Quiz d’entraînement sur les espaces vectoriels et sous-espaces avec leçon interactive étape par étape

Espaces vectoriels, sous-espaces et test de sous-espace

Idée clé

Un espace vectoriel \(V\) sur un corps (comme \(\mathbb{R}\)) est un ensemble muni de deux opérations : l’addition de vecteurs et la multiplication par un scalaire, qui vérifient les axiomes usuels (associativité, commutativité de l’addition, lois de distributivité, élément neutre scalaire, élément neutre additif \(0\), opposés et stabilité).

Un sous-ensemble \(U\subseteq V\) est un sous-espace s’il est un espace vectoriel pour les mêmes opérations. En pratique, on utilise le test de sous-espace.

Le test de sous-espace

• Vecteur nul : \(0 \in U\).
• Stabilité par addition : si \(u,v\in U\), alors \(u+v\in U\).
• Stabilité par multiplication scalaire : si \(u\in U\) et \(c\in \mathbb{R}\), alors \(cu\in U\).

Exemples courants

• \(\mathbb{R}^n\) et tout plan passant par l’origine dans \(\mathbb{R}^3\).
• Espaces de matrices comme \(M_{m\times n}(\mathbb{R})\) ; les ensembles définis par des contraintes linéaires sont souvent des sous-espaces.
• Espaces de fonctions comme \(C[0,1]\) ; les ensembles définis par des conditions linéaires (par exemple \(f(0)=0\)) sont des sous-espaces.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Un sous-espace doit contenir \(0\) et être stable par addition et multiplication scalaire.
• Les ensembles comme \(x+y=1\) sont généralement affines (décalés) et échouent au test \(0\in U\).

Combinaisons linéaires, espace engendré et description des sous-espaces

Idée clé

Une combinaison linéaire de vecteurs \(v_1,\dots,v_k\) est tout vecteur de la forme \[ c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k \] où \(c_1,\dots,c_k\in\mathbb{R}\). L’espace engendré est l’ensemble de toutes ces combinaisons : \[ \text{span}\{v_1,\dots,v_k\}=\{c_1 v_1 + \cdots + c_k v_k : c_i\in\mathbb{R}\}. \] Un espace engendré est toujours un sous-espace.

Les espaces de solutions sont des sous-espaces

L’ensemble des solutions d’un système homogène \(Ax=0\) est le noyau de \(A\), \[ \mathcal{N}(A)=\{x: Ax=0\}, \] et c’est toujours un sous-espace de \(\mathbb{R}^n\).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• \(\text{span}(S)\) est toujours un sous-espace : il contient \(0\) et est stable par combinaisons linéaires.
• Les espaces de solutions homogènes (noyaux) sont des sous-espaces, et leur dimension est le nombre de paramètres libres.

Bases, coordonnées dans une base et dimension

Idée clé

Une famille \(B=\{b_1,\dots,b_n\}\) est une base d’un espace vectoriel \(V\) si : (1) elle engendre \(V\), et (2) elle est linéairement indépendante. Quand \(B\) est une base, tout \(v\in V\) s’écrit de façon unique sous la forme \[ v = c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n. \] Les scalaires \((c_1,\dots,c_n)\) sont les coordonnées de \(v\) dans la base \(B\).

Dimension

Si \(V\) est de dimension finie, la dimension \(\dim V\) est le nombre de vecteurs dans n’importe quelle base de \(V\). Par exemple, \(\dim \mathbb{R}^n = n\), \(\dim P_n = n+1\) et \(\dim M_{m\times n}(\mathbb{R}) = mn\). Si \(V\) possède une base de taille \(5\), alors \(\dim V = 5\) et \(\dim V^* = 5\) aussi.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Les bases donnent des représentations en coordonnées uniques.
• La dimension est le nombre de vecteurs dans une base (et \(\dim V^*=\dim V\) pour \(V\) de dimension finie).

Intersection, somme, union et géométrie des sous-espaces dans \(\mathbb{R}^n\)

Intersection \(U\cap W\)

Si \(U\) et \(W\) sont des sous-espaces de \(V\), alors \(U\cap W\) est toujours un sous-espace de \(V\). Raison : il contient \(0\) et il est stable par addition et multiplication scalaire, car \(U\) et \(W\) le sont tous les deux.

Somme \(U+W\)

La somme de deux sous-espaces est \[ U+W=\{u+w: u\in U,\; w\in W\}. \] C’est le plus petit sous-espace contenant à la fois \(U\) et \(W\).

Union \(U\cup W\)

En général, l’union de deux sous-espaces n’est pas un sous-espace. Elle n’est un sous-espace que dans le cas particulier où l’un des sous-espaces est contenu dans l’autre : \[ U\cup W \text{ est un sous-espace } \Longleftrightarrow U\subseteq W \text{ ou } W\subseteq U. \]

Exemple guidé

À vous

Résumé

• \(U\cap W\) et \(U+W\) sont toujours des sous-espaces.
• \(U\cup W\) n’est généralement pas un sous-espace (sauf si l’un contient l’autre).

Dimension en pratique : contraintes, degrés de liberté et dimension infinie

Idée clé

La dimension compte les « degrés de liberté ». Chaque contrainte linéaire indépendante réduit généralement la dimension de \(1\) (dans un cadre de dimension finie). Par exemple, une seule équation linéaire homogène dans \(\mathbb{R}^3\) définit un sous-espace de dimension 2 (un plan passant par l’origine).

Dimension finie ou infinie

Un espace vectoriel est de dimension finie s’il possède une base finie. S’il n’existe aucune base finie, il est de dimension infinie (par exemple \(P\) = tous les polynômes, ou \(C[0,1]\)). Si un sous-espace \(S\) est de dimension infinie, alors il ne peut pas être engendré par un nombre fini de vecteurs (toute famille génératrice doit être infinie).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Les dimensions comptent les paramètres libres (degrés de liberté).
• Dimension infinie signifie qu’il n’existe aucune famille génératrice finie.

Espaces quotients \(V/W\) : vecteurs modulo un sous-espace

Idée clé

Soit \(W\) un sous-espace de \(V\). Deux vecteurs \(v\) et \(u\) sont considérés équivalents modulo \(W\) si \[ v-u \in W. \] La classe d’équivalence de \(v\) est la classe \[ v+W = \{v+w : w\in W\}. \] L’espace quotient \(V/W\) est l’ensemble de toutes les classes : \[ V/W = \{v+W : v\in V\}. \]

Comment penser \(V/W\)

• On « écrase » tout le sous-espace \(W\) pour qu’il joue le rôle de l’élément nul dans le quotient.
• Les vecteurs qui diffèrent d’un élément de \(W\) deviennent le même point dans \(V/W\).
• C’est utile pour se concentrer sur les directions « hors de \(W\) » et simplifier la structure.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• \(V/W\) est l’ensemble des classes \(v+W\), c’est-à-dire des vecteurs modulo le sous-espace \(W\).
• Les quotients « écrasent » les directions de \(W\) afin de se concentrer sur ce qui reste.

Pourquoi les espaces vectoriels et les sous-espaces sont importants

Où apparaissent les espaces vectoriels et les sous-espaces

• Systèmes linéaires : les ensembles de solutions de \(Ax=0\) sont des sous-espaces (noyaux).
• Applications linéaires : noyaux et images sont des sous-espaces ; la dimension est liée au rang et à la nullité.
• Géométrie : les droites et plans passant par l’origine sont des sous-espaces ; sommes et intersections correspondent à l’intuition géométrique.
• Données et ML : les sous-espaces modélisent des structures de petite dimension dans des données de grande dimension (ACP/PCA).
• Fonctions : de nombreux espaces de fonctions sont des espaces vectoriels ; des contraintes comme \(f(0)=0\) définissent des sous-espaces.

Exemple guidé : un comptage propre de dimension dans les matrices

À vous

Récapitulatif final

• Test de sous-espace : vérifier \(0\in U\), la stabilité par addition et la stabilité par multiplication scalaire.
• Espace engendré : toutes les combinaisons linéaires ; \(\text{span}(S)\) est toujours un sous-espace.
• Base : engendre + est libre ; donne des coordonnées uniques.
• Dimension : nombre de vecteurs d’une base ; compte les degrés de liberté.
• Opérations : \(U\cap W\) et \(U+W\) sont des sous-espaces ; \(U\cup W\) ne l’est généralement pas.
• Quotient : \(V/W\) est formé des classes \(v+W\), c’est-à-dire des vecteurs modulo \(W\).