सदिश एवं सदिश संक्रियाएँ II अभ्यास प्रश्न, क्विज़ और चरण-दर-चरण पाठ - केंद्रित प्रश्नों और स्पष्ट स्पष्टीकरणों से अपनी गणित क्षमता सुधारें।

क्रॉस गुणनफल: लंब दिशा और क्षेत्रफल

मुख्य विचार

\(\mathbb{R}^3\) में \(u=(u_1,u_2,u_3)\) और \(v=(v_1,v_2,v_3)\) के लिए क्रॉस गुणनफल है \[ u\times v= \bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr). \] सदिश \(u\times v\), \(u\) और \(v\) दोनों के लंब होता है। इसका परिमाण संतुष्ट करता है \[ \|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta, \] इसलिए \(\|u\times v\|\), \(u\) और \(v\) से बने समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, और \(\dfrac12\|u\times v\|\) त्रिभुज का क्षेत्रफल है।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• \(u\times v\), \(u\) और \(v\) दोनों के लंब होता है (\(\mathbb{R}^3\) में)।
• \(\|u\times v\|\) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल देता है; उसका आधा त्रिभुज का क्षेत्रफल देता है।

अदिश त्रिगुणनफल: आयतन और सहतलीयता

मुख्य विचार

अदिश त्रिगुणनफल (मिश्र गुणनफल) है \[ (u\times v)\cdot w. \] यह सारणिक के बराबर होता है \[ (u\times v)\cdot w = \det[u\;v\;w], \] और इसका निरपेक्ष मान \(u,v,w\) से बने समांतरषट्फलक का आयतन है: \[ \text{आयतन}=\left|(u\times v)\cdot w\right|. \] विशेष रूप से, \[ (u\times v)\cdot w=0 \quad \Longlefत्रिकोणमितीयhtarrow \quad u,v,w\ \text{are coplanar (आयतन @@P7@@).} \]

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• अदिश त्रिगुणनफल: \((u\times v)\cdot w=\det[u\;v\;w]\)।
• आयतन: \(\left|(u\times v)\cdot w\right|\)। सहतलीय \(\Lefत्रिकोणमितीयhtarrow\) त्रिगुणनफल \(=0\)।

किसी दिशा में प्रक्षेपण और अदिश घटक

मुख्य विचार

शून्येतर सदिश \(b\) पर \(a\) का प्रक्षेपण है \[ \mathrm{proj}_b a = \frac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b \quad (b\neq 0). \] इससे \(a\) का वह सदिश घटक मिलता है जो \(b\) की दिशा में है। अदिश प्रक्षेपण (या अदिश घटक) चिह्नित लंबाई है: \[ \mathrm{comp}_b a = \frac{a\cdot b}{\|b\|} \quad (b\neq 0). \] उपयोगी विघटन है \[ a = \mathrm{proj}_b a + \bigl(a - \mathrm{proj}_b a\bigr), \] जहाँ दूसरा पद \(b\) के लंब होता है।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• b≠ 0 के लिए \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}b\) और \(\mathrm{comp}_b a=\dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\)।
• प्रक्षेपण "\(b\) के साथ" वाला भाग है; \(a-\mathrm{proj}_b a\), \(b\) के लंब होता है।

रेखा/अक्ष से दूरी और तल से दूरी

मुख्य विचार

मूल से जाने वाली रेखा से बिंदु की दूरी: यदि रेखा की दिशा d≠ 0 है और बिंदु का स्थिति सदिश \(p\) है, तो रेखा पर निकटतम बिंदु \(\mathrm{proj}_d p\) है, इसलिए \[ \text{dist}(p,\text{रेखा})=\left\|p-\mathrm{proj}_d p\right\|. \] समतुल्य क्रॉस-गुणनफल सूत्र है \[ \text{dist}(p,\text{रेखा})=\frac{\|p\times d\|}{\|d\|}. \] किसी बिंदु से तल की दूरी: अभिलंब सदिश n≠ 0 वाले तल \(n\cdot x=d\) के लिए, \[ \text{dist}(p,\text{तल})=\frac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}. \] यदि तल मूल से गुजरता है, तो \(d=0\)।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• बिंदु-से-रेखा दूरी (मूल से गुजरती रेखा): \(\|p-\mathrm{proj}_d p\|\) या \(\dfrac{\|p\times d\|}{\|d\|}\)।
• बिंदु-से-तल दूरी (तल \(n\cdot x=d\)): \(\dfrac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}\)।

Gram-Schmidt: लंब-इकाई आधार बनाएँ

मुख्य विचार

रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिश \(v_1,\dots,v_k\) दिए होने पर, Gram-Schmidt प्रक्षेपण घटाकर लंब समुच्चय \(u_1,\dots,u_k\) बनाता है: \[ u_1=v_1,\quad u_j = v_j - \sum_{i=1}^{j-1}\mathrm{proj}_{u_i} v_j \quad (j\ge 2). \] फिर लंब-इकाई समुच्चय पाने के लिए सामान्यीकृत करें: \[ e_j=\frac{u_j}{\|u_j\|}\quad (u_j\neq 0). \] "जादुई चरण" लंब घटक है: \[ v_j - \mathrm{proj}_{u_1}v_j \] (जो \(v_j\) का \(u_1\) की दिशा वाला भाग हटाता है)।

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• "ओवरलैप" हटाने और लंब सदिश बनाने के लिए प्रक्षेपण घटाएँ।
• लंब-इकाई आधार पाने के लिए सामान्यीकृत करें: परिमाण से भाग दें।

कोण, समांतर सदिश और तेज़ परीक्षण

मुख्य विचार

शून्येतर सदिश \(u\) और \(v\) के बीच कोण \(\theta\) संतुष्ट करता है \[ \cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}. \] लंब का अर्थ \(u\cdot v=0\) है। समांतर (समान या विपरीत दिशा) का अर्थ है कि एक दूसरे का अदिश गुणज है। \(\mathbb{R}^3\) में एक शक्तिशाली समांतर परीक्षण है \[ u\times v=0 \quad \Longlefत्रिकोणमितीयhtarrow \quad u \text{ and } v \text{ are linearly आश्रित (समानांतर) or one is } 0. \]

हल किया हुआ उदाहरण

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सारांश

• कोण सूत्र: शून्येतर सदिशों के लिए \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\)।
• \(\mathbb{R}^3\) में समांतर: \(u\times v=0\) (और शून्येतर सदिश अदिश गुणज होते हैं)।

ये सदिश संक्रियाएँ क्यों मायने रखती हैं

सदिश और सदिश संक्रियाएँ II कहाँ दिखाई देती हैं

• 3D ज्यामिति: क्षेत्रफल, आयतन, सहतलीयता, और रेखा/तल से दूरियाँ।
• भौतिकी और इंजीनियरिंग: torque (\(r\times F\)), कार्य और अवयव (प्रक्षेपण), और अभिलंब दिशाएँ।
• कंप्यूटर ग्राफिक्स: क्रॉस गुणनफल से surface normals, डॉट गुणनफल से प्रकाश, और camera ज्यामिति।
• रैखिक बीजगणित: लंब-इकाई आधार और Gram-Schmidt प्रक्रिया (QR और least वर्ग की नींव)।

हल किया हुआ उदाहरण: किसी दिशा में अदिश घटक

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अंतिम सारांश

• क्रॉस गुणनफल: \(u\times v\), \(u\) और \(v\) के लंब है; \(\|u\times v\|\) समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है।
• अदिश त्रिगुणनफल: \((u\times v)\cdot w=\det[u\;v\;w]\); \(\left|(u\times v)\cdot w\right|\) आयतन है; \(=0\) का अर्थ सहतलीय है।
• प्रक्षेपण: \(\mathrm{proj}_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}b\), अदिश प्रक्षेपण: \(\mathrm{comp}_b a=\dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\)।
• दूरी: तल \(n\cdot x=d\) से दूरी \(\dfrac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}\) है; मूल से गुजरती दिशा \(d\) वाली रेखा से दूरी \(\|p-\mathrm{proj}_d p\|\) है।
• Gram-Schmidt: लंब सदिश पाने के लिए प्रक्षेपण घटाएँ, फिर लंब-इकाई आधार के लिए सामान्यीकृत करें।