Vecteurs et opérations vectorielles I : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.

Notation vectorielle, composantes et opérations de base

Idée clé

Un vecteur de \(\mathbb{R}^n\) peut s’écrire \(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\). Les opérations de base se font composante par composante : \[ (u_1,\dots,u_n) + (v_1,\dots,v_n) = (u_1+v_1,\dots,u_n+v_n), \] \[ (u_1,\dots,u_n) - (v_1,\dots,v_n) = (u_1-v_1,\dots,u_n-v_n), \] et, pour un scalaire \(k\), \[ k(v_1,\dots,v_n) = (kv_1,\dots,kv_n). \]

Exemple guidé

À vous

Bilan

• On additionne/soustrait des vecteurs en additionnant/soustrayant les composantes correspondantes.
• La multiplication par un scalaire multiplie chaque composante par ce scalaire.

Norme (longueur) et vecteurs unitaires

Idée clé

La norme (norme euclidienne) de \(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\) est : \[ \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}. \] Pour un vecteur non nul \(v\), le vecteur unitaire dans la direction de \(v\) est : \[ \hat v = \frac{v}{\|v\|}. \] La direction reste la même, mais la longueur devient \(1\).

Exemple guidé

À vous

Bilan

• Norme : \(\|v\|=\sqrt{\sum v_i^2}\).
• Vecteur unitaire : \(\hat v=\dfrac{v}{\|v\|}\) pour v≠ 0.

Produit scalaire, angles et orthogonalité

Idée clé

Le produit scalaire de \(u=(u_1,\dots,u_n)\) et \(v=(v_1,\dots,v_n)\) est : \[ u\cdot v=u_1v_1+\cdots+u_nv_n. \] Il relie l’algèbre à la géométrie : \[ u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos\theta, \] où \(\theta\) est l’angle entre \(u\) et \(v\) (pour des vecteurs non nuls). En particulier, des vecteurs orthogonaux vérifient \(u\cdot v=0\).

Exemple guidé

À vous

Bilan

• Produit scalaire : \(u\cdot v=\sum u_iv_i\).
• Orthogonalité : \(u\cdot v=0\). Angle : \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\).

Projection vectorielle et composantes dans une direction

Idée clé

La projection de \(a\) sur un vecteur non nul \(b\) est : \[ \mathrm{proj}_b a = \frac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b. \] Elle donne la composante vectorielle de \(a\) qui pointe dans la direction de \(b\). (Si vous voulez seulement la longueur signée, la projection scalaire est \(\mathrm{comp}_b a = \dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\).)

Exemple guidé

À vous

Bilan

• Formule de projection : \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b\) pour b≠ 0.
• La projection isole la partie de \(a\) qui pointe dans la direction de \(b\).

Familles orthonormées et indépendance linéaire

Idée clé

Une famille de vecteurs est orthonormée si chaque vecteur a une norme \(1\) et si chaque paire est orthogonale : \[ \|u\|=\|v\|=1 \quad \text{et} \quad u\cdot v=0. \] Des vecteurs sont linéairement dépendants si l’un est un multiple scalaire d’un autre (par exemple \(v=2u\)). Deux vecteurs de \(\mathbb{R}^2\) sont linéairement indépendants précisément lorsqu’ils ne sont pas multiples.

Exemple guidé

À vous

Bilan

• Orthonormé : chaque vecteur a une norme \(1\) et chaque paire a un produit scalaire \(0\).
• Dépendance linéaire : un vecteur est un multiple scalaire d’un autre (test rapide courant).

Bases du produit vectoriel dans \(\mathbb{R}^3\)

Idée clé

Le produit vectoriel \(u\times v\) est défini pour des vecteurs de \(\mathbb{R}^3\). Il produit un vecteur perpendiculaire à \(u\) et à \(v\). Sa norme est : \[ \|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta, \] ce qui correspond à l’aire du parallélogramme engendré par \(u\) et \(v\). La direction est donnée par la règle de la main droite.

Exemple guidé

À vous

Bilan

• \(u\times v\) est perpendiculaire à \(u\) et à \(v\) (dans \(\mathbb{R}^3\)).
• \(\|u\times v\|=\|u\|\|v\|\sin\theta\) donne l’aire d’un parallélogramme.

Pourquoi les opérations vectorielles sont importantes

Où les vecteurs apparaissent

• Géométrie : déplacements, directions, distances et angles.
• Physique : forces, vitesse, accélération et décomposition en composantes avec des projections.
• Graphisme informatique : éclairage et angles de vue avec des produits scalaires ; normales avec des produits vectoriels.
• Données et ML : similarité cosinus (produit scalaire normalisé) pour comparer des directions dans des espaces de grande dimension.

Exemple guidé : angle à partir de l’orthogonalité

À vous

Récapitulatif final

• Les vecteurs s’additionnent et se soustraient composante par composante ; un scalaire multiplie chaque composante.
• Norme : \(\|v\|=\sqrt{\sum v_i^2}\) ; vecteur unitaire : \(\hat v=\dfrac{v}{\|v\|}\) pour v≠ 0.
• Le produit scalaire relie l’algèbre à la géométrie : \(u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta\), et orthogonal signifie \(u\cdot v=0\).
• Projection : \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b\) pour b≠ 0.
• Dans \(\mathbb{R}^3\), le produit vectoriel donne un vecteur perpendiculaire et une aire.