Практические задания, тест и пошаговый урок по теме Векторы и операции с векторами I - улучшайте математические навыки с помощью точных вопросов и понятных объяснений.

Векторная запись, компоненты и базовые операции

Главная идея

Вектор в \(\mathbb{R}^n\) можно записать как \(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\). Основные операции выполняются покомпонентно: \[ (u_1,\dots,u_n) + (v_1,\dots,v_n) = (u_1+v_1,\dots,u_n+v_n), \] \[ (u_1,\dots,u_n) - (v_1,\dots,v_n) = (u_1-v_1,\dots,u_n-v_n), \] а для скаляра \(k\): \[ k(v_1,\dots,v_n) = (kv_1,\dots,kv_n). \]

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Складывайте/вычитайте векторы, складывая/вычитая соответствующие компоненты.
• Умножение на скаляр умножает каждую компоненту на этот скаляр.

Модуль (длина) и единичные векторы

Главная идея

Модуль (евклидова норма) вектора \(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\) равен: \[ \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}. \] Для ненулевого вектора \(v\) единичный вектор в направлении \(v\): \[ \hat v = \frac{v}{\|v\|}. \] Направление остается тем же, но длина становится равной \(1\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Модуль: \(\|v\|=\sqrt{\sum v_i^2}\).
• Единичный вектор: \(\hat v=\dfrac{v}{\|v\|}\) при v≠ 0.

Скалярное произведение, углы и ортогональность

Главная идея

Скалярное произведение \(u=(u_1,\dots,u_n)\) и \(v=(v_1,\dots,v_n)\) равно: \[ u\cdot v=u_1v_1+\cdots+u_nv_n. \] Оно связывает алгебру с геометрией: \[ u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos\theta, \] где \(\theta\) - угол между \(u\) и \(v\) (для ненулевых векторов). В частности, ортогональные векторы удовлетворяют \(u\cdot v=0\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Скалярное произведение: \(u\cdot v=\sum u_iv_i\).
• Ортогональность: \(u\cdot v=0\). Угол: \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\).

Проекция вектора и компоненты вдоль направления

Главная идея

Проекция вектора \(a\) на ненулевой вектор \(b\) равна: \[ \mathrm{proj}_b a = \frac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b. \] Это дает векторную компоненту \(a\), направленную вдоль \(b\). (Если нужна только знаковая длина, скалярная проекция равна \(\mathrm{comp}_b a = \dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\).)

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Формула проекции: \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b\) при b≠ 0.
• Проекция выделяет часть \(a\), направленную вдоль \(b\).

Ортонормированные наборы и линейная независимость

Главная идея

Набор векторов является ортонормированным, если каждый вектор имеет длину \(1\), а каждая пара ортогональна: \[ \|u\|=\|v\|=1 \quad \text{и} \quad u\cdot v=0. \] Векторы линейно зависимы, если один является скалярным кратным другого (например, \(v=2u\)). Два вектора в \(\mathbb{R}^2\) линейно независимы ровно тогда, когда они не кратны.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Ортонормированный набор: каждый вектор имеет длину \(1\), а скалярное произведение каждой пары равно \(0\).
• Линейная зависимость: один вектор является скалярным кратным другого (частый быстрый тест).

Основы векторного произведения в \(\mathbb{R}^3\)

Главная идея

Векторное произведение \(u\times v\) определено для векторов в \(\mathbb{R}^3\). Оно дает вектор, перпендикулярный и \(u\), и \(v\). Его модуль равен: \[ \|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta, \] что соответствует площади параллелограмма, натянутого на \(u\) и \(v\). Направление определяется правилом правой руки.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• \(u\times v\) перпендикулярен и \(u\), и \(v\) (в \(\mathbb{R}^3\)).
• \(\|u\times v\|=\|u\|\|v\|\sin\theta\) дает площадь параллелограмма.

Почему операции с векторами важны

Где встречаются векторы

• Геометрия: перемещение, направление, расстояние и углы.
• Физика: силы, скорость, ускорение и разложение на компоненты с помощью проекций.
• Компьютерная графика: освещение и углы обзора через скалярные произведения; нормали через векторные произведения.
• Данные и ML: косинусное сходство (нормированное скалярное произведение) для сравнения направлений в пространствах высокой размерности.

Разобранный пример: угол через ортогональность

Попробуйте

Итоговое повторение

• Векторы складываются/вычитаются покомпонентно; скаляры умножают каждую компоненту.
• Модуль: \(\|v\|=\sqrt{\sum v_i^2}\); единичный вектор: \(\hat v=\dfrac{v}{\|v\|}\) при v≠ 0.
• Скалярное произведение связывает алгебру с геометрией: \(u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta\), а ортогональность означает \(u\cdot v=0\).
• Проекция: \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b\) при b≠ 0.
• Векторное произведение в \(\mathbb{R}^3\) дает перпендикулярный вектор и модуль площади.