Partielle Ableitungen, Jacobi-Matrizen und Gradienten
Übungsquiz zu partiellen Ableitungen, Jacobi-Matrizen und Gradienten mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion
Nutze das Quiz weiter unten auf der Seite, um mehrdimensionale Differentialrechnung zu üben: partielle Ableitungen berechnen, während andere Variablen festgehalten werden, Gradienten bilden, mit \(D_u f=\nabla f\cdot u\) für Einheitsrichtungen arbeiten, Niveaumengen interpretieren, Jacobi-Matrizen für Abbildungen \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) aufstellen, die Kettenregel anwenden, Hesse-Matrizen und gemischte partielle Ableitungen erkennen, Linearisierungen und Tangentialebenen aufstellen und prüfen, wann eine von null verschiedene Jacobi-Determinante lokale Invertierbarkeit liefert. Wenn du etwas auffrischen möchtest, öffne die Lektion. Dort findest du kurze ausgearbeitete Beispiele und kurze Kontrollfragen.
Beantworte die Fragensammlung und prüfe deine Fehler am Ende.
So funktioniert diese Übung zur mehrdimensionalen Differentialrechnung
1. Bearbeite das Übungsset: Beantworte Fragen zu partiellen Ableitungen, Gradienten, Jacobi-Matrizen, Richtungsableitungen und Kettenregeln.
2. Öffne die Lektion: Wiederhole Definitionen, Erkennungstests, ausgearbeitete Beispiele und Kontrollen mit genau einer richtigen Antwort.
3. Erneut versuchen: Kehre zum Fragenset zurück und entscheide, nach welchem Ableitungsobjekt die jeweilige Aufgabe fragt.
Was du in der Lektion zu partiellen Ableitungen, Jacobi-Matrizen und Gradienten lernst
Partielle Ableitungen
Andere Variablen festhalten: \(f_x\) differenziert nur die \(x\)-Abhängigkeit
Gemischte partielle Ableitungen: \(f_{xy}\) und \(f_{yx}\) stimmen unter den üblichen Stetigkeitsvoraussetzungen überein
Stetige erste partielle Ableitungen in der Nähe eines Punkts sind eine ausreichend starke Bedingung für Differenzierbarkeit dort
Gradienten und Richtungen
Gradient: \(\nabla f=(f_{x_1},\ldots,f_{x_n})\) für skalarwertiges \(f\)
Richtungsableitung: \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\), wenn \(u\) ein Einheitsvektor ist
Der Gradient steht normal auf regulären Niveaumengen und zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs
Jacobi-Matrizen
Zeilen sind Ausgaben, Spalten sind Eingaben: \(J_F\) ist \(m\times n\) für \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\)
Bei Abbildungen gleicher Dimension misst \(\det J_F\) lokale Flächen- oder Volumenskalierung und Orientierung
Die mehrdimensionale Kettenregel ist Matrixmultiplikation von Ableitungsmatrizen
Satzvoraussetzungen und Fallen
Eine von null verschiedene \(\det J_F(a)\) liefert bei einer differenzierbaren Abbildung zwischen Räumen gleicher Dimension unter passenden Glattheitsvoraussetzungen eine lokale Umkehrabbildung
Eine reguläre Niveaumenge hat einen von null verschiedenen Gradienten, also liefert der Gradient eine Normalenrichtung
Verwechsle existierende partielle Ableitungen nicht mit voller Differenzierbarkeit oder einer gültigen Tangentialebene
Mehrdimensionale Analysis und Differentialmethoden
Lektion zu partiellen Ableitungen, Jacobi-Matrizen und Gradienten
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Lektionsüberblick
Ziel: Baue ein verlässliches Werkzeugset für mehrdimensionale Differentialrechnung auf: partielle Ableitungen berechnen, Gradienten und Jacobi-Matrizen aufstellen, Richtungsableitungen nutzen, Kettenregeln anwenden, Hesse-Matrizen und gemischte partielle Ableitungen interpretieren, lineare Approximationen erster Ordnung erstellen und erkennen, wann Satzvoraussetzungen wichtig sind.
Erfolgskriterien
Berechne \(f_x,f_y,\ldots\), indem du die anderen Variablen festhaltst.
Bilde \(\nabla f\) für skalarwertige Funktionen.
Nutze \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\) für Einheitsrichtungen.
Erkenne Gradienten als Normalen auf regulären Niveaumengen.
Baue \(J_F\) mit Zeilen für Ausgaben und Spalten für Eingaben auf.
Deute \(\det J_F\) bei Abbildungen gleicher Dimension als lokale Skalierung und Orientierung.
Wende die Kettenregel in skalarer und Matrixform an.
Nutze Hesse-Matrizen, gemischte partielle Ableitungen und Linearisierung erster Ordnung korrekt.
Prüfe Differenzierbarkeits- und Umkehrfunktionsvoraussetzungen, bevor du Sätze anwendest.
Wichtige Begriffe
Partielle Ableitung: eindimensionale Ableitung, bei der alle anderen Variablen festgehalten werden.
Gradient: Vektor der ersten partiellen Ableitungen für skalares \(f\).
Richtungsableitung: Änderungsrate in einer angegebenen Einheitsrichtung.
Jacobi-Matrix: Ableitungsmatrix einer vektorwertigen Abbildung.
Hesse-Matrix: Matrix der zweiten partiellen Ableitungen einer skalaren Funktion.
Linearisierung: beste affine Approximation erster Ordnung in der Nähe eines Differenzierbarkeitspunkts.
Kurze Vorabprüfung
Vorabprüfung: Was ist für eine skalare Funktion \(f(x,y)\) der Gradient \(\nabla f\)?
Hinweis: Ein Gradient sammelt alle ersten partiellen Ableitungen einer einzelnen skalaren Funktion.
Partielle Ableitungen sind gewöhnliche Ableitungen, bei denen die anderen Variablen fest bleiben
Lernziel: Entscheide, welche Variablen sich ändern, welche fest bleiben und was eine erste partielle Ableitung beweist und was nicht.
Kernidee
Für \(f(x,y)\) bedeutet \(f_x\), nach \(x\) zu differenzieren und \(y\) als Konstante zu behandeln. Entsprechend behandelt \(f_y\) die Variable \(x\) als konstant. Die Notation beschreibt eine lokale Änderungsrate in einer Koordinatenrichtung; für sich allein garantiert die Existenz partieller Ableitungen nicht immer volle Differenzierbarkeit.
Woran du es erkennst
Bestimme die Variable, nach der differenziert wird.
Behandle jede andere Variable als konstanten Koeffizienten.
Wende gewöhnliche Produkt-, Quotienten- und Kettenregeln an, wenn nötig.
Bei Produkten wie \(g(x)h(y)\) differenzierst du nur den Faktor, der von der aktiven Variablen abhängt.
Setze nach dem Differenzieren den Punkt nur ein, wenn die Aufgabe nach einem Wert fragt.
Suche bei Differenzierbarkeitsaussagen nach stärkeren Bedingungen wie stetigen ersten partiellen Ableitungen in der Nähe.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Berechne für \(f(x,y)=xe^y+y^2\) die Ableitungen \(f_x\) und \(f_y\).
Für \(f_x\) sind \(e^y\) und \(y^2\) bezüglich \(x\) konstant, also \(f_x=e^y\). Für \(f_y\) ist \(x\) konstant, also \(f_y=xe^y+2y\).
Übe selbst
Aufgabe: Was ist für \(f(x,y)=x^2y+\sin x\) die Ableitung \(f_y\)?
Hinweis: Bezüglich \(y\) ist der Term \(\sin x\) konstant.
Der Gradient bündelt alle Änderungsraten entlang der Koordinaten in einem Vektor
Lernziel: Nutze Gradienten, um Richtungsableitungen zu berechnen und die Geometrie von Niveaumengen zu interpretieren.
Kernidee
Für \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\) ist \(\nabla f(a)\) der Vektor der ersten partiellen Ableitungen in \(a\). Wenn \(u\) ein Einheitsvektor ist, dann gilt \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\). Die größtmögliche Richtungsableitung ist \(\|\nabla f(a)\|\) und wird in Gradientenrichtung erreicht, wenn der Gradient von null verschieden ist.
Fakten zu Gradienten
Der Gradient zeigt in Richtung des steilsten Anstiegs.
Der negative Gradient zeigt in Richtung des steilsten Abstiegs.
Richtungen senkrecht zu \(\nabla f(a)\) haben Änderung erster Ordnung \(0\).
Auf einer regulären Niveaumenge \(f=c\) ist der Gradient normal zur Niveaumenge.
Die Formel für die Richtungsableitung setzt voraus, dass \(u\) ein Einheitsvektor ist.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Sei \(f(x,y)=x^2+y^2\). Finde \(D_u f(1,2)\) für \(u=(1/\sqrt5,2/\sqrt5)\).
\(\nabla f=(2x,2y)\), also \(\nabla f(1,2)=(2,4)\). Dann ist \(D_u f(1,2)=(2,4)\cdot(1/\sqrt5,2/\sqrt5)=10/\sqrt5=2\sqrt5\).
Übe selbst
Aufgabe: Wenn \(\nabla f(a)=(3,4)\), was ist die maximale Richtungsableitung über alle Einheitsrichtungen?
Hinweis: Die maximale Richtungsableitung ist die Länge des Gradienten.
Eine Jacobi-Matrix ist die Ableitungsmatrix einer vektorwertigen Abbildung
Lernziel: Baue die Jacobi-Matrix mit der richtigen Form auf und deute ihre Determinante, wenn die Jacobi-Matrix quadratisch ist.
Kernidee
Für \(F=(F_1,\ldots,F_m):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) ist die Jacobi-Matrix \(J_F=(\partial F_i/\partial x_j)\). Sie hat \(m\) Zeilen und \(n\) Spalten: eine Zeile für jede Ausgabekomponente und eine Spalte für jede Eingabevariable.
Verwendungen der Jacobi-Matrix
Approximiere \(F(a+h)\) durch \(F(a)+J_F(a)h\).
Wende die Kettenregel als \(J_{F\circ G}(x)=J_F(G(x))J_G(x)\) an.
Für \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\) ist \(|\det J_F|\) der lokale Volumenskalierungsfaktor.
Eine positive Determinante erhält die Orientierung; eine negative Determinante kehrt die Orientierung um.
Eine von null verschiedene Determinante ist unter den üblichen Glattheitsvoraussetzungen der entscheidende Test auf lokale Invertierbarkeit für Abbildungen gleicher Dimension.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Finde für \(F(x,y)=(x+y,xy)\) die Jacobi-Matrix \(J_F\) und \(\det J_F(3,1)\).
Die Zeilen kommen von den zwei Komponenten: \[J_F(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\ y&x\end{pmatrix}.\] Ihre Determinante ist \(x-y\), also ist sie bei \((3,1)\) gleich \(2\).
Übe selbst
Aufgabe: Wenn \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), welche Größe hat \(J_F\)?
Hinweis: Zähle Ausgaben für die Zeilen und Eingaben für die Spalten.
Die mehrdimensionale Kettenregel multipliziert Ableitungsdaten in der richtigen Reihenfolge
Lernziel: Wähle die skalare oder matrixförmige Kettenregel, die zum Abhängigkeitsdiagramm passt.
Kernidee
Wenn \(z=f(x(t),y(t))\), dann gilt \(dz/dt=f_x\,dx/dt+f_y\,dy/dt\). Allgemeiner erhält man die Ableitung einer Komposition durch Multiplikation von Jacobi-Matrizen, wobei die äußere Ableitung an der inneren Funktion ausgewertet wird.
Kettenregel-Muster
Pfad in ein Skalarfeld: \(d(f(r(t)))/dt=\nabla f(r(t))\cdot r^\prime(t)\).
Verkettung von Abbildungen: \(J_{F\circ G}=J_F(G)J_G\).
Koordinatenwechsel: Differenziere zuerst die neuen Variablen und setze sie dann in die äußeren Ableitungen ein.
Prüfe Dimensionen: Das Matrixprodukt sollte Zeilen der endgültigen Ausgabe und Spalten der ursprünglichen Eingabe haben.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Sei \(f(x,y)=x^2y\), \(x=t\) und \(y=t^2\). Berechne \(dz/dt\) für \(z=f(x(t),y(t))\).
Direkt gilt \(z=t^2\cdot t^2=t^4\), also \(dz/dt=4t^3\). Mit der Kettenregel sind \(f_x=2xy=2t^3\), \(x^\prime=1\), \(f_y=x^2=t^2\) und \(y^\prime=2t\), also \(2t^3+2t^3=4t^3\).
Übe selbst
Aufgabe: Wenn \(z=f(x(t),y(t))\), welche Formel ist die Kettenregel?
Hinweis: Addiere den Beitrag über jede Zwischenvariable.
Zweite partielle Ableitungen beschreiben, wie sich die erste Ableitung ändert
Lernziel: Erkenne die Hesse-Matrix, die Schreibweise für gemischte partielle Ableitungen und die Bedingung, unter der sie vertauscht werden dürfen.
Kernidee
Für skalares \(f\) ist die Hesse-Matrix \(H_f\) die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen. Ihre Diagonaleinträge sind reine zweite partielle Ableitungen wie \(f_{xx}\), und ihre Außerdiagonaleinträge sind gemischte partielle Ableitungen wie \(f_{xy}\) und \(f_{yx}\). Wenn die gemischten zweiten partiellen Ableitungen in der Nähe eines Punkts stetig sind, dann gilt \(f_{xy}=f_{yx}\) an diesem Punkt.
Fakten zu Hesse-Matrizen
Die Hesse-Matrix von \(f(x,y)\) ist \(\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}\).
Für eine Einheitsrichtung \(u\) ist die zweite Richtungsableitung \(u^T H_f(a)u\).
Für eine getrennte Summe \(g(x)+h(y)\) ist die gemischte partielle Ableitung \(f_{xy}\) gleich \(0\), wann immer die Ableitungen existieren.
Symmetrie der Hesse-Matrix braucht Voraussetzungen; sie ist nicht nur Notation.
Die Hesse-Matrix ist zentral für die lokale Form, aber der Gradient liefert die Bedingung erster Ordnung für kritische Punkte.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Berechne für \(f(x,y)=x^2y+y^2\) die Ableitungen \(f_{xy}\) und \(f_{yx}\).
Zuerst ist \(f_x=2xy\), also \(f_{xy}=2x\). Außerdem ist \(f_y=x^2+2y\), also \(f_{yx}=2x\). Die gemischten partiellen Ableitungen stimmen für diese glatte Funktion überein.
Übe selbst
Aufgabe: Wenn \(f_{xy}\) und \(f_{yx}\) in der Nähe eines Punkts stetig sind, was folgt an diesem Punkt?
Hinweis: Stetige gemischte zweite partielle Ableitungen erlauben, die Ableitungsreihenfolge zu vertauschen.
Differenzierbarkeit macht Ableitungsdaten zu einem Modell erster Ordnung
Lernziel: Nutze Gradienten und Jacobi-Matrizen für lokale Approximation, Tangentialebenen und die Bedingung erster Ordnung für kritische Punkte.
Kernidee
Wenn \(f\) in \(a\) differenzierbar ist, dann gilt \(f(a+h)\approx f(a)+\nabla f(a)\cdot h\). Für \(z=f(x,y)\) ist die Tangentialebene in \((a,b)\) gegeben durch \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\). Bei einem inneren lokalen Extremum, an dem \(f\) differenzierbar ist, muss der Gradient \(0\) sein.
Linearisierungs-Muster
Für skalares \(f\) nutzt die Linearisierung das Skalarprodukt mit \(\nabla f\).
Für vektorwertiges \(F\) nutzt die Linearisierung \(J_F(a)h\).
Für eine reguläre Niveaukurve \(f=c\) ist ein Tangentialvektor senkrecht zu \(\nabla f\).
Bei einem inneren differenzierbaren lokalen Extremum gilt \(\nabla f=0\).
Wenn \(f_x=f_y=0\), ist der Punkt kritisch; die Klassifikation ist eine eigene Frage.
Schreibe keine Tangentialebene aus partiellen Ableitungen hin, solange Differenzierbarkeit nicht begründet ist.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Angenommen \(f(1,2)=5\), \(f_x(1,2)=3\) und \(f_y(1,2)=-2\). Approximiere \(f(1.1,1.97)\).
Hier sind \(h=0.1\) und \(k=-0.03\). Die lineare Approximation ergibt \(5+3(0.1)-2(-0.03)=5+0.30+0.06=5.36\).
Übe selbst
Aufgabe: Wenn \(f_x(a,b)=2\) und \(f_y(a,b)=-1\), was ist die Änderung erster Ordnung für eine Eingabeänderung \((h,k)\)?
Hinweis: Multipliziere jede Koordinatenänderung mit der passenden partiellen Ableitung und addiere.
Die häufigen Fehler sind meistens Verwechslungen des Objekttyps
Lernziel: Schließe ab, indem du skalare Funktionen, vektorwertige Abbildungen, Gradienten, Jacobi-Matrizen, Hesse-Matrizen und Determinantenfakten sauber trennst.
Häufige Fallen
Falsch festgehaltene Variable: In \(f_x\) ist jede Nicht-\(x\)-Variable konstant.
Keine Einheitsrichtung: Normalisiere die Richtung, bevor du \(D_u f=\nabla f\cdot u\) verwendest.
Falsche Jacobi-Form: Zeilen sind Ausgaben und Spalten sind Eingaben.
Determinanten nur für quadratische Jacobi-Matrizen: \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) hat keine Jacobi-Determinante.
Partielle Ableitungen reichen nicht: Existierende erste partielle Ableitungen allein müssen Differenzierbarkeit nicht beweisen.
Fehlende Satzvoraussetzungen: lokale Umkehrabbildungen und Symmetrie gemischter partieller Ableitungen brauchen Regularitätsannahmen.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Was sagt dir für \(F(x,y)=(x+y,x-y)\) die Gleichung \(\det J_F=-2\) lokal?
Die Determinante ist von null verschieden, also ist die Abbildung lokal invertierbar. Ihr Betrag \(2\) ist der lokale Flächenskalierungsfaktor, und das negative Vorzeichen bedeutet, dass die Abbildung die Orientierung umkehrt.
Übe selbst
Aufgabe: Wenn die Determinante einer quadratischen Jacobi-Matrix an einem Punkt negativ ist, kehrt die lokale Abbildung Folgendes um:
Hinweis: Das Vorzeichen einer Determinante hält fest, ob Orientierung erhalten oder umgekehrt wird.
Abschließende Zusammenfassung
Partielle Ableitungen sind Änderungsraten in einer Koordinatenrichtung.
Der Gradient ist der Vektor der ersten partiellen Ableitungen für skalares \(f\).
Richtungsableitungen nutzen das Skalarprodukt mit einer Einheitsrichtung.
Gradienten stehen normal auf regulären Niveaumengen.
Die Jacobi-Matrix von \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) ist \(m\times n\).
Die Determinante einer quadratischen Jacobi-Matrix liefert Informationen zu lokaler Skalierung und Orientierung.
Die Kettenregel ist ein Skalarprodukt für skalare Pfade und Matrixmultiplikation für Abbildungen.
Die Hesse-Matrix enthält zweite partielle Ableitungen; gemischte partielle Ableitungen vertauschen unter Stetigkeitsvoraussetzungen.
Linearisierung braucht Differenzierbarkeit, nicht nur formale partielle Ableitungen.
Als Nächstes: Schließe diese Lektion und versuche das Quiz erneut. Bestimme bei jeder Frage zuerst, ob sie nach einem Skalar, einem Vektor, einer Matrix oder einer Determinante fragt.
Übungsset
Übungsfragen zu Partial Derivatives, Jacobians & Gradients mit sofortiger Punktzahl
Beantworte alle 10 Fragen unten und erhalte danach deine Punktzahl sowie eine Fehlerübersicht, damit du genau weißt, was du verbessern kannst.
0/10beantwortet
Frage 1Nicht beantwortet
Für \(f(x,y)=x^2+y\): Was ist \(\partial f/\partial x\)?
Richtige Antwort: C. \(2x\)
Erklärung: Behandle \(y\) als konstant und differenziere \(x^2\).
Frage 2Nicht beantwortet
Für \(f(x,y)=xy\): Was ist \(\nabla f(1,2)\)?
Richtige Antwort: C. \((2,1)\)
Erklärung: \(\nabla f=(y,x)\), also ist der Wert bei \((1,2)\) gleich \((2,1)\).
Frage 3Nicht beantwortet
Wie lautet die Jacobi-Determinante von \(F(x,y)=(x+y,x-y)\)?
Richtige Antwort: B. \(-2\)
Erklärung: Die Jacobi-Matrix ist \(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\), ihre Determinante ist \(-2\).
Frage 4Nicht beantwortet
Ein innerer kritischer Punkt einer differenzierbaren skalaren Funktion erfüllt:
Richtige Antwort: B. \(\nabla f=0\)
Erklärung: An einem inneren kritischen Punkt verschwindet der Gradient.
Frage 5Nicht beantwortet
Die Richtungsableitung von \(f\) in einer Einheitsrichtung \(u\) ist:
Richtige Antwort: A. \(\nabla f\cdot u\)
Erklärung: Sie ist das Skalarprodukt des Gradienten mit dem Richtungsvektor.
Frage 6Nicht beantwortet
Für \(f(x,y)=x^2+y^2\): Was ist \(\nabla f(0,0)\)?
Richtige Antwort: A. \((0,0)\)
Erklärung: \(\nabla f=(2x,2y)\), also ist der Wert im Ursprung \((0,0)\).
Frage 7Nicht beantwortet
Wenn \(F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) in der Nähe eines Punktes \(C^1\) ist und \(\det J_F\) dort ungleich null ist, dann ist \(F\) lokal:
Richtige Antwort: A. Lokal invertierbar
Erklärung: Für eine \(C^1\)-Abbildung mit invertierbarer Ableitung liefert der Satz über die Umkehrfunktion lokale Invertierbarkeit.
Frage 8Nicht beantwortet
Für \(f(x,y)=\sin x+y^3\): Was ist \(\partial f/\partial y\)?
Richtige Antwort: D. \(3y^2\)
Erklärung: Behandle \(x\) als konstant und leite \(y^3\) ab.
Frage 9Nicht beantwortet
Was enthält die Hesse-Matrix?
Richtige Antwort: D. Zweite partielle Ableitungen
Erklärung: Die Hesse-Matrix ist die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen.
Frage 10Nicht beantwortet
Wenn \(z=f(x(t),y(t))\), welche Formel ist die Kettenregel?
Richtige Antwort: A. \(z'=f_xx'+f_yy'\)
Erklärung: Leite nach jeder Variablen ab und addiere die Beiträge.
