\) से गुणा करें करें और second समीकरण से compare करें।
खुद कोशिश 2: \(\begin{cases}2x - 3y = 1\\4x - 6y = 2\end{cases}\) के हल की संख्या निर्धारित करें।
संकेत: दूसरी समीकरण exactly पहली की \(2\) समयs है।
सारांश
उन्मूलन के बाद \(0=0\) का अर्थ अनंत रूप से कई हल (एक ही रेखा) है।
उन्मूलन के बाद \(0=\text{शून्येतर}\) का अर्थ नहीं हल (समानांतर रेखाएँ) है।
रणनीति और अभ्यास
विधि चुनें और efficiently हल करें करें
सीखने का लक्ष्य: ग्राफ बनाना, प्रतिस्थापन, या उन्मूलन कब उपयोग करना है, यह तय करें और साफ-सुथरा हल करें करें।
मुख्य विचार
ग्राफ बनाना: visualize और जाँचें करने के लिए अच्छा है, लेकिन कैलकुलेटर के बिना imprecise हो सकता है।
प्रतिस्थापन: सर्वश्रेष्ठ wn a चर is alreविज्ञापनy isolated (जैसे \(y=2x+1\)).
उन्मूलन: सर्वश्रेष्ठ wn coefficients मिलान करें (या multiplying के बाद मिलान करें कर सकते हैं)।
उन्मूलन उपयोग करें: \(4y\) मिलान करें करने के लिए \(x+y=3\) को \(4\) से गुणा करें करें: \(4x + 4y = 12\). \(5x+4y=13\) में से घटाएं: \((5x+4y)-(4x+4y)=13-12 \Rightarrow x=1\). फिर \(x+y=3 \Rightarrow 1+y=3 \Rightarrow y=2\). इसलिए \((x,y)=(1,2)\).
संकेत: \(y\) eliminate करने के लिए समीकरण विज्ञापनd करें, फिर प्रतिस्थापित करें करें।
खुद कोशिश 2: प्रणाली \(4x + y = 9\) और \(x + y = 3\) का हल \((x,y)\) क्या है?
संकेत: \(y\) eliminate करने के लिए \(4x+y=9\) में से \(x+y=3\) घटाएं।
सारांश
प्रणाली की संरचना के आधार पर विधि चुनें (isolated चर → प्रतिस्थापन, matching coefficients → उन्मूलन)।
हमेशा \((x,y)\) को दोनों समीकरण में जाँचें करें।
अनुप्रयोग
शब्द समस्याएँ को प्रणालीs का समीकरण में बदलें
सीखने का लक्ष्य: वास्तविक situation को दो समीकरण में बदलें, हल करें करें, और उत्तर की व्याख्या करें।
प्रणालीs कहां दिखते हैं
Tickets और mएकy: अलग prices और कुल।
Ages: योग और अंतर relationships।
ज्यामिति: भुजाएँ के बीच relationships के साथ perimeter या क्षेत्रफल।
Mixtures: दो अवयव मिलकर कुल amount बनाते हैं।
हल किया गया उदाहरण: ticket समस्या
उदाहरण: विज्ञापनult tickets की कीमत \$12 और student tickets की कीमत \$8 है। कुल 25 tickets \$260 में बिके। कितने विज्ञापनult tickets और student tickets बिके?
मान लें \(a\) = विज्ञापनult tickets और \(s\) = student tickets. कुल tickets: \(a+s=25\). कुल cost: \(12a+8s=260\).
पहली समीकरण को \(8\) से गुणा करें करें: \(8a+8s=200\). Cost समीकरण से घटाएं: \((12a+8s)-(8a+8s)=260-200 \Rightarrow 4a=60 \Rightarrow a=15\). फिर \(s=25-15=10\). इसलिए 15 विज्ञापनult tickets और 10 student tickets बिके।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: दो संख्याएँ का योग \(11\) है और अंतर \(3\) है। यदि \(x\) बड़ा है, तो \((x,y)\) क्या है?
संकेत: \(x+y=11\) और \(x-y=3\) उपयोग करें।
खुद कोशिश 2: एक rectकोण का perimeter \(34\) है। इसकी लंबाई, चौड़ाई से \(3\) अधिक है। यदि \((w,\ell)\) = (चौड़ाई, लंबाई), तो \((w,\ell)\) क्या है?
संकेत: Perimeter \(34\) का अर्थ \(2w+2\ell=34\), और \(\ell=w+3\).
सारांश
चर साफ परिभाषित करें करें, फिर हर relationship के लिए एक समीकरण लिखें।
हल करें करने के बाद जाँचें करें कि उत्तर context में sensible है या नहीं।
Big Picture
हल जाँचें करें और विचार जोड़ें
सीखने का लक्ष्य: हल reliably verify करें, main रणनीतियाँ summarize करें, और अंतिम जाँचें करें।
हल कैसे जाँचें करें
\((x,y)\) जाँचें करने के लिए मान को दोनों समीकरण में प्रतिस्थापित करें करें। यदि दोनों समीकरण सत्य हैं, तो क्रमित pair हल है। यदि एक भी असत्य है, तो हल नहीं है।
हल किया गया उदाहरण: हल verify करें
उदाहरण: जाँचें करें कि \((2,3)\), \(2x+y=7\) और \(x+2y=8\) का हल है या नहीं।
पहला समीकरण: \(2(2)+3=4+3=7\) ✅ Second समीकरण: \(2+2(3)=2+6=8\) ✅ इसलिए \((2,3)\) हल है।
खुद कोशिश करें
खुद कोशिश 1: प्रणाली \(2x + y = 7\) और \(x + 2y = 8\) का हल \((x,y)\) क्या है?
संकेत: पहली समीकरण को \(2\) से गुणा करें करें या \(y\) या \(x\) हटाने के लिए उन्मूलन उपयोग करें।
खुद कोशिश 2: प्रणाली \(x + y = 7\) और \(x - y = 1\) के लिए आम तौर पर कौन सा विधि सबसे efficient है?
संकेत: समीकरण जोड़ने पर \(y\) तुरंत cancel हो जाता है।
अंतिम सारांश
ग्राफ बनाना: प्रतिच्छेद बिंदु हल है।
प्रतिस्थापन: एक चर को समतुल्य व्यंजक से replace करें।
उन्मूलन: चर हटाने के लिए समीकरण विज्ञापनd/घटाएँ करें (जरूरत हो तो गुणा करें करें)।
Classification: एक हल (स्वतंत्र), नहीं हल (असंगत), अनंत रूप से कई (आश्रित)।
जाँचें: हर बार \((x,y)\) को दोनों समीकरण में प्रतिस्थापित करें करें।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और अपना प्रश्नोत्तरी फिर से आजमाएं। यदि कोई प्रश्न छूट जाए, तो पुस्तक फिर खोलें और जिस प्रणालीs कौशल की जरूरत हो, वही पृष्ठ दोहराएं।
5+ स्ट्रीक
10+ स्ट्रीक
15+ स्ट्रीक
20+ स्ट्रीक
25+ स्ट्रीक