أسئلة تدريب على المشتقات الجزئية والجاكوبيانات والتدرجات مع درس خطوة بخطوة
تدرّب على المشتقات الجزئية والجاكوبيانات والتدرجات بأسئلة مركزة، وملاحظات فورية، وشروحات واضحة، ودرس خطوة بخطوة.
مجموعة التدريب
أسئلة تدريب على المشتقات الجزئية والجاكوبيانات والتدرجات مع نتيجة فورية
أجب عن جميع الأسئلة أدناه (10)، ثم احصل على نتيجتك النهائية ومراجعة للأخطاء لتعرف بالضبط ما تحتاج إلى تحسينه.
لـ \(f(x,y)=x^2+y\)، ما هو \(\partial f/\partial x\)؟
الإجابة الصحيحة: C. \(2x\)
الشرح: اعتبر \(y\) ثابتًا واشتق \(x^2\).
لـ \(f(x,y)=xy\)، ما هو \(\nabla f(1,2)\)؟
الإجابة الصحيحة: C. \((2,1)\)
الشرح: \(\nabla f=(y,x)\)، لذا عند \((1,2)\) يكون \((2,1)\).
ما هو محدد مصفوفة يعقوبي لـ \(F(x,y)=(x+y,x-y)\)؟
الإجابة الصحيحة: B. \(-2\)
الشرح: مصفوفة يعقوبي هي \(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)، ومحددها هو \(-2\).
تتحقق عند النقطة الحرجة الداخلية لدالة قياسية قابلة للاشتقاق:
الإجابة الصحيحة: B. \(\nabla f=0\)
الشرح: عند النقطة الحرجة الداخلية ينعدم التدرّج.
المشتقة الاتجاهية لـ \(f\) في اتجاه وحدوي \(u\) هي:
الإجابة الصحيحة: A. \(\nabla f\cdot u\)
الشرح: هي حاصل الضرب النقطي للتدرّج مع متجه الاتجاه.
لـ \(f(x,y)=x^2+y^2\)، ما هو \(\nabla f(0,0)\)؟
الإجابة الصحيحة: A. \((0,0)\)
الشرح: \(\nabla f=(2x,2y)\)، لذا عند الأصل يكون \((0,0)\).
إذا كانت \(F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) من الفئة \(C^1\) قرب نقطة ما وكان \(\det J_F\) غير صفري عند تلك النقطة، فإن \(F\) محليًا تكون:
الإجابة الصحيحة: A. قابلة للعكس محليًا
الشرح: لدالة من الفئة \(C^1\) ذات مشتقة قابلة للعكس، تعطي نظرية الدالة العكسية القابلية للعكس محليًا.
لـ \(f(x,y)=\sin x+y^3\)، ما هو \(\partial f/\partial y\)؟
الإجابة الصحيحة: D. \(3y^2\)
الشرح: اعتبر \(x\) ثابتًا واشتق \(y^3\).
ماذا تتضمن مصفوفة هس؟
الإجابة الصحيحة: D. المشتقات الجزئية الثانية
الشرح: مصفوفة هس هي مصفوفة المشتقات الجزئية الثانية.
إذا كان \(z=f(x(t),y(t))\)، فأي صيغة تمثل قاعدة السلسلة؟
الإجابة الصحيحة: A. \(z'=f_xx'+f_yy'\)
الشرح: اشتق عبر كل متغير ثم اجمع المساهمات.
النتيجة
نتيجتك: 0 / 10
راجع نتيجتك أدناه.