Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Vektor dan operasi vektor I - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.

Notasi vektor, komponen, dan operasi dasar

Ide kunci

Vektor di \(\mathbb{R}^n\) dapat ditulis sebagai \(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\). Operasi inti bersifat per komponen: \[ (u_1,\dots,u_n) + (v_1,\dots,v_n) = (u_1+v_1,\dots,u_n+v_n), \] \[ (u_1,\dots,u_n) - (v_1,\dots,v_n) = (u_1-v_1,\dots,u_n-v_n), \] dan untuk skalar \(k\), \[ k(v_1,\dots,v_n) = (kv_1,\dots,kv_n). \]

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Jumlahkan/kurangkan vektor dengan menjumlahkan/mengurangkan komponen yang bersesuaian.
• Perkalian skalar mengalikan setiap komponen dengan skalar.

Besar (panjang) dan vektor satuan

Ide kunci

Besar (norma Euclid) dari \(v=(v_1,v_2,\dots,v_n)\) adalah: \[ \|v\|=\sqrt{v_1^2+v_2^2+\cdots+v_n^2}. \] Untuk vektor tak nol \(v\), vektor satuan dalam arah \(v\) adalah: \[ \hat v = \frac{v}{\|v\|}. \] Ini mempertahankan arah, tetapi mengubah panjang menjadi \(1\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Besar: \(\|v\|=\sqrt{\sum v_i^2}\).
• Vektor satuan: \(\hat v=\dfrac{v}{\|v\|}\) untuk \(v≠ 0\).

Hasil kali titik, sudut, dan ortogonalitas

Ide kunci

Hasil kali titik dari \(u=(u_1,\dots,u_n)\) dan \(v=(v_1,\dots,v_n)\) adalah: \[ u\cdot v=u_1v_1+\cdots+u_nv_n. \] Ini menghubungkan aljabar dengan geometri: \[ u\cdot v=\|u\|\,\|v\|\cos\theta, \] dengan \(\theta\) sebagai sudut antara \(u\) dan \(v\) (untuk vektor tak nol). Secara khusus, vektor ortogonal memenuhi \(u\cdot v=0\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Hasil kali titik: \(u\cdot v=\sum u_iv_i\).
• Ortogonal: \(u\cdot v=0\). Sudut: \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\).

Proyeksi vektor dan komponen sepanjang arah

Ide kunci

Proyeksi \(a\) pada vektor tak nol \(b\) adalah: \[ \mathrm{proj}_b a = \frac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b. \] Ini memberi komponen vektor dari \(a\) yang mengarah ke arah \(b\). (Jika Anda hanya menginginkan panjang bertanda, proyeksi skalar adalah \(\mathrm{comp}_b a = \dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\).)

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Rumus proyeksi: \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b\) untuk \(b≠ 0\).
• Proyeksi mengisolasi bagian dari \(a\) yang mengarah sepanjang \(b\).

Himpunan ortonormal dan independensi linear

Ide kunci

Himpunan vektor disebut ortonormal jika setiap vektor memiliki panjang \(1\) dan setiap pasangan ortogonal: \[ \|u\|=\|v\|=1 \quad \text{dan} \quad u\cdot v=0. \] Vektor disebut bergantung linear jika salah satunya adalah kelipatan skalar dari yang lain (misalnya, \(v=2u\)). Dua vektor di \(\mathbb{R}^2\) independen linear tepat ketika keduanya bukan kelipatan.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Ortonormal: setiap vektor memiliki panjang \(1\) dan setiap pasangan memiliki hasil kali titik \(0\).
• Ketergantungan linear: satu vektor adalah kelipatan skalar dari vektor lain (tes cepat yang umum).

Dasar hasil kali silang di \(\mathbb{R}^3\)

Ide kunci

Hasil kali silang \(u\times v\) didefinisikan untuk vektor di \(\mathbb{R}^3\). Hasilnya adalah vektor yang tegak lurus terhadap \(u\) dan \(v\). Besarnya adalah: \[ \|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta, \] yang sama dengan luas jajargenjang yang direntang oleh \(u\) dan \(v\). Arahnya ditentukan oleh aturan tangan kanan.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(u\times v\) tegak lurus terhadap \(u\) dan \(v\) (di \(\mathbb{R}^3\)).
• \(\|u\times v\|=\|u\|\|v\|\sin\theta\) memberi luas jajargenjang.

Mengapa operasi vektor penting

Di mana vektor muncul

• Geometri: perpindahan, arah, jarak, dan sudut.
• Fisika: gaya, kecepatan, percepatan, dan penguraian komponen menggunakan proyeksi.
• Grafika komputer: pencahayaan dan sudut pandang lewat hasil kali titik; normal lewat hasil kali silang.
• Data dan pembelajaran mesin: kemiripan kosinus (hasil kali titik ternormalisasi) untuk membandingkan arah di ruang berdimensi tinggi.

Contoh dikerjakan: sudut dari ortogonalitas

Coba

Rekap akhir

• Vektor dijumlahkan/dikurangkan per komponen; skalar mengalikan setiap komponen.
• Besar: \(\|v\|=\sqrt{\sum v_i^2}\); vektor satuan: \(\hat v=\dfrac{v}{\|v\|}\) untuk \(v≠ 0\).
• Hasil kali titik menghubungkan aljabar dengan geometri: \(u\cdot v=\|u\|\|v\|\cos\theta\) dan ortogonal berarti \(u\cdot v=0\).
• Proyeksi: \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b\) untuk \(b≠ 0\).
• Hasil kali silang di \(\mathbb{R}^3\) memberi vektor tegak lurus dan besar luas.