Vecteurs et opérations sur les vecteurs II : questions d’entraînement, quiz et leçon pas à pas - progressez en maths avec des questions ciblées et des explications claires.

Produit vectoriel : direction perpendiculaire et aire

Idée clé

Pour \(u=(u_1,u_2,u_3)\) et \(v=(v_1,v_2,v_3)\) dans \(\mathbb{R}^3\), le produit vectoriel est \[ u\times v= \bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr). \] Le vecteur \(u\times v\) est perpendiculaire à \(u\) et à \(v\). Sa norme vérifie \[ \|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta, \] donc \(\|u\times v\|\) est l’aire du parallélogramme engendré par \(u\) et \(v\), et \(\dfrac12\|u\times v\|\) est l’aire du triangle.

Exemple guidé

À vous

Bilan

• \(u\times v\) est perpendiculaire à \(u\) et à \(v\) (dans \(\mathbb{R}^3\)).
• \(\|u\times v\|\) donne l’aire du parallélogramme ; sa moitié donne l’aire du triangle.

Produit mixte : volume et coplanarité

Idée clé

Le produit mixte (ou produit scalaire triple) est \[ (u\times v)\cdot w. \] Il est égal au déterminant \[ (u\times v)\cdot w = \det[u\;v\;w], \] et sa valeur absolue est le volume du parallélépipède engendré par \(u,v,w\) : \[ \text{Volume}=\left|(u\times v)\cdot w\right|. \] En particulier, \[ (u\times v)\cdot w=0 \quad \Longleftrightarrow \quad u,v,w\ \text{sont coplanaires (volume %%ELOMATH_I18N_MATH_1%%).} \]

Exemple guidé

À vous

Bilan

• Produit mixte : \((u\times v)\cdot w=\det[u\;v\;w]\).
• Volume : \(\left|(u\times v)\cdot w\right|\). Coplanaire \(\Leftrightarrow\) produit mixte \(=0\).

Projection et composante scalaire dans une direction

Idée clé

La projection de \(a\) sur un vecteur non nul \(b\) est \[ \mathrm{proj}_b a = \frac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b \quad (b\neq 0). \] Elle donne la composante vectorielle de \(a\) orientée dans la direction de \(b\). La projection scalaire (aussi appelée composante scalaire) est la longueur signée : \[ \mathrm{comp}_b a = \frac{a\cdot b}{\|b\|} \quad (b\neq 0). \] Une décomposition utile est \[ a = \mathrm{proj}_b a + \bigl(a - \mathrm{proj}_b a\bigr), \] où le second terme est perpendiculaire à \(b\).

Exemple guidé

À vous

Bilan

• \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}b\) et \(\mathrm{comp}_b a=\dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\) (pour b≠ 0).
• La projection est la partie « dans la direction de \(b\) » ; \(a-\mathrm{proj}_b a\) est perpendiculaire à \(b\).

Distance à une droite/un axe et distance à un plan

Idée clé

Distance d’un point à une droite passant par l’origine : si la droite a pour direction d≠ 0 et si le vecteur position du point est \(p\), alors le point le plus proche sur la droite est \(\mathrm{proj}_d p\), donc \[ \text{dist}(p,\text{droite})=\left\|p-\mathrm{proj}_d p\right\|. \] Une formule équivalente avec le produit vectoriel est \[ \text{dist}(p,\text{droite})=\frac{\|p\times d\|}{\|d\|}. \] Distance d’un point à un plan : pour un plan \(n\cdot x=d\) de vecteur normal n≠ 0, \[ \text{dist}(p,\text{plan})=\frac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}. \] Si le plan passe par l’origine, alors \(d=0\).

Exemple guidé

À vous

Bilan

• Distance point-droite (droite passant par l’origine) : \(\|p-\mathrm{proj}_d p\|\) ou \(\dfrac{\|p\times d\|}{\|d\|}\).
• Distance point-plan (plan \(n\cdot x=d\)) : \(\dfrac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}\).

Gram–Schmidt : construire une base orthonormée

Idée clé

Étant donnés des vecteurs linéairement indépendants \(v_1,\dots,v_k\), Gram–Schmidt construit une famille orthogonale \(u_1,\dots,u_k\) en soustrayant des projections : \[ u_1=v_1,\quad u_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1}\mathrm{proj}_{u_i} v_j \quad (j\ge 2). \] On normalise ensuite pour obtenir une famille orthonormée : \[ e_j=\frac{u_j}{\|u_j\|}\quad (u_j\neq 0). \] L’étape clé est la composante orthogonale : \[ v_j - \mathrm{proj}_{u_1}v_j \] (elle enlève la partie de \(v_j\) qui pointe dans la direction de \(u_1\)).

Exemple guidé

À vous

Bilan

• Soustrayez des projections pour retirer le « recouvrement » et créer des vecteurs orthogonaux.
• Normalisez pour obtenir une base orthonormée : divisez par la norme.

Angles, vecteurs parallèles et tests rapides

Idée clé

L’angle \(\theta\) entre deux vecteurs non nuls \(u\) et \(v\) vérifie \[ \cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}. \] Perpendiculaire signifie \(u\cdot v=0\). Parallèle (même direction ou direction opposée) signifie que l’un est un multiple scalaire de l’autre. Dans \(\mathbb{R}^3\), un test puissant de parallélisme est \[ u\times v=0 \quad \Longleftrightarrow \quad u \text{ et } v \text{ sont linéairement dépendants (parallèles) ou l’un des deux est } 0. \]

Exemple guidé

À vous

Bilan

• Formule de l’angle : \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\) (pour des vecteurs non nuls).
• Parallélisme dans \(\mathbb{R}^3\) : \(u\times v=0\) (et des vecteurs non nuls sont des multiples scalaires).

Pourquoi ces opérations vectorielles sont importantes

Où apparaissent les vecteurs et les opérations vectorielles II

• Géométrie 3D : aires, volumes, coplanarité et distances à des droites ou des plans.
• Physique et ingénierie : moment de force (\(r\times F\)), travail et composantes (projections), et directions normales.
• Graphisme informatique : normales de surface avec les produits vectoriels, éclairage avec les produits scalaires et géométrie de caméra.
• Algèbre linéaire : bases orthonormées et procédé de Gram–Schmidt (base de QR et des moindres carrés).

Exemple guidé : composante scalaire dans une direction

À vous

Récapitulatif final

• Produit vectoriel : \(u\times v\) est perpendiculaire à \(u\) et à \(v\) ; \(\|u\times v\|\) est l’aire du parallélogramme.
• Produit mixte : \((u\times v)\cdot w=\det[u\;v\;w]\) ; \(\left|(u\times v)\cdot w\right|\) est un volume ; \(=0\) signifie coplanaire.
• Projection : \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}b\), projection scalaire : \(\mathrm{comp}_b a=\dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\).
• Distance : à un plan \(n\cdot x=d\), c’est \(\dfrac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}\) ; à une droite passant par l’origine de direction \(d\), c’est \(\|p-\mathrm{proj}_d p\|\).
• Gram–Schmidt : on soustrait des projections pour obtenir des vecteurs orthogonaux, puis on normalise pour obtenir une base orthonormée.