Kuis Latihan Pemetaan Linear, Kernel & Citra dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di bagian bawah halaman untuk berlatih pemetaan linear, kernel, dan citra: memeriksa apakah suatu pemetaan linear, memakai \(T(0)=0\), mencari \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}\), mendeskripsikan \(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), menghubungkan injektivitas dengan \(\ker T=\{0\}\), menghubungkan surjektivitas dengan \(\operatorname{Im}T=W\), membaca pemetaan matriks melalui ruang kolom dan ruang nol, memakai teorema rank-nulitas, serta menangani fakta komposisi seperti \(S\circ T\) injektif mengimplikasikan \(T\) injektif. Jika Anda ingin penyegaran, buka pelajaran untuk contoh yang jelas dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan pemetaan linear ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal pemetaan linear, kernel, citra, injektivitas, dan surjektivitas di bagian bawah halaman.
2. Buka pelajaran: tinjau definisi, pintasan pemetaan matriks, teorema rank-nulitas, dan fakta komposisi dengan contoh penyelesaian.
3. Coba lagi: kembali ke set soal dan langsung gunakan bahasa kernel/citra.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran pemetaan linear, kernel & citra
Kenali pemetaan linear
Uji linearitas: \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) dan \(T(cv)=cT(v)\)
Cek nol: setiap pemetaan linear mengirim \(0_V\) ke \(0_W\)
Kenali kesalahan afin dan nonlinear seperti \((x,y)\mapsto(x+1,y)\) atau \((x,y)\mapsto(x^2,y)\)
Kernel dan injektivitas
Kernel: \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0\}\)
\(\ker T\) adalah subruang dari domain
Injektif: \(T\) satu-ke-satu tepat ketika \(\ker T=\{0\}\)
Citra dan surjektivitas
Citra: semua output \(T(v)\), selalu merupakan subruang dari kodomain
Untuk \(x\mapsto Ax\), citranya adalah ruang kolom dari \(A\)
Tujuan: Bangun gambaran yang jelas tentang pemetaan linear \(T:V\to W\), lalu gunakan dua subruang terpentingnya: kernel di domain dan citra di kodomain. Anda akan menghubungkan ide ini dengan injektivitas, surjektivitas, pemetaan matriks, teorema rank-nulitas, dan komposisi.
Kriteria keberhasilan
Periksa linearitas memakai aditivitas dan perkalian skalar.
Gunakan \(T(0_V)=0_W\) untuk menolak pemetaan bergeser dengan cepat.
Cari \(\ker T\) dengan menyelesaikan \(T(v)=0\), dan ketahui bahwa ia adalah subruang dari \(V\).
Cari \(\operatorname{Im}T\) dengan mendeskripsikan semua output, sering sebagai span.
Kenali pemetaan injektif melalui \(\ker T=\{0\}\) dan pemetaan surjektif melalui \(\operatorname{Im}T=W\).
Untuk \(x\mapsto Ax\), baca citra sebagai ruang kolom dan kernel sebagai himpunan solusi \(Ax=0\).
Gunakan \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\) untuk menghitung dimensi.
Gunakan fakta komposisi dasar tanpa mencampur peran \(S\) dan \(T\).
Kosakata kunci
Pemetaan linear: fungsi \(T:V\to W\) dengan \(T(u+v)=T(u)+T(v)\) dan \(T(cv)=cT(v)\).
Kernel: \(\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}\), subruang dari domain.
Citra: \(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), subruang dari kodomain.
Rank: \(\dim\operatorname{Im}T\).
Nulitas: \(\dim\ker T\).
Isomorfisme: pemetaan linear bijektif.
Cek awal cepat
Cek awal 1: Untuk pemetaan linear \(T:V\to W\), berapa \(T(0_V)\)?
Petunjuk: Gunakan \(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\), lalu kurangi \(T(0)\) di \(W\).
Cek awal 2: Apa kernel dari pemetaan linear \(T:V\to W\)?
Petunjuk: Kernel berada di domain dan terdiri dari input yang dikirim ke vektor nol.
Linearitas berarti mempertahankan struktur
Tujuan pembelajaran: Tentukan dengan cepat apakah suatu rumus mendefinisikan pemetaan linear, dan gunakan \(T(0)=0\) sebagai filter awal yang cepat.
Ide utama
Pemetaan \(T:V\to W\) linear ketika ia menghormati kombinasi linear: \[T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)\] untuk semua vektor \(u,v\) dan skalar \(c,d\). Satu rumus ini memuat aditivitas dan perkalian skalar sekaligus.
Daftar cek pengenalan
Uji nol: jika \(T(0)≠ 0\), pemetaan itu tidak linear.
Tanpa geseran: konstanta seperti \(x+1\) biasanya membuat pemetaan afin, bukan linear.
Tanpa operasi nonlinear: kuadrat, nilai mutlak, hasil kali koordinat, dan perubahan kasus biasanya merusak linearitas.
Rumus koordinat: jumlah seperti \(x-y\) dan kelipatan skalar seperti \(2x\) kompatibel dengan linearitas.
Tidak. Vektor nol dipetakan ke \(T(0,0)=(1,0)\), bukan \((0,0)\). Pemetaan linear harus mengirim vektor nol dari domain ke vektor nol dari kodomain.
Coba
Coba 1: Pemetaan mana yang linear pada \(\mathbb{R}^2\)?
Petunjuk: Cari rumus yang hanya dibuat dari jumlah koordinat dan kelipatan skalar, tanpa geseran dan tanpa operasi nonlinear.
Coba 2: Jika \(T(v)=w\), berapa \(T(3v)\)?
Petunjuk: Perkalian skalar lewat melalui pemetaan linear: \(T(3v)=3T(v)\).
Kernel mengukur keruntuhan ke nol
Tujuan pembelajaran: Cari kernel dari rumus sederhana dan gunakan \(\ker T=\{0\}\) sebagai uji injektivitas.
Ide utama
Kernel adalah himpunan input yang hilang: \[\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}.\] Kernel selalu merupakan subruang dari \(V\). Untuk injektivitas, satu-satunya input yang boleh hilang adalah vektor nol: \(T\) injektif tepat ketika \(\ker T=\{0\}\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x,z)\), cari \(\ker T\).
Selesaikan \(T(x,y,z)=(0,0)\). Ini memberi \(x=0\) dan \(z=0\), sedangkan \(y\) bebas. Jadi \[\ker T=\{(0,y,0):y\in\mathbb{R}\}=\operatorname{span}\{(0,1,0)\}.\]
Coba
Coba 1: Untuk \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x,0)\), apa \(\ker T\)?
Petunjuk: Tetapkan \((x,0)=(0,0)\). Koordinat pertama dipaksa, tetapi koordinat kedua bebas.
Coba 2: Jika \(T(v)=T(w)\), vektor mana yang berada dalam \(\ker T\)?
Petunjuk: Kurangkan dua citra yang sama dengan memakai linearitas.
Ringkasan
Untuk mencari kernel, selesaikan \(T(v)=0\).
Vektor kernel berada di domain.
\(\ker T=\{0\}\) adalah uji bersih untuk injektivitas.
Citra adalah himpunan output yang dapat dicapai
Tujuan pembelajaran: Deskripsikan citra sebagai span atau syarat koordinat, dan gunakan \(\operatorname{Im}T=W\) sebagai uji surjektivitas.
Ide utama
Citra adalah himpunan semua output: \[\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}.\] Citra selalu merupakan subruang dari kodomain. Pemetaan \(T:V\to W\) surjektif tepat ketika setiap vektor di \(W\) tercapai, jadi \(\operatorname{Im}T=W\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x+y,x+y)\), deskripsikan citranya.
Setiap output memiliki koordinat yang sama: \((x+y,x+y)=(t,t)=t(1,1)\). Sebaliknya, setiap \(t(1,1)\) tercapai dengan mengambil \(x=t,y=0\). Jadi \(\operatorname{Im}T=\operatorname{span}\{(1,1)\}\), sebuah garis berdimensi satu.
Coba
Coba 1: Untuk \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y,z)=(x,z)\), apa \(\operatorname{Im}T\)?
Petunjuk: Untuk sembarang pasangan \((a,b)\), pilih \(x=a\) dan \(z=b\).
Coba 2: Jika \(\operatorname{Im}T=W\), apa nama umum untuk \(T\)?
Petunjuk: Setiap vektor di kodomain tercapai.
Ruang kolom dan ruang nol
Tujuan pembelajaran: Terjemahkan soal kernel dan citra untuk \(x\mapsto Ax\) ke bahasa matriks yang sudah dikenal.
Ide utama
Untuk pemetaan matriks \(T(x)=Ax\), citra adalah span dari kolom-kolom \(A\), juga disebut ruang kolom. Kernel adalah himpunan solusi \(Ax=0\), juga disebut ruang nol. Kolom pivot memberi dimensi citra; variabel bebas memberi dimensi kernel.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(A=\begin{pmatrix}1&0&2\\0&1&-1\end{pmatrix}\). Deskripsikan kernel dari \(x\mapsto Ax\).
Selesaikan \(Ax=0\): \[x_1+2x_3=0,\qquad x_2-x_3=0.\] Misalkan \(x_3=t\). Maka \(x_1=-2t\), \(x_2=t\), sehingga \[x=t(-2,1,1).\] Karena itu \(\ker A=\operatorname{span}\{(-2,1,1)\}\).
Coba
Coba 1: Untuk pemetaan matriks \(x\mapsto Ax\), apa citra pemetaannya?
Petunjuk: Output dari \(Ax\) adalah kombinasi linear dari kolom-kolom \(A\).
Coba 2: Jika kolom-kolom matriks \(3\times2\) independen, apa kernelnya?
Petunjuk: Kolom independen berarti satu-satunya solusi \(Ax=0\) adalah vektor nol di domain.
Menghitung dimensi dengan teorema rank-nulitas
Tujuan pembelajaran: Gunakan teorema rank-nulitas untuk mencari dimensi yang hilang tanpa menyelesaikan setiap persamaan vektor.
Ide utama
Untuk pemetaan linear \(T:V\to W\) dengan domain berdimensi hingga, \[\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T.\] Dimensi citra adalah rank; dimensi kernel adalah nulitas. Perhatikan bahwa dimensi domain muncul di sisi kiri.
Contoh dikerjakan
Contoh: Jika \(T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) surjektif, berapa \(\dim\ker T\)?
Surjektif berarti \(\operatorname{Im}T=\mathbb{R}^3\), jadi rank \(=3\). Teorema rank-nulitas memberi \(4=\dim\ker T+3\). Karena itu \(\dim\ker T=1\).
Coba
Coba 1: Jika \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) memiliki rank \(2\), berapa \(\dim\ker T\)?
Coba 2: Jika \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) injektif, berapa \(\dim\operatorname{Im}T\)?
Petunjuk: Injektif berarti nulitas \(0\), jadi rank sama dengan dimensi domain.
Bagaimana kernel dan citra berperilaku dalam komposisi
Tujuan pembelajaran: Gunakan fakta komposisi dasar tanpa membalik peran pemetaan dalam dan luar.
Ide utama
Komposisi pemetaan linear adalah linear. Jika \(S\circ T\) injektif, maka \(T\) harus injektif: output \(T\) yang sama akan menjadi output \((S\circ T)\) yang sama. Jika \(S\circ T\) surjektif, maka \(S\) harus surjektif: setiap nilai target akhir dicapai dengan menerapkan \(S\) pada sesuatu di citra \(T\).
Andaikan \(T(v)=T(w)\). Menerapkan \(S\) memberi \(S(T(v))=S(T(w))\). Karena \(S\circ T\) injektif, ini mengimplikasikan \(v=w\). Jadi \(T\) injektif.
Coba
Coba 1: Jika \(S\circ T\) injektif, apa yang harus benar tentang \(T\)?
Petunjuk: Mulai dari \(T(v)=T(w)\), lalu terapkan \(S\).
Coba 2: Jika pemetaan linear sekaligus injektif dan surjektif, disebut apa?
Petunjuk: Pemetaan linear bijektif memberi korespondensi yang mempertahankan struktur antar ruang vektor.
Pisahkan domain, kodomain, kernel, dan citra
Tujuan pembelajaran: Hindari kesalahan umum dan akhiri dengan cek akhir cepat.
Kesalahan umum
Kernel berada di domain: kernel tersusun dari input.
Citra berada di kodomain: citra tersusun dari output.
Citra tidak pernah kosong: pemetaan linear selalu menghasilkan setidaknya \(0_W\).
\(\ker T=\{0\}\) berarti injektif, bukan surjektif.
\(\operatorname{Im}T=W\) berarti surjektif, bukan otomatis injektif.
Jangan menerima rumus bergeser: \(T(0)≠0\) langsung merusak linearitas.
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(T(x,y)=(x,0)\), apa kernel dan citranya?
Syarat kernel \((x,0)=(0,0)\) memberi \(x=0\), jadi \(\ker T=\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\). Output berbentuk \((x,0)\), jadi \(\operatorname{Im}T=\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\). Kernel adalah garis vertikal di domain; citra adalah garis horizontal di kodomain.
Coba
Coba 1: Jika \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) adalah pemetaan nol, apa \(\operatorname{Im}T\)?
Petunjuk: Pemetaan nol memiliki tepat satu output.
Coba 2: Untuk \(T(x,y)=(x+y,x+y)\), vektor mana yang berada dalam \(\ker T\)?
Petunjuk: Syarat kernel adalah \(x+y=0\).
Rekap akhir
Linearitas berarti mempertahankan kombinasi linear.
\(\ker T=\{v:T(v)=0\}\), dan \(\ker T=\{0\}\) tepat ketika \(T\) injektif.
\(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), dan \(\operatorname{Im}T=W\) tepat ketika \(T\) surjektif.
Untuk \(x\mapsto Ax\), citra berarti ruang kolom dan kernel berarti himpunan solusi \(Ax=0\).
Teorema rank-nulitas menghitung dimensi dari domain: \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\).
Fakta komposisi melacak pemetaan dalam untuk injektivitas dan pemetaan luar untuk surjektivitas.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis lagi. Ketika soal menyebut \(T(v)=0\), pikirkan kernel; ketika soal menanyakan output apa yang mungkin, pikirkan citra.
Set latihan
Soal latihan Linear Maps, Kernel & Image dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Untuk pemetaan linear \(T:V\to W\), berapakah \(T(0)\)?
Jawaban benar: D. \(0\)
Penjelasan: Linearitas memberi \(T(0)=T(0+0)=T(0)+T(0)\), sehingga \(T(0)=0\).
Soal 2Belum dijawab
Apa kernel dari pemetaan linear \(T:V\to W\)?
Jawaban benar: C. \(\{v\in V:T(v)=0\}\)
Penjelasan: Kernel adalah himpunan vektor yang dipetakan ke vektor nol.
Soal 3Belum dijawab
Apa citra dari \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x,0)\)?
Jawaban benar: D. \(\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}\)
Penjelasan: Setiap keluaran memiliki koordinat kedua \(0\), dan setiap \((a,0)\) muncul.
Soal 4Belum dijawab
Apa kernel dari \(T:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(T(x,y)=(x,0)\)?
Jawaban benar: A. \(\{(0,y):y\in\mathbb{R}\}\)
Penjelasan: Kita perlu \((x,0)=(0,0)\), jadi \(x=0\) dan \(y\) bebas.
Soal 5Belum dijawab
Pemetaan linear \(T:V\to W\) bersifat injektif tepat ketika:
Jawaban benar: A. \(\ker T=\{0\}\)
Penjelasan: Pemetaan linear injektif jika dan hanya jika hanya vektor nol yang dipetakan ke nol.
Soal 6Belum dijawab
Jika pemetaan linear \(T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) memiliki rank \(2\), berapakah \(\dim(\ker T)\)?
Jawaban benar: D. \(1\)
Penjelasan: Teorema rank-nullity memberi \(3=2+\dim(\ker T)\).
