Тест по векторам и операциям с векторами II с пошаговым интерактивным уроком

Векторное произведение: перпендикулярное направление и площадь

Главная идея

Для \(u=(u_1,u_2,u_3)\) и \(v=(v_1,v_2,v_3)\) в \(\mathbb{R}^3\) векторное произведение равно \[ u\times v= \bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr). \] Вектор \(u\times v\) перпендикулярен и \(u\), и \(v\). Его модуль удовлетворяет \[ \|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta, \] поэтому \(\|u\times v\|\) - это площадь параллелограмма, натянутого на \(u\) и \(v\), а \(\dfrac12\|u\times v\|\) - площадь треугольника.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• \(u\times v\) перпендикулярен и \(u\), и \(v\) (в \(\mathbb{R}^3\)).
• \(\|u\times v\|\) дает площадь параллелограмма; половина этого значения дает площадь треугольника.

Скалярное тройное произведение: объем и компланарность

Главная идея

Скалярное тройное произведение (смешанное произведение) равно \[ (u\times v)\cdot w. \] Оно равно определителю \[ (u\times v)\cdot w = \det[u\;v\;w], \] а его абсолютное значение - это объем параллелепипеда, натянутого на \(u,v,w\): \[ \text{Объем}=\left|(u\times v)\cdot w\right|. \] В частности, \[ (u\times v)\cdot w=0 \quad \Longleftrightarrow \quad u,v,w\ \text{компланарны (объем \(=0\)).} \]

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Скалярное тройное произведение: \((u\times v)\cdot w=\det[u\;v\;w]\).
• Объем: \(\left|(u\times v)\cdot w\right|\). Компланарность \(\Leftrightarrow\) тройное произведение \(=0\).

Проекция и скалярная компонента вдоль направления

Главная идея

Проекция \(a\) на ненулевой вектор \(b\) равна \[ \mathrm{proj}_b a = \frac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b \quad (b≠ 0). \] Это возвращает векторную компоненту \(a\), направленную вдоль \(b\). Скалярная проекция (также называется скалярной компонентой) - это знаковая длина: \[ \mathrm{comp}_b a = \frac{a\cdot b}{\|b\|} \quad (b≠ 0). \] Полезное разложение: \[ a = \mathrm{proj}_b a + \bigl(a - \mathrm{proj}_b a\bigr), \] где второй член перпендикулярен \(b\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}b\) и \(\mathrm{comp}_b a=\dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\) (при \(b≠ 0\)).
• Проекция - это часть "вдоль \(b\)"; \(a-\mathrm{proj}_b a\) перпендикулярна \(b\).

Расстояние до прямой/оси и расстояние до плоскости

Главная идея

Расстояние от точки до прямой через начало координат: если прямая имеет направление \(d≠ 0\), а радиус-вектор точки равен \(p\), то ближайшая точка на прямой - \(\mathrm{proj}_d p\), поэтому \[ \text{расст.}(p,\text{прямая})=\left\|p-\mathrm{proj}_d p\right\|. \] Эквивалентная формула через векторное произведение: \[ \text{расст.}(p,\text{прямая})=\frac{\|p\times d\|}{\|d\|}. \] Расстояние от точки до плоскости: для плоскости \(n\cdot x=d\) с нормальным вектором \(n≠ 0\): \[ \text{расст.}(p,\text{плоскость})=\frac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}. \] Если плоскость проходит через начало координат, то \(d=0\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Расстояние от точки до прямой (через начало координат): \(\|p-\mathrm{proj}_d p\|\) или \(\dfrac{\|p\times d\|}{\|d\|}\).
• Расстояние от точки до плоскости (плоскость \(n\cdot x=d\)): \(\dfrac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}\).

Грам-Шмидт: построение ортонормированного базиса

Главная идея

Для линейно независимых векторов \(v_1,\dots,v_k\) процесс Грама-Шмидта строит ортогональный набор \(u_1,\dots,u_k\), вычитая проекции: \[ u_1=v_1,\quad u_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1}\mathrm{proj}_{u_i} v_j \quad (j\ge 2). \] Затем нормируйте, чтобы получить ортонормированный набор: \[ e_j=\frac{u_j}{\|u_j\|}\quad (u_j≠ 0). \] "Магический шаг" - это ортогональная компонента: \[ v_j - \mathrm{proj}_{u_1}v_j \] (она удаляет часть \(v_j\), направленную вдоль \(u_1\)).

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Вычитайте проекции, чтобы убрать "перекрытие" и получить ортогональные векторы.
• Нормируйте, чтобы получить ортонормированный базис: делите на модуль.

Углы, параллельные векторы и быстрые проверки

Главная идея

Угол \(\theta\) между ненулевыми векторами \(u\) и \(v\) удовлетворяет \[ \cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}. \] Перпендикулярность означает \(u\cdot v=0\). Параллельность (одинаковое или противоположное направление) означает, что один вектор является скалярным кратным другого. В \(\mathbb{R}^3\) мощный тест параллельности: \[ u\times v=0 \quad \Longleftrightarrow \quad u \text{ и } v \text{ линейно зависимы (параллельны) или один из них равен } 0. \]

Разобранный пример

Попробуйте

Итоги

• Формула угла: \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\) (для ненулевых векторов).
• Параллельность в \(\mathbb{R}^3\): \(u\times v=0\) (а ненулевые векторы являются скалярными кратными).

Почему эти операции с векторами важны

Где встречаются векторы и операции с векторами II

• 3D-геометрия: площади, объемы, компланарность и расстояния до прямых/плоскостей.
• Физика и инженерия: момент силы (\(r\times F\)), работа и компоненты (проекции), нормальные направления.
• Компьютерная графика: нормали поверхностей через векторные произведения, освещение через скалярные произведения и геометрия камеры.
• Линейная алгебра: ортонормированные базисы и процесс Грама-Шмидта (основа для QR и метода наименьших квадратов).

Разобранный пример: скалярная компонента в направлении

Попробуйте

Итоговое повторение

• Векторное произведение: \(u\times v\) перпендикулярно \(u\) и \(v\); \(\|u\times v\|\) - площадь параллелограмма.
• Скалярное тройное произведение: \((u\times v)\cdot w=\det[u\;v\;w]\); \(\left|(u\times v)\cdot w\right|\) - объем; \(=0\) означает компланарность.
• Проекция: \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}b\), скалярная проекция: \(\mathrm{comp}_b a=\dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\).
• Расстояние: до плоскости \(n\cdot x=d\) равно \(\dfrac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}\); до прямой через начало координат с направлением \(d\) равно \(\|p-\mathrm{proj}_d p\|\).
• Грам-Шмидт: вычитайте проекции, чтобы получить ортогональные векторы, затем нормируйте для ортонормированного базиса.