连续性与一致收敛 练习题与分步课程
通过聚焦题目、即时反馈、清晰讲解和分步课程练习 连续性与一致收敛。
练习题组
连续性与一致收敛 练习题，答完立即得分
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下列哪个函数在 \(x=0\) 处不连续？
正确答案： C. \(1/x\)
讲解： \(1/x\) 在 \(x=0\) 处没有定义（因此不连续），而多项式、\(\sin x\) 和 \(|x|\) 在处处连续。
函数序列 \(f_n(x)=x^n\) 在区间 \([0,1)\) 上是否一致收敛？
正确答案： D. 逐点收敛但不一致收敛
讲解： 对于每个固定的 \(x\in[0,1)\)，\(x^n\to0\) 当 \(n\to\infty\)，因此是逐点收敛。然而，当 \(x\to1^-\) 时，\(x^n\) 逼近 1 的速度很慢，并且 \[ \sup_{x\in[0,1)}|x^n - 0| = 1 \] 对所有 \(n\) 都成立，所以它在 \([0,1)\) 上不是一致收敛。
函数 \(f(x)=|x|\) 在 \(x=0\) 处连续吗？
正确答案： D. 是
讲解： 绝对值函数没有断点或跳跃，所以它在 0 处连续。
函数 \(f(x)=\lfloor x\rfloor\) 在 \(x=1\) 处连续吗？
正确答案： C. 否
讲解： 下取整函数在整数点会从 0 跳到 1，所以它在 1 处不连续。
分段函数 f(x)=\begin{cases}x & x≠2\\2 & x=2\end{cases} 在 \(x=2\) 处连续吗？
正确答案： A. 是
讲解： 在 2 处的极限和函数值都等于 2，所以它在那里连续。
如果定义 \(f(2)=4\)，那么 \(f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\) 在 \(x=2\) 处连续吗？
正确答案： C. 是
讲解： 化简 \((x^2-4)/(x-2)=x+2\)；在 2 处它等于 4，与定义一致，所以连续。
\(f(x)=1/x\) 在其定义域上连续吗？
正确答案： B. 是
讲解： 在其定义域 x≠0 上，\(1/x\) 没有间断，所以它在所有定义处都连续。
哪个函数在 \(\mathbb{R}\) 上一致连续？
正确答案： B. \(\sin x\)
讲解： \(\sin x\) 的斜率有界且没有奇点，所以它在整个 \(\mathbb{R}\) 上一致连续。
\(f_n(x)=x/n\) 在 \([0,5]\) 上是否一致收敛到 0？
正确答案： B. 是
讲解： \(\sup_{x\in[0,5]}|x/n|=5/n\to0\)，所以它是一致收敛。
\(f_n(x)=x/n\) 在 \([0,\infty)\) 上是否一致收敛到 0？
正确答案： C. 否
讲解： 在无界区间上，每个 \(n\) 的上确界都是无穷大，所以这不是一致收敛。
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