आंशिक अवकलज सामान्य अवकलज ही हैं, बस दूसरे चर स्थिर रहते हैं

मुख्य विचार

\(f(x,y)\) के लिए \(f_x\) का अर्थ है \(x\) के सापेक्ष अवकलन करना और \(y\) को स्थिर मानना। इसी तरह \(f_y\), \(x\) को स्थिर मानता है। यह संकेतन किसी एक निर्देशांक दिशा में स्थानीय दर दर्ज करता है; केवल आंशिक अवकलजों का अस्तित्व हमेशा पूर्ण अवकलनीयता की गारंटी नहीं देता।

पहचान जाँच-सूची

• अवकलन का चर पहचानें।
• हर दूसरे चर को स्थिर गुणांक मानें।
• ज़रूरत के अनुसार सामान्य गुणन, भागफल और श्रृंखला नियम लगाएँ।
• \(g(x)h(y)\) जैसे गुणनों में केवल सक्रिय चर पर निर्भर गुणक का अवकलन करें।
• अवकलन के बाद बिंदु तभी रखें जब प्रश्न मान माँगे।
• अवकलनीयता के दावों के लिए पास में सतत प्रथम आंशिक अवकलज जैसी मजबूत शर्तें देखें।

हल किया हुआ उदाहरण

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ग्रेडिएंट हर निर्देशांक दर को एक सदिश में रखता है

मुख्य विचार

\(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) के लिए \(\nabla f(a)\), \(a\) पर प्रथम आंशिक अवकलजों का सदिश है। यदि \(u\) इकाई सदिश है, तो \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\)। सबसे बड़ा संभव दिशात्मक अवकलज \(\|\nabla f(a)\|\) होता है, और जब ग्रेडिएंट अशून्य हो तो यह ग्रेडिएंट दिशा में मिलता है।

ग्रेडिएंट तथ्य

• ग्रेडिएंट सबसे तेज़ वृद्धि की दिशा में इंगित करता है।
• ऋणात्मक ग्रेडिएंट सबसे तेज़ कमी की दिशा में इंगित करता है।
• \(\nabla f(a)\) के लंबवत दिशाओं में प्रथम-कोटि परिवर्तन \(0\) होता है।
• नियमित स्तर समुच्चय \(f=c\) पर ग्रेडिएंट उस स्तर समुच्चय का अभिलंब होता है।
• दिशात्मक अवकलज सूत्र के लिए \(u\) का इकाई सदिश होना ज़रूरी है।

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जैकोबियन सदिश-मूल्य प्रतिचित्रण का अवकलज आव्यूह है

मुख्य विचार

\(F=(F_1,\ldots,F_m):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) के लिए जैकोबियन आव्यूह \(J_F=(\partial F_i/\partial x_j)\) है। इसमें \(m\) पंक्तियाँ और \(n\) स्तंभ होते हैं: हर निर्गत घटक के लिए एक पंक्ति और हर आगत चर के लिए एक स्तंभ।

जैकोबियन के उपयोग

• \(F(a+h)\) को \(F(a)+J_F(a)h\) से सन्निकट करें।
• श्रृंखला नियम को \(J_{F\circ G}(x)=J_F(G(x))J_G(x)\) की तरह लागू करें।
• \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) के लिए \(|\det J_F|\) स्थानीय आयतन मापन-गुणक है।
• धनात्मक सारणिक अभिविन्यास को सुरक्षित रखता है; ऋणात्मक सारणिक अभिविन्यास उलटता है।
• मानक नियमितता परिकल्पनाओं के अधीन वर्ग प्रतिचित्रणों के लिए अशून्य सारणिक मुख्य स्थानीय-प्रतिलोमनीयता जाँच है।

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बहुचर श्रृंखला नियम अवकलज सूचना को सही क्रम में गुणा करता है

मुख्य विचार

यदि \(z=f(x(t),y(t))\), तो \(dz/dt=f_x\,dx/dt+f_y\,dy/dt\)। अधिक सामान्य रूप में, संयोजन का अवकलज जैकोबियन आव्यूहों को गुणा करके मिलता है, जहाँ बाहरी अवकलज को अंदर वाले फलन पर मूल्यांकित किया जाता है।

श्रृंखला नियम के रूप

• अदिश क्षेत्र में पथ: \(d(f(r(t)))/dt=\nabla f(r(t))\cdot r^\prime(t)\)।
• प्रतिचित्रण के बाद प्रतिचित्रण: \(J_{F\circ G}=J_F(G)J_G\)।
• निर्देशांक परिवर्तन: पहले नए चरों का अवकलन करें, फिर उन्हें बाहरी अवकलजों में रखें।
• आयाम जाँचें: आव्यूह गुणनफल में पंक्तियाँ अंतिम निर्गत से और स्तंभ मूल आगत से आने चाहिए।

हल किया हुआ उदाहरण

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द्वितीय आंशिक अवकलज बताते हैं कि प्रथम अवकलज कैसे बदलता है

मुख्य विचार

अदिश \(f\) के लिए हेसियन \(H_f\) द्वितीय आंशिक अवकलजों का आव्यूह है। इसके विकर्ण पद \(f_{xx}\) जैसे शुद्ध द्वितीय आंशिक अवकलज होते हैं, और विकर्णेतर पद \(f_{xy}\) तथा \(f_{yx}\) जैसे मिश्रित आंशिक अवकलज होते हैं। यदि मिश्रित द्वितीय आंशिक अवकलज किसी बिंदु के पास सतत हैं, तो उस बिंदु पर \(f_{xy}=f_{yx}\)।

हेसियन तथ्य

• \(f(x,y)\) का हेसियन \(\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}\) है।
• इकाई दिशा \(u\) के लिए द्वितीय दिशात्मक अवकलज \(u^T H_f(a)u\) है।
• अलग-अलग योग \(g(x)+h(y)\) के लिए मिश्रित आंशिक \(f_{xy}\), अवकलज मौजूद होने पर \(0\) होता है।
• हेसियन की सममिति के लिए परिकल्पनाएँ चाहिए; यह केवल संकेतन से नहीं आता।
• हेसियन स्थानीय आकृति के लिए केंद्रीय है, लेकिन प्रथम-कोटि क्रांतिक बिंदु शर्त ग्रेडिएंट देता है।

हल किया हुआ उदाहरण

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अवकलनीयता अवकलज सूचना को प्रथम-कोटि मॉडल में बदलती है

मुख्य विचार

यदि \(f\), \(a\) पर अवकलनीय है, तो \(f(a+h)\approx f(a)+\nabla f(a)\cdot h\)। \(z=f(x,y)\) के लिए \((a,b)\) पर स्पर्श तल \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\) है। किसी आंतरिक स्थानीय चरम पर, जहाँ \(f\) अवकलनीय है, ग्रेडिएंट \(0\) होना चाहिए।

रेखिकीकरण के रूप

• अदिश \(f\) के लिए रेखिकीकरण \(\nabla f\) के साथ बिंदु गुणनफल का उपयोग करता है।
• सदिश-मूल्य \(F\) के लिए रेखिकीकरण \(J_F(a)h\) का उपयोग करता है।
• नियमित स्तर वक्र \(f=c\) के लिए स्पर्श सदिश \(\nabla f\) के लंबवत होता है।
• आंतरिक अवकलनीय स्थानीय चरम पर \(\nabla f=0\)।
• यदि \(f_x=f_y=0\), तो बिंदु क्रांतिक है, लेकिन वर्गीकरण अलग काम है।
• जब तक अवकलनीयता सिद्ध न हो, केवल आंशिक अवकलजों से स्पर्श तल न लिखें।

हल किया हुआ उदाहरण

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सामान्य गलतियाँ अधिकतर वस्तु-प्रकार की गलतियाँ होती हैं

सामान्य भूलें

• गलत स्थिर चर: \(f_x\) में हर गैर-\(x\) चर स्थिर है।
• गैर-इकाई दिशा: \(D_u f=\nabla f\cdot u\) का उपयोग करने से पहले दिशा को इकाई बनाएँ।
• गलत जैकोबियन आकार: पंक्तियाँ निर्गत हैं और स्तंभ आगत हैं।
• सारणिक केवल वर्ग जैकोबियन के लिए: \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) का जैकोबियन सारणिक नहीं होता।
• आंशिक अवकलज पर्याप्त नहीं: केवल प्रथम आंशिक अवकलजों का अस्तित्व अवकलनीयता सिद्ध नहीं करता।
• प्रमेय परिकल्पनाएँ छूटना: स्थानीय प्रतिलोम और मिश्रित-आंशिक सममिति के लिए नियमितता मान्यताएँ चाहिए।

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अंतिम पुनरावलोकन

• आंशिक अवकलज एक-निर्देशांक दरें हैं।
• अदिश \(f\) के लिए ग्रेडिएंट प्रथम आंशिक अवकलजों का सदिश है।
• दिशात्मक अवकलज इकाई दिशा के साथ बिंदु गुणनफल का उपयोग करते हैं।
• ग्रेडिएंट नियमित स्तर समुच्चयों के अभिलंब होते हैं।
• \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) का जैकोबियन \(m\times n\) होता है।
• वर्ग जैकोबियन का सारणिक स्थानीय मापन और अभिविन्यास की जानकारी देता है।
• श्रृंखला नियम अदिश पथों के लिए बिंदु गुणनफल और प्रतिचित्रणों के लिए आव्यूह गुणन है।
• हेसियन में द्वितीय आंशिक अवकलज होते हैं; सततता परिकल्पनाओं के अधीन मिश्रित आंशिक अवकलजों का क्रम बदला जा सकता है।
• रेखिकीकरण के लिए अवकलनीयता चाहिए, केवल औपचारिक आंशिक अवकलज नहीं।