रैखिक प्रतिचित्रण, कर्नेल और प्रतिबिंब अभ्यास क्विज़, चरण-दर-चरण संवादात्मक पाठ के साथ
नीचे दिए गए क्विज़ से रैखिक प्रतिचित्रण, कर्नेल और प्रतिबिंब का अभ्यास करें: जाँचना कि कोई प्रतिचित्रण रैखिक है या नहीं, \(T(0)=0\) का उपयोग करना, \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}\) निकालना, \(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\) का वर्णन करना, एक-एकता को \(\ker T=\{0\}\) से जोड़ना, आच्छादकता को \(\operatorname{Im}T=W\) से जोड़ना, मैट्रिक्स प्रतिचित्रणों को स्तंभ-अवकाश और शून्य-अवकाश से पढ़ना, रैंक-शून्यता का उपयोग करना, और \(S\circ T\) के एक-एक होने से \(T\) का एक-एक होना जैसे संयोजन तथ्यों को संभालना। दोहराना हो तो आसान उदाहरणों और जाँचों के लिए पाठ खोलें।
प्रश्नों का सेट पूरा करें और अंत में अपनी गलतियां देखें।
यह रैखिक प्रतिचित्रण अभ्यास कैसे काम करता है
1. क्विज़ हल करें: नीचे दिए गए रैखिक प्रतिचित्रण, कर्नेल, प्रतिबिंब, एक-एकता और आच्छादकता के प्रश्नों के उत्तर दें।
2. पाठ खोलें: हल किए हुए उदाहरणों के साथ परिभाषाएं, मैट्रिक्स-प्रतिचित्रण के त्वरित तरीके, रैंक-शून्यता और संयोजन तथ्य दोहराएं।
3. फिर से प्रयास करें: क्विज़ पर लौटें और कर्नेल/प्रतिबिंब की भाषा तुरंत उपयोग करें।
रैखिक प्रतिचित्रण, कर्नेल और प्रतिबिंब के पाठ में आप क्या सीखेंगे
रैखिक प्रतिचित्रण पहचानें
रैखिकता जाँच: \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) और \(T(cv)=cT(v)\)
शून्य जाँच: हर रैखिक प्रतिचित्रण \(0_V\) को \(0_W\) पर भेजता है
\((x,y)\mapsto(x+1,y)\) या \((x,y)\mapsto(x^2,y)\) जैसे अफ़ाइन और अरैखिक जाल पहचानें
कर्नेल और एक-एकता
कर्नेल: \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}\)
\(\ker T\) प्रांत का एक उपस्थान होता है
एक-एक: \(T\) ठीक तभी एक-एक है जब \(\ker T=\{0\}\)
प्रतिबिंब और आच्छादकता
प्रतिबिंब: सभी निर्गत \(T(v)\); यह हमेशा सहप्रांत का उपस्थान होता है
\(x\mapsto Ax\) के लिए प्रतिबिंब \(A\) का स्तंभ-अवकाश होता है
उद्देश्य: किसी रैखिक प्रतिचित्रण \(T:V\to W\) की साफ समझ बनाएं, फिर उसके दो सबसे महत्वपूर्ण उपस्थानों का उपयोग करें: प्रांत में कर्नेल और सहप्रांत में प्रतिबिंब। आप इन विचारों को एक-एकता, आच्छादकता, मैट्रिक्स प्रतिचित्रण, रैंक-शून्यता और संयोजन से जोड़ेंगे।
सफलता के मानदंड
योगात्मकता और अदिश गुणन से रैखिकता जाँचें।
स्थानांतरित प्रतिचित्रणों को जल्दी खारिज करने के लिए \(T(0_V)=0_W\) का उपयोग करें।
\(\ker T\) को \(T(v)=0\) हल करके निकालें, और जानें कि यह \(V\) का उपस्थान है।
सभी निर्गतों का वर्णन करके \(\operatorname{Im}T\) निकालें, अक्सर किसी जनित उपस्थान के रूप में।
\(\ker T=\{0\}\) से एक-एक प्रतिचित्रण और \(\operatorname{Im}T=W\) से आच्छादक प्रतिचित्रण पहचानें।
\(x\mapsto Ax\) के लिए प्रतिबिंब को स्तंभ-अवकाश और कर्नेल को \(Ax=0\) के हल-समुच्चय के रूप में पढ़ें।
आयाम गिनने के लिए \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\) का उपयोग करें।
\(S\) और \(T\) की भूमिकाएं मिलाए बिना मूल संयोजन तथ्यों का उपयोग करें।
मुख्य शब्दावली
रैखिक प्रतिचित्रण: \(T:V\to W\) ऐसा फलन जिसके लिए \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) और \(T(cv)=cT(v)\)।
कर्नेल: \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}\), प्रांत का उपस्थान।
प्रतिबिंब: \(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), सहप्रांत का उपस्थान।
रैंक: \(\dim\operatorname{Im}T\)।
शून्यता: \(\dim\ker T\)।
समाकारी प्रतिचित्रण: एक-एक और आच्छादक रैखिक प्रतिचित्रण।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: रैखिक प्रतिचित्रण \(T:V\to W\) के लिए \(T(0_V)\) क्या है?
संकेत: \(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\) का उपयोग करें, फिर \(T(0)\) को \(W\) में घटाएं।
पूर्व-जाँच 2: रैखिक प्रतिचित्रण \(T:V\to W\) का कर्नेल क्या होता है?
संकेत: कर्नेल प्रांत में रहता है और उन आगतों से बनता है जिन्हें शून्य सदिश पर भेजा जाता है।
रैखिकता संरचना को सुरक्षित रखने की बात है
सीखने का लक्ष्य: जल्दी तय करें कि कोई सूत्र रैखिक प्रतिचित्रण देता है या नहीं, और \(T(0)=0\) को तेज पहली जाँच की तरह उपयोग करें।
मुख्य विचार
प्रतिचित्रण \(T:V\to W\) रैखिक होता है जब वह रैखिक संयोजनों का सम्मान करता है: \[T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)\] सभी सदिशों \(u,v\) और अदिशों \(c,d\) के लिए। इसी एक सूत्र में योगात्मकता और अदिश गुणन दोनों शामिल हैं।
पहचान सूची
शून्य परीक्षण: यदि \(T(0)≠ 0\), तो प्रतिचित्रण रैखिक नहीं है।
स्थिर जोड़ नहीं: \(x+1\) जैसे स्थिर पद आमतौर पर अफ़ाइन प्रतिचित्रण बनाते हैं, रैखिक नहीं।
अरैखिक क्रियाएं नहीं: वर्ग, परम मान, निर्देशांकों के गुणनफल और खंडों में बदलने वाले नियम आमतौर पर रैखिकता तोड़ देते हैं।
निर्देशांक सूत्र: \(x-y\) जैसे योग और \(2x\) जैसे अदिश गुणज रैखिकता के अनुकूल हैं।
अदिश परिणाम: \(T(-v)=-T(v)\), \(T(u-v)=T(u)-T(v)\), और \(T(v/2)=T(v)/2\)।
नहीं। शून्य सदिश \(T(0,0)=(1,0)\) पर जाता है, \((0,0)\) पर नहीं। रैखिक प्रतिचित्रण को प्रांत के शून्य सदिश को सहप्रांत के शून्य सदिश पर भेजना ही चाहिए।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: \(\mathbb{R}^2\) पर कौन-सा प्रतिचित्रण रैखिक है?
संकेत: ऐसा सूत्र खोजें जो केवल निर्देशांक-योग और अदिश गुणजों से बना हो, जिसमें न स्थिर जोड़ हो और न अरैखिक क्रिया।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(T(v)=w\), तो \(T(3v)\) क्या है?
संकेत: अदिश गुणन रैखिक प्रतिचित्रण के आर-पार चला जाता है: \(T(3v)=3T(v)\)।
कर्नेल शून्य में सिमटने को मापता है
सीखने का लक्ष्य: सरल सूत्रों से कर्नेल निकालें और \(\ker T=\{0\}\) को एक-एकता की जाँच की तरह उपयोग करें।
मुख्य विचार
कर्नेल उन आगतों का समुच्चय है जो गायब होकर शून्य बन जाते हैं: \[\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}.\] यह हमेशा \(V\) का उपस्थान होता है। एक-एकता के लिए केवल शून्य सदिश को ही गायब होने की अनुमति है: \(T\) ठीक तभी एक-एक है जब \(\ker T=\{0\}\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x,z)\), के लिए \(\ker T\) निकालें।
\(T(x,y,z)=(0,0)\) हल करें। इससे \(x=0\) और \(z=0\) मिलते हैं, जबकि \(y\) स्वतंत्र है। इसलिए \[\ker T=\{(0,y,0):y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.\]
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x,0)\), के लिए \(\ker T\) क्या है?
संकेत: \((x,0)=(0,0)\) रखें। पहला निर्देशांक तय हो जाता है, लेकिन दूसरा निर्देशांक स्वतंत्र रहता है।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(T(v)=T(w)\), तो कौन-सा सदिश \(\ker T\) में है?
संकेत: रैखिकता का उपयोग करके दोनों समान प्रतिबिंबों को घटाएं।
सारांश
कर्नेल निकालने के लिए \(T(v)=0\) हल करें।
कर्नेल सदिश प्रांत में रहते हैं।
\(\ker T=\{0\}\) एक-एकता की साफ जाँच है।
प्रतिबिंब पहुंच में आने वाले निर्गतों का समुच्चय है
सीखने का लक्ष्य: प्रतिबिंबों को जनित उपस्थान या निर्देशांक शर्तों के रूप में वर्णित करें, और \(\operatorname{Im}T=W\) को आच्छादकता की जाँच की तरह उपयोग करें।
मुख्य विचार
प्रतिबिंब सभी निर्गतों का समुच्चय है: \[\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}.\] यह हमेशा सहप्रांत का उपस्थान होता है। प्रतिचित्रण \(T:V\to W\) ठीक तभी आच्छादक है जब \(W\) का हर सदिश पहुंच में आता है, इसलिए \(\operatorname{Im}T=W\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x+y,x+y)\), के लिए प्रतिबिंब का वर्णन करें।
हर निर्गत के निर्देशांक बराबर होते हैं: \((x+y,x+y)=(t,t)=t(1,1)\)। उलटी दिशा में, हर \(t(1,1)\) \(x=t,y=0\) लेने से मिल जाता है। अतः \(\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,1)\}\), जो एक-आयामी रेखा है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x,z)\), के लिए \(\operatorname{Im}T\) क्या है?
संकेत: किसी भी युग्म \((a,b)\) के लिए \(x=a\) और \(z=b\) चुनें।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(\operatorname{Im}T=W\), तो \(T\) के लिए सामान्य नाम क्या है?
संकेत: सहप्रांत का हर सदिश पहुंच में आता है।
स्तंभ-अवकाश और शून्य-अवकाश
सीखने का लक्ष्य: \(x\mapsto Ax\) के लिए कर्नेल और प्रतिबिंब के प्रश्नों को परिचित मैट्रिक्स भाषा में बदलें।
मुख्य विचार
मैट्रिक्स प्रतिचित्रण \(T(x)=Ax\) के लिए प्रतिबिंब \(A\) के स्तंभों से जनित उपस्थान होता है, जिसे स्तंभ-अवकाश भी कहते हैं। कर्नेल \(Ax=0\) का हल-समुच्चय होता है, जिसे शून्य-अवकाश भी कहते हैं। पिवट स्तंभ प्रतिबिंब का आयाम बताते हैं; स्वतंत्र चर कर्नेल का आयाम बताते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: मान लें \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&-1\end{pmatrix}\)। \(x\mapsto Ax\) के कर्नेल का वर्णन करें।
\(Ax=0\) हल करें: \[x_1+2x_3=0,\qquad x_2-x_3=0.\] \(x_3=t\) मानें। तब \(x_1=-2t\), \(x_2=t\), इसलिए \[x=t(-2,1,1).\] अतः \(\ker A=\operatorname{span}\{(-2,1,1)\}\)।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: मैट्रिक्स प्रतिचित्रण \(x\mapsto Ax\) के लिए प्रतिचित्रण का प्रतिबिंब क्या है?
संकेत: \(Ax\) के निर्गत \(A\) के स्तंभों के रैखिक संयोजन होते हैं।
स्वयं प्रयास 2: यदि किसी \(3\times2\) मैट्रिक्स के स्तंभ स्वतंत्र हैं, तो उसका कर्नेल क्या है?
संकेत: स्वतंत्र स्तंभों का अर्थ है कि \(Ax=0\) का केवल शून्य हल है, जो प्रांत का शून्य सदिश है।
रैंक-शून्यता से आयाम गिनना
सीखने का लक्ष्य: हर सदिश समीकरण हल किए बिना छूटा हुआ आयाम निकालने के लिए रैंक-शून्यता का उपयोग करें।
मुख्य विचार
परिमित-आयामी प्रांत वाले रैखिक प्रतिचित्रण \(T:V\to W\) के लिए \[\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T.\] प्रतिबिंब का आयाम रैंक है; कर्नेल का आयाम शून्यता है। ध्यान दें कि बाईं ओर प्रांत का आयाम आता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: यदि \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) आच्छादक है, तो \(\dim\ker T\) क्या है?
आच्छादक होने का अर्थ है \(\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3\), इसलिए रैंक \(=3\)। रैंक-शून्यता से \(4=\dim\ker T+3\)। अतः \(\dim\ker T=1\)।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) की रैंक \(2\) है, तो \(\dim\ker T\) क्या है?
संकेत: \(\dim V=3=\operatorname{rank}T+\operatorname{nullity}T\) का उपयोग करें।
स्वयं प्रयास 2: यदि \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) एक-एक है, तो \(\dim\operatorname{Im}T\) क्या है?
संकेत: एक-एक होने का अर्थ है शून्यता \(0\), इसलिए रैंक प्रांत के आयाम के बराबर है।
संयोजनों में कर्नेल और प्रतिबिंब कैसे व्यवहार करते हैं
सीखने का लक्ष्य: अंदर वाले और बाहर वाले प्रतिचित्रणों की भूमिकाएं उलटे बिना मूल संयोजन तथ्यों का उपयोग करें।
मुख्य विचार
रैखिक प्रतिचित्रणों का संयोजन रैखिक होता है। यदि \(S\circ T\) एक-एक है, तो \(T\) जरूर एक-एक है: समान \(T\)-निर्गत समान \((S\circ T)\)-निर्गत बन जाएंगे। यदि \(S\circ T\) आच्छादक है, तो \(S\) जरूर आच्छादक है: हर अंतिम लक्ष्य मान \(S\) को \(T\) के प्रतिबिंब में किसी तत्व पर लागू करके प्राप्त होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \((S\circ T)\) के एक-एक होने से \(T\) एक-एक क्यों होना चाहिए?
मान लें \(T(v)=T(w)\)। \(S\) लगाने पर \(S(T(v))=S(T(w))\) मिलता है। चूंकि \(S\circ T\) एक-एक है, इससे \(v=w\) मिलता है। इसलिए \(T\) एक-एक है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(S\circ T\) एक-एक है, तो \(T\) के बारे में क्या अनिवार्य है?
संकेत: \(T(v)=T(w)\) से शुरू करें, फिर \(S\) लगाएं।
स्वयं प्रयास 2: यदि कोई रैखिक प्रतिचित्रण एक-एक और आच्छादक दोनों है, तो उसे क्या कहते हैं?
संकेत: ऐसा रैखिक प्रतिचित्रण सदिश स्थानों के बीच संरचना-संरक्षित संगति देता है।
प्रांत, सहप्रांत, कर्नेल और प्रतिबिंब को अलग-अलग रखें
सीखने का लक्ष्य: आम गलतियों से बचें और छोटी अंतिम जाँच पूरी करें।
आम भूलें
कर्नेल प्रांत में रहता है: यह आगतों से बना होता है।
प्रतिबिंब सहप्रांत में रहता है: यह निर्गतों से बना होता है।
प्रतिबिंब कभी खाली नहीं होता: रैखिक प्रतिचित्रण हमेशा कम से कम \(0_W\) को निर्गत करता है।
\(\ker T=\{0\}\) का अर्थ एक-एक है, आच्छादक नहीं।
\(\operatorname{Im}T=W\) का अर्थ आच्छादक है, अपने-आप एक-एक नहीं।
चरम प्रतिचित्रण: शून्य प्रतिचित्रण में \(\ker T=V\) और \(\operatorname{Im}T=\{0\}\); पहचान प्रतिचित्रण में \(\ker T=\{0\}\) और \(\operatorname{Im}T=V\)।
स्थानांतरित सूत्र स्वीकार न करें: \(T(0)≠0\) तुरंत रैखिकता तोड़ देता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(T(x,y)=(x,0)\) के लिए कर्नेल और प्रतिबिंब क्या हैं?
कर्नेल की शर्त \((x,0)=(0,0)\) से \(x=0\) मिलता है, इसलिए \(\ker T=\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\)। निर्गत \((x,0)\) के रूप में होते हैं, इसलिए \(\operatorname{Im}T=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\)। कर्नेल प्रांत में ऊर्ध्वाधर रेखा है; प्रतिबिंब सहप्रांत में क्षैतिज रेखा है।
स्वयं प्रयास करें
स्वयं प्रयास 1: यदि \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) शून्य प्रतिचित्रण है, तो \(\operatorname{Im}T\) क्या है?
संकेत: शून्य प्रतिचित्रण का ठीक एक निर्गत होता है।
स्वयं प्रयास 2: \(T(x,y)=(x+y,x+y)\) के लिए कौन-सा सदिश \(\ker T\) में है?
संकेत: कर्नेल की शर्त \(x+y=0\) है।
अंतिम पुनरावृत्ति
रैखिकता का अर्थ रैखिक संयोजनों को सुरक्षित रखना है।
\(\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}\), और \(\ker T=\{0\}\) ठीक तभी जब \(T\) एक-एक हो।
\(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), और \(\operatorname{Im}T=W\) ठीक तभी जब \(T\) आच्छादक हो।
\(x\mapsto Ax\) के लिए प्रतिबिंब का अर्थ स्तंभ-अवकाश और कर्नेल का अर्थ \(Ax=0\) का हल-समुच्चय है।
शून्य प्रतिचित्रण का कर्नेल \(V\) और प्रतिबिंब \(\{0\}\) है; पहचान प्रतिचित्रण का कर्नेल \(\{0\}\) और प्रतिबिंब \(V\) है।
रैंक-शून्यता प्रांत से आयाम गिनती है: \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\)।
संयोजन तथ्य एक-एकता के लिए अंदर वाले प्रतिचित्रण और आच्छादकता के लिए बाहर वाले प्रतिचित्रण को देखते हैं।
अगला कदम: यह पाठ बंद करें और क्विज़ फिर से हल करें। जब किसी प्रश्न में \(T(v)=0\) आए, तो कर्नेल सोचें; जब वह पूछे कि कौन-से निर्गत संभव हैं, तो प्रतिबिंब सोचें।
अभ्यास सेट
Linear Maps, Kernel & Image अभ्यास प्रश्न तुरंत स्कोर के साथ
नीचे दिए गए सभी 10 प्रश्नों के उत्तर दें, फिर अपना अंतिम स्कोर और गलती समीक्षा देखें ताकि आपको पता चले कि क्या सुधारना है।
0/10उत्तर दिए गए
प्रश्न 1उत्तर नहीं दिया
रैखिक प्रतिचित्र \(T:V\to W\) के लिए, \(T(0)\) क्या है?
सही उत्तर: D. \(0\)
व्याख्या: रैखिकता से \(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\), इसलिए \(T(0)=0\).
प्रश्न 2उत्तर नहीं दिया
रैखिक प्रतिचित्र \(T:V\to W\) का कर्नेल क्या है?
सही उत्तर: C. \(\{v\in V:T(v)=0\}\)
व्याख्या: कर्नेल उन सदिशों का समुच्चय है जिन्हें शून्य सदिश पर भेजा जाता है।
प्रश्न 3उत्तर नहीं दिया
\(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x,0)\) का प्रतिबिंब क्या है?
सही उत्तर: D. \(\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\)
व्याख्या: हर आउटपुट का दूसरा निर्देशांक \(0\) है, और हर \((a,0)\) मिलता है।
प्रश्न 4उत्तर नहीं दिया
\(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x,0)\) का कर्नेल क्या है?
सही उत्तर: A. \(\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\)
व्याख्या: हमें \((x,0)=(0,0)\) चाहिए, इसलिए \(x=0\) और \(y\) स्वतंत्र है।
प्रश्न 5उत्तर नहीं दिया
रैखिक प्रतिचित्र \(T:V\to W\) ठीक तब एकैकी होता है जब:
सही उत्तर: A. \(\ker T=\{0\}\)
व्याख्या: रैखिक प्रतिचित्र तभी और केवल तभी एकैकी होता है जब केवल शून्य सदिश ही शून्य पर जाता है।
प्रश्न 6उत्तर नहीं दिया
यदि रैखिक प्रतिचित्र \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) की रैंक \(2\) है, तो \(\dim(\ker T)\) क्या है?
