Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Vektor & Operasi Vektor II - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.

Cross product: arah tegak lurus dan luas

Ide kunci

Untuk \(u=(u_1,u_2,u_3)\) dan \(v=(v_1,v_2,v_3)\) di \(\mathbb@@P8@@^3\), cross product adalah \[ u\times v= \bigl(u_2v_3-u_3v_2,\;u_3v_1-u_1v_3,\;u_1v_2-u_2v_1\bigr). \] Vektor \(u\times v\) tegak lurus terhadap \(u\) dan \(v\). Besarnya memenuhi \[ \|u\times v\|=\|u\|\,\|v\|\sin\theta, \] sehingga \(\|u\times v\|\) adalah luas jajargenjang yang direntang \(u\) dan \(v\), dan \(\dfrac12\|u\times v\|\) adalah luas segitiga.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(u\times v\) tegak lurus terhadap \(u\) dan \(v\) (di \(\mathbb@@P4@@^3\)).
• \(\|u\times v\|\) memberi luas jajargenjang; setengahnya memberi luas segitiga.

Scalar triple product: volume dan koplanaritas

Ide kunci

Scalar triple product (mixed product) adalah \[ (u\times v)\cdot w. \] Nilainya sama dengan determinan \[ (u\times v)\cdot w = \det[u\;v\;w], \] dan nilai mutlaknya adalah volume paralelepiped yang direntang oleh \(u,v,w\): \[ \text@@P6@@=\left|(u\times v)\cdot w\right|. \] Secara khusus, \[ (u\times v)\cdot w=0 \quad \Longleftrightarrow \quad u,v,w\ \text{are coplanar (volume @@P8@@).} \]

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Scalar triple product: \((u\times v)\cdot w=\det[u\;v\;w]\).
• volume: \(\left|(u\times v)\cdot w\right|\). Koplanar \(\Leftrightarrow\) triple product \(=0\).

Proyeksi dan komponen skalar sepanjang arah

Ide kunci

Proyeksi \(a\) pada vektor tak nol \(b\) adalah \[ \mathrm@@P10@@_b a = \frac{a\cdot b}{b\cdot b}\,b \quad (b\neq 0). \] Ini menghasilkan komponen vektor dari \(a\) yang mengarah ke arah \(b\). Proyeksi skalar (juga disebut komponen skalar) adalah panjang bertanda: \[ \mathrm@@P11@@_b a = \frac{a\cdot b}{\|b\|} \quad (b\neq 0). \] Dekomposisi yang berguna adalah \[ a = \mathrm@@P12@@_b a + \bigl(a - \mathrm@@P13@@_b a\bigr), \] dengan suku kedua tegak lurus terhadap \(b\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(\mathrm@@P6@@_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}b\) dan \(\mathrm@@P7@@_b a=\dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\) (untuk b≠ 0).
• Proyeksi adalah bagian "sepanjang \(b\)"; \(a-\mathrm@@P8@@_b a\) tegak lurus terhadap \(b\).

Jarak ke garis/sumbu dan jarak ke bidang

Ide kunci

Jarak dari titik ke garis melalui titik asal: jika garis berarah d≠ 0 dan vektor posisi titik adalah \(p\), maka titik terdekat pada garis adalah \(\mathrm@@P6@@_d p\), sehingga \[ \text@@P7@@(p,\text@@P8@@)=\left\|p-\mathrm@@P9@@_d p\right\|. \] Rumus cross product yang ekuivalen adalah \[ \text@@P10@@(p,\text@@P11@@)=\frac{\|p\times d\|}{\|d\|}. \] Jarak dari titik ke bidang: untuk bidang \(n\cdot x=d\) dengan vektor normal n≠ 0, \[ \text@@P12@@(p,\text@@P13@@)=\frac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}. \] Jika bidang melalui titik asal, maka \(d=0\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Jarak titik-ke-garis (garis melalui titik asal): \(\|p-\mathrm@@P4@@_d p\|\) atau \(\dfrac{\|p\times d\|}{\|d\|}\).
• Jarak titik-ke-bidang (bidang \(n\cdot x=d\)): \(\dfrac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}\).

Gram-Schmidt: membangun basis ortonormal

Ide kunci

Diberikan vektor independen linear \(v_1,\dots,v_k\), Gram-Schmidt membuat himpunan ortogonal \(u_1,\dots,u_k\) dengan mengurangkan proyeksi: \[ u_1=v_1,\quad u_j = v_j - \sum_{i=1}^@@P6@@\mathrm@@P7@@_@@P8@@ v_j \quad (j\ge 2). \] Lalu normalkan untuk memperoleh himpunan ortonormal: \[ e_j=\frac@@P9@@{\|u_j\|}\quad (u_j\neq 0). \] "Langkah ajaib" adalah komponen ortogonal: \[ v_j - \mathrm@@P10@@_@@P11@@v_j \] (yang menghapus bagian dari \(v_j\) yang menunjuk sepanjang \(u_1\)).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Kurangi proyeksi untuk menghapus "tumpang tindih" dan membuat vektor ortogonal.
• Normalkan untuk mendapatkan basis ortonormal: bagi dengan besar.

Sudut, vektor sejajar, dan uji cepat

Ide kunci

Sudut \(\theta\) antara vektor tak nol \(u\) dan \(v\) memenuhi \[ \cos\theta=\frac{u\cdot v}{\|u\|\,\|v\|}. \] Tegak lurus berarti \(u\cdot v=0\). Sejajar (arah sama atau berlawanan) berarti salah satunya adalah kelipatan skalar dari yang lain. Di \(\mathbb@@P6@@^3\), uji sejajar yang kuat adalah \[ u\times v=0 \quad \Longleftrightarrow \quad u \text{ and } v \text{ are linearly dependent (parallel) or one is } 0. \]

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Rumus sudut: \(\cos\theta=\dfrac{u\cdot v}{\|u\|\|v\|}\) (untuk vektor tak nol).
• Sejajar di \(\mathbb@@P4@@^3\): \(u\times v=0\) (dan vektor tak nol adalah kelipatan skalar).

Mengapa operasi vektor ini penting

Di mana vektor & operasi vektor II muncul

• Geometri 3D: luas, volume, koplanaritas, dan jarak ke garis/bidang.
• Fisika dan teknik: torsi (\(r\times F\)), usaha dan komponen (proyeksi), serta arah normal.
• Grafika komputer: normal permukaan lewat cross product, pencahayaan lewat dot product, dan geometri kamera.
• Aljabar linear: basis ortonormal dan proses Gram-Schmidt (fondasi untuk QR dan kuadrat terkecil).

Contoh dikerjakan: komponen skalar dalam suatu arah

Coba

Rekap akhir

• Cross product: \(u\times v\) tegak lurus terhadap \(u\) dan \(v\); \(\|u\times v\|\) adalah luas jajargenjang.
• Scalar triple product: \((u\times v)\cdot w=\det[u\;v\;w]\); \(\left|(u\times v)\cdot w\right|\) adalah volume; \(=0\) berarti koplanar.
• Proyeksi: \(\mathrm@@P10@@_b a=\dfrac{a\cdot b}{b\cdot b}b\), proyeksi skalar: \(\mathrm@@P11@@_b a=\dfrac{a\cdot b}{\|b\|}\).
• Jarak: ke bidang \(n\cdot x=d\) adalah \(\dfrac{|n\cdot p-d|}{\|n\|}\); ke garis melalui titik asal arah \(d\) adalah \(\|p-\mathrm@@P12@@_d p\|\).
• Gram-Schmidt: kurangi proyeksi untuk mendapatkan vektor ortogonal, lalu normalkan untuk basis ortonormal.