सदिश एवं सदिश संक्रियाएँ I अभ्यास प्रश्न, क्विज़ और चरण-दर-चरण पाठ - केंद्रित प्रश्नों और स्पष्ट स्पष्टीकरणों से अपनी गणित क्षमता सुधारें।

सदिश संकेतन, घटक और बुनियादी संक्रियाएँ

मुख्य विचार

\(\mathbb{R}^n\) में सदिश को \(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\) के रूप में लिखा जा सकता है। मुख्य संक्रियाएँ घटक-वार होती हैं: \[ (u_1,\dots,u_n) + (v_1,\dots,v_n) = (u_1+v_1,\dots,u_n+v_n), \] \[ (u_1,\dots,u_n) - (v_1,\dots,v_n) = (u_1-v_1,\dots,u_n-v_n), \] और किसी अदिश \(k\) के लिए, \[ k(v_1,\dots,v_n) = (kv_1,\dots,kv_n). \]

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• सदिशों को संबंधित घटक जोड़कर/घटाकर जोड़ें/घटाएँ।
• अदिश गुणन हर घटक को उस अदिश से गुणा करता है।

परिमाण (लंबाई) और इकाई सदिश

मुख्य विचार

\(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\) का परिमाण (यूक्लिडीय मान) है: \[ \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}. \] शून्येतर सदिश \(v\) के लिए, \(v\) की दिशा में इकाई सदिश है: \[ \hat v = \frac{v}{\|v\|}. \] इससे दिशा वही रहती है, पर लंबाई \(1\) हो जाती है।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• परिमाण: \(\|v\|=\sqrt{\sum v_i^2}\)।
• इकाई सदिश: \(v≠ 0\) के а¤Іа¤їа¤Џ \(\hat v=\dfrac{v}{\|v\|}\)।

डॉट गुणनफल, कोण और लंबता

मुख्य विचार

\(u=(u_1,\dots,u_n)\) और \(v=(v_1,\dots,v_n)\) का डॉट गुणनफल है: \[ u\cdot v=u_1v_1+\cdots+u_nv_n. \] यह बीजगणित को ज्यामिति से जोड़ता है: \[ u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos\theta, \] जहाँ \(\theta\), \(u\) और \(v\) के बीच का कोण है (शून्येतर सदिशों के लिए)। विशेष रूप से, लंब सदिश \(u\cdot v=0\) संतुष्ट करते हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• डॉट गुणनफल: \(u\cdot v=\sum u_iv_i\)।
• लंब: \(u\cdot v=0\)। कोण: \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\)।

सदिश प्रक्षेपण और किसी दिशा में घटक

मुख्य विचार

शून्येतर सदिश \(b\) पर \(a\) का प्रक्षेपण है: \[ \mathrm{proj}_b a = \frac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b. \] यह \(a\) का वह सदिश घटक देता है जो \(b\) की दिशा में संकेत करता है। (यदि आपको केवल चिह्नित लंबाई चाहिए, तो अदिश प्रक्षेपण \(\mathrm{comp}_b a = \dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\) है।)

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• प्रक्षेपण सूत्र: \(b≠ 0\) के а¤Іа¤їа¤Џ \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b\)।
• प्रक्षेपण \(a\) के उस а¤­а¤ѕа¤— को а¤…а¤Іа¤— करता है जो \(b\) की दिशा में है।

लंब-इकाई समुच्चय और रैखिक स्वतंत्रता

मुख्य विचार

सदिशों का कोई समुच्चय लंब-इकाई है यदि हर सदिश की लंबाई \(1\) हो और हर जोड़ी लंब हो: \[ \|u\|=\|v\|=1 \quad \text{और} \quad u\cdot v=0. \] सदिश रैखिक रूप से आश्रित हैं यदि एक दूसरे का अदिश गुणज है (जैसे \(v=2u\))। \(\mathbb{R}^2\) में दो सदिश ठीक तब रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं जब वे गुणज नहीं हैं।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• लंब-इकाई: प्रत्येक सदिश की लंबाई \(1\) होती है और हर जोड़ी का डॉट गुणनफल \(0\) होता है।
• रैखिक आश्रय: एक सदिश दूसरे का अदिश गुणज है (सामान्य तेज़ परीक्षण)।

\(\mathbb{R}^3\) में क्रॉस गुणनफल की मूल बातें

मुख्य विचार

क्रॉस गुणनफल \(u\times v\), \(\mathbb{R}^3\) के सदिशों के लिए परिभाषित है। यह \(u\) और \(v\) दोनों के लंब एक सदिश देता है। इसका परिमाण है: \[ \|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta, \] जो \(u\) और \(v\) से बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है। दिशा दाएँ हाथ के नियम से तय होती है।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• \(u\times v\), \(u\) और \(v\) दोनों के लंब होता है (\(\mathbb{R}^3\) में)।
• \(\|u\times v\|=\|u\|\|v\|\sin\theta\) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल देता है।

सदिश संक्रियाएँ क्यों मायने रखती हैं

सदिश कहाँ दिखाई देते हैं

• ज्यामिति: विस्थापन, दिशा, दूरी और कोण।
• भौतिकी: बल, वेग, त्वरण और प्रक्षेपणों से घटक-विभाजन।
• कंप्यूटर ग्राफिक्स: डॉट गुणनफल से प्रकाश और देखने के कोण; क्रॉस गुणनफल से सामान्य सदिश।
• डेटा और मशीन लर्निंग: उच्च-आयामी स्थानों में दिशाओं की तुलना के а¤Іа¤їа¤Џ कोसाइन समानता (सामान्यीकृत डॉट गुणनफल)।

हल किया हुआ उदाहरण: लंबता से कोण

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अंतिम सारांश

• सदिशों को घटक-दर-घटक जोड़ा/घटाया जाता है; अदिश हर घटक को गुणा करता है।
• परिमाण: \(\|v\|=\sqrt{\sum v_i^2}\); इकाई सदिश: \(v≠ 0\) के а¤Іа¤їа¤Џ \(\hat v=\dfrac{v}{\|v\|}\)।
• डॉट गुणनफल बीजगणित को ज्यामिति से जोड़ता है: \(u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta\) और लंब का अर्थ \(u\cdot v=0\) है।
• प्रक्षेपण: \(b≠ 0\) के а¤Іа¤їа¤Џ \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b\)।
• \(\mathbb{R}^3\) में क्रॉस गुणनफल लंब सदिश और क्षेत्रफल परिमाण देता है।