Linearidade é preservar estrutura

Ideia-chave

Uma aplicação \(T:V\to W\) é linear quando respeita combinações lineares: \[T(cu+dv)=cT(u)+dT(v)\] para todos os vetores \(u,v\) e escalares \(c,d\). Essa única fórmula contém tanto a aditividade quanto a multiplicação por escalar.

Lista de reconhecimento

• Teste do zero: se \(T(0)≠ 0\), a aplicação não é linear.
• Sem deslocamentos: constantes como \(x+1\) geralmente formam uma aplicação afim, não uma aplicação linear.
• Sem operações não lineares: quadrados, valores absolutos, produtos de coordenadas e mudanças por casos geralmente quebram a linearidade.
• Fórmulas coordenadas: somas como \(x-y\) e múltiplos escalares como \(2x\) são compatíveis com linearidade.

Exemplo resolvido

Pratique

O núcleo mede o colapso para zero

Ideia-chave

O núcleo é o conjunto das entradas que desaparecem: \[\ker T=\{v\in V:T(v)=0_W\}.\] Ele é sempre um subespaço de \(V\). Para injetividade, a única entrada que pode desaparecer é o vetor zero: \(T\) é injetiva exatamente quando \(\ker T=\{0\}\).

Exemplo resolvido

Pratique

Resumo

• Para encontrar um núcleo, resolva \(T(v)=0\).
• Vetores do núcleo vivem no domínio.
• \(\ker T=\{0\}\) é o teste direto para injetividade.

A imagem é o conjunto das saídas alcançáveis

Ideia-chave

A imagem é o conjunto de todas as saídas: \[\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}.\] Ela é sempre um subespaço do contradomínio. Uma aplicação \(T:V\to W\) é sobrejetiva exatamente quando todo vetor de \(W\) é alcançado, isto é, \(\operatorname{Im}T=W\).

Exemplo resolvido

Pratique

Espaço coluna e espaço nulo

Ideia-chave

Para uma aplicação matricial \(T(x)=Ax\), a imagem é o span das colunas de \(A\), também chamado de espaço coluna. O núcleo é o conjunto solução de \(Ax=0\), também chamado de espaço nulo. Colunas pivô indicam a dimensão da imagem; variáveis livres indicam a dimensão do núcleo.

Exemplo resolvido

Pratique

Contando dimensões com posto-nulidade

Ideia-chave

Para uma aplicação linear \(T:V\to W\) com domínio de dimensão finita, \[\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T.\] A dimensão da imagem é o posto; a dimensão do núcleo é a nulidade. Note que a dimensão do domínio aparece à esquerda.

Exemplo resolvido

Pratique

Como núcleos e imagens se comportam em composições

Ideia-chave

A composição de aplicações lineares é linear. Se \(S\circ T\) é injetiva, então \(T\) deve ser injetiva: saídas iguais de \(T\) virariam saídas iguais de \((S\circ T)\). Se \(S\circ T\) é sobrejetiva, então \(S\) deve ser sobrejetiva: todo valor final no alvo é alcançado aplicando \(S\) a algo na imagem de \(T\).

Exemplo resolvido

Pratique

Mantenha domínio, contradomínio, núcleo e imagem separados

Armadilhas comuns

• O núcleo vive no domínio: ele é feito de entradas.
• A imagem vive no contradomínio: ela é feita de saídas.
• A imagem nunca é vazia: uma aplicação linear sempre produz ao menos \(0_W\).
• \(\ker T=\{0\}\) significa injetiva, não sobrejetiva.
• \(\operatorname{Im}T=W\) significa sobrejetiva, não automaticamente injetiva.
• Não aceite fórmulas deslocadas: \(T(0)≠0\) quebra a linearidade imediatamente.

Exemplo resolvido

Pratique

Recapitulação final

• Linearidade significa preservar combinações lineares.
• \(\ker T=\{v:T(v)=0\}\), e \(\ker T=\{0\}\) exatamente quando \(T\) é injetiva.
• \(\operatorname{Im}T=\{T(v):v\in V\}\), e \(\operatorname{Im}T=W\) exatamente quando \(T\) é sobrejetiva.
• Para \(x\mapsto Ax\), imagem significa espaço coluna e núcleo significa o conjunto solução de \(Ax=0\).
• Posto-nulidade conta dimensões a partir do domínio: \(\dim V=\dim\ker T+\dim\operatorname{Im}T\).
• Fatos de composição acompanham a aplicação interna para injetividade e a aplicação externa para sobrejetividade.