Kuis Latihan Turunan Parsial, Jacobian & Gradien dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kumpulan soal di bagian bawah halaman untuk berlatih diferensiasi multivariabel: menghitung turunan parsial sambil menahan variabel lain tetap, membentuk gradien, menggunakan \(D_u f=\nabla f\cdot u\) untuk arah satuan, membaca himpunan level, menyusun matriks Jacobian untuk pemetaan \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), menerapkan aturan rantai, mengenali Hessian dan turunan parsial campuran, menulis linearisasi bidang singgung, serta memeriksa kapan determinan Jacobian tak nol memberi invertibilitas lokal. Jika Anda ingin penyegaran, buka pelajaran untuk contoh singkat dan cek cepat.
Jawab rangkaian soal dan tinjau kesalahanmu di akhir.
Cara kerja latihan diferensiasi multivariabel ini
1. Kerjakan set latihan: jawab soal tentang turunan parsial, gradien, Jacobian, turunan arah, dan aturan rantai.
Tujuan: Bangun perangkat yang andal untuk diferensiasi multivariabel: menghitung turunan parsial, menyusun gradien dan Jacobian, menggunakan turunan arah, menerapkan aturan rantai, membaca Hessian dan turunan parsial campuran, membuat pendekatan linear orde pertama, dan mengenali kapan hipotesis teorema penting.
Kriteria keberhasilan
Hitung \(f_x,f_y,\ldots\) dengan menahan variabel lain tetap.
Bentuk \(\nabla f\) untuk fungsi bernilai skalar.
Gunakan \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\) untuk arah satuan.
Kenali gradien sebagai normal terhadap himpunan level regular.
Susun \(J_F\) dengan baris untuk output dan kolom untuk input.
Tafsirkan \(\det J_F\) untuk pemetaan antara ruang berdimensi sama sebagai penskalaan dan orientasi lokal.
Terapkan aturan rantai dalam bentuk skalar dan matriks.
Gunakan Hessian, turunan parsial campuran, dan linearisasi orde pertama dengan benar.
Periksa hipotesis keterdiferensialan dan fungsi invers sebelum menerapkan teorema.
Kosakata kunci
Turunan parsial: turunan satu variabel dengan semua variabel lain ditahan tetap.
Gradien: vektor turunan parsial pertama untuk \(f\) skalar.
Turunan arah: laju perubahan dalam arah satuan tertentu.
Jacobian: matriks turunan dari pemetaan bernilai vektor.
Hessian: matriks turunan parsial kedua dari fungsi skalar.
Linearisasi: pendekatan afin orde pertama terbaik di dekat titik keterdiferensialan.
Cek awal cepat
Cek awal: Untuk fungsi skalar \(f(x,y)\), apa itu \(\nabla f\)?
Petunjuk: Gradien mengumpulkan semua turunan parsial pertama dari satu fungsi skalar.
Turunan parsial adalah turunan biasa dengan variabel lain dibekukan
Tujuan pembelajaran: Tentukan variabel mana yang berubah, mana yang tetap, serta apa yang dibuktikan dan tidak dibuktikan oleh turunan parsial pertama.
Ide utama
Untuk \(f(x,y)\), \(f_x\) berarti mendiferensiasikan terhadap \(x\) sambil memperlakukan \(y\) sebagai konstanta. Demikian pula, \(f_y\) memperlakukan \(x\) sebagai konstanta. Notasi ini mencatat laju lokal dalam satu arah koordinat; keberadaan turunan parsial saja tidak selalu menjamin keterdiferensialan penuh.
Daftar cek pengenalan
Identifikasi variabel diferensiasi.
Perlakukan setiap variabel lain sebagai koefisien konstan.
Terapkan aturan hasil kali, hasil bagi, dan rantai biasa bila diperlukan.
Setelah mendiferensiasikan, substitusikan titik hanya jika soal meminta nilai.
Untuk klaim keterdiferensialan, cari syarat yang lebih kuat seperti turunan parsial pertama yang kontinu di sekitar titik.
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(f(x,y)=xe^y+y^2\), hitung \(f_x\) dan \(f_y\).
Untuk \(f_x\), \(e^y\) dan \(y^2\) konstan terhadap \(x\), sehingga \(f_x=e^y\). Untuk \(f_y\), \(x\) konstan, sehingga \(f_y=xe^y+2y\).
Coba
Coba: Untuk \(f(x,y)=x^2y+\sin x\), berapakah \(f_y\)?
Petunjuk: Terhadap \(y\), suku \(\sin x\) adalah konstan.
Gradien mengemas setiap laju koordinat ke dalam satu vektor
Tujuan pembelajaran: Gunakan gradien untuk menghitung turunan arah dan membaca geometri himpunan level.
Ide utama
Untuk \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), \(\nabla f(a)\) adalah vektor turunan parsial pertama di \(a\). Jika \(u\) adalah vektor satuan, maka \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\). Turunan arah terbesar yang mungkin adalah \(\|\nabla f(a)\|\), dicapai dalam arah gradien ketika gradien tak nol.
Fakta gradien
Gradien menunjuk ke arah kenaikan tercepat.
Gradien negatif menunjuk ke arah penurunan tercepat.
Arah yang tegak lurus terhadap \(\nabla f(a)\) memiliki perubahan orde pertama \(0\).
Pada himpunan level regular \(f=c\), gradien normal terhadap himpunan level.
Rumus turunan arah mengharuskan \(u\) berupa vektor satuan.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(f(x,y)=x^2+y^2\). Cari \(D_u f(1,2)\) untuk \(u=(1/\sqrt5,2/\sqrt5)\).
\(\nabla f=(2x,2y)\), sehingga \(\nabla f(1,2)=(2,4)\). Maka \(D_u f(1,2)=(2,4)\cdot(1/\sqrt5,2/\sqrt5)=10/\sqrt5=2\sqrt5\).
Coba
Coba: Jika \(\nabla f(a)=(3,4)\), berapa turunan arah maksimum atas semua arah satuan?
Petunjuk: Turunan arah maksimum adalah panjang gradien.
Jacobian adalah matriks turunan dari pemetaan bernilai vektor
Tujuan pembelajaran: Susun Jacobian dengan bentuk yang benar dan tafsirkan determinannya ketika pemetaan berbentuk persegi.
Ide utama
Untuk \(F=(F_1,\ldots,F_m):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), matriks Jacobian adalah \(J_F=(\partial F_i/\partial x_j)\). Ukurannya \(m\) baris dan \(n\) kolom: satu baris untuk setiap komponen output dan satu kolom untuk setiap variabel input.
Kegunaan Jacobian
Dekati \(F(a+h)\) dengan \(F(a)+J_F(a)h\).
Terapkan aturan rantai sebagai \(J_{F\circ G}(x)=J_F(G(x))J_G(x)\).
Untuk \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\), \(|\det J_F|\) adalah faktor skala volume lokal.
Determinan tak nol adalah uji kunci invertibilitas lokal untuk pemetaan antara ruang berdimensi sama di bawah hipotesis kehalusan standar.
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(F(x,y)=(x+y,xy)\), cari \(J_F\) dan \(\det J_F(3,1)\).
Baris-barisnya berasal dari dua komponen: \[J_F(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\ y&x\end{pmatrix}.\] Determinannya adalah \(x-y\), sehingga pada \((3,1)\) nilainya \(2\).
Coba
Coba: Jika \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), berapa ukuran \(J_F\)?
Petunjuk: Hitung output untuk baris dan input untuk kolom.
Aturan rantai multivariabel mengalikan data turunan dalam urutan yang benar
Tujuan pembelajaran: Pilih aturan rantai skalar atau matriks yang sesuai dengan diagram ketergantungan.
Ide utama
Jika \(z=f(x(t),y(t))\), maka \(dz/dt=f_x\,dx/dt+f_y\,dy/dt\). Secara lebih umum, turunan komposisi diperoleh dengan mengalikan matriks Jacobian, dengan turunan luar dievaluasi pada fungsi dalam.
Pola aturan rantai
Lintasan ke lapangan skalar: \(d(f(r(t)))/dt=\nabla f(r(t))\cdot r^\prime(t)\).
Pemetaan setelah pemetaan: \(J_{F\circ G}=J_F(G)J_G\).
Perubahan koordinat: diferensiasikan variabel baru terlebih dahulu, lalu masukkan ke turunan luar.
Periksa dimensi: hasil kali matriks harus memiliki baris dari output akhir dan kolom dari input awal.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(f(x,y)=x^2y\), \(x=t\), dan \(y=t^2\). Hitung \(dz/dt\) untuk \(z=f(x(t),y(t))\).
Secara langsung, \(z=t^2\cdot t^2=t^4\), sehingga \(dz/dt=4t^3\). Dengan aturan rantai, \(f_x=2xy=2t^3\), \(x^\prime=1\), \(f_y=x^2=t^2\), dan \(y^\prime=2t\), memberi \(2t^3+2t^3=4t^3\).
Coba
Coba: Jika \(z=f(x(t),y(t))\), formula mana yang merupakan aturan rantai?
Petunjuk: Jumlahkan kontribusi melalui setiap variabel antara.
Turunan parsial kedua menjelaskan bagaimana turunan pertama berubah
Tujuan pembelajaran: Kenali matriks Hessian, notasi turunan parsial campuran, dan syarat yang membuat turunan parsial campuran dapat dipertukarkan.
Ide utama
Untuk \(f\) skalar, Hessian \(H_f\) adalah matriks turunan parsial kedua. Entri diagonalnya adalah turunan parsial kedua murni seperti \(f_{xx}\), dan entri luar diagonalnya adalah turunan parsial campuran seperti \(f_{xy}\) dan \(f_{yx}\). Jika turunan parsial kedua campuran kontinu di sekitar suatu titik, maka \(f_{xy}=f_{yx}\) di titik itu.
Fakta Hessian
Hessian dari \(f(x,y)\) adalah \(\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\ f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}\).
Untuk arah satuan \(u\), turunan arah kedua adalah \(u^T H_f(a)u\).
Simetri Hessian membutuhkan hipotesis; itu bukan sekadar notasi.
Hessian penting untuk bentuk lokal, tetapi gradien memberi syarat titik kritis orde pertama.
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(f(x,y)=x^2y+y^2\), hitung \(f_{xy}\) dan \(f_{yx}\).
Pertama \(f_x=2xy\), sehingga \(f_{xy}=2x\). Juga \(f_y=x^2+2y\), sehingga \(f_{yx}=2x\). Turunan parsial campuran sama untuk fungsi mulus ini.
Coba
Coba: Jika \(f_{xy}\) dan \(f_{yx}\) kontinu di sekitar suatu titik, apa yang berlaku di titik itu?
Petunjuk: Turunan parsial kedua campuran yang kontinu memungkinkan urutan diferensiasi ditukar.
Keterdiferensialan mengubah data turunan menjadi model orde pertama
Tujuan pembelajaran: Gunakan gradien dan Jacobian untuk pendekatan lokal, bidang singgung, dan syarat titik kritis orde pertama.
Ide utama
Jika \(f\) terdiferensialkan di \(a\), maka \(f(a+h)\approx f(a)+\nabla f(a)\cdot h\). Untuk \(z=f(x,y)\), bidang singgung di \((a,b)\) adalah \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\). Pada ekstremum lokal interior tempat \(f\) terdiferensialkan, gradien harus \(0\).
Pola linearisasi
Untuk \(f\) skalar, linearisasi memakai hasil kali titik dengan \(\nabla f\).
Untuk \(F\) bernilai vektor, linearisasi memakai \(J_F(a)h\).
Untuk kurva level regular \(f=c\), vektor singgung tegak lurus terhadap \(\nabla f\).
Pada ekstremum lokal interior yang terdiferensialkan, \(\nabla f=0\).
Jangan menulis bidang singgung dari turunan parsial kecuali keterdiferensialan sudah dibenarkan.
Contoh dikerjakan
Contoh: Misalkan \(f(1,2)=5\), \(f_x(1,2)=3\), dan \(f_y(1,2)=-2\). Aproksimasi \(f(1.1,1.97)\).
Di sini \(h=0.1\) dan \(k=-0.03\). Pendekatan linear memberi \(5+3(0.1)-2(-0.03)=5+0.30+0.06=5.36\).
Coba
Coba: Jika \(f_x(a,b)=2\) dan \(f_y(a,b)=-1\), berapa perubahan orde pertama untuk perubahan input \((h,k)\)?
Petunjuk: Kalikan setiap perubahan koordinat dengan turunan parsial yang sesuai lalu jumlahkan.
Kesalahan umum sebagian besar adalah kesalahan jenis objek
Tujuan pembelajaran: Akhiri dengan memisahkan fungsi skalar, pemetaan bernilai vektor, gradien, Jacobian, Hessian, dan fakta determinan.
Kesalahan umum
Variabel beku yang salah: dalam \(f_x\), setiap variabel selain \(x\) adalah konstan.
Arah bukan satuan: normalkan arah sebelum menggunakan \(D_u f=\nabla f\cdot u\).
Bentuk Jacobian salah: baris adalah output dan kolom adalah input.
Determinan hanya untuk Jacobian persegi: \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) tidak memiliki determinan Jacobian.
Turunan parsial tidak cukup: keberadaan turunan parsial pertama saja tidak harus membuktikan keterdiferensialan.
Hipotesis teorema hilang: invers lokal dan simetri turunan parsial campuran membutuhkan asumsi regularitas.
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(F(x,y)=(x+y,x-y)\), apa yang dikatakan \(\det J_F=-2\) secara lokal?
Determinan tak nol, sehingga pemetaan dapat diinvers secara lokal. Nilai mutlaknya \(2\) adalah faktor skala luas lokal, dan tanda negatif berarti pemetaan membalik orientasi.
Coba
Coba: Jika determinan Jacobian persegi negatif di suatu titik, pemetaan lokal membalik:
Petunjuk: Tanda determinan mencatat apakah orientasi dipertahankan atau dibalik.
Rekap akhir
Turunan parsial adalah laju satu koordinat.
Gradien adalah vektor turunan parsial pertama untuk \(f\) skalar.
Turunan arah memakai hasil kali titik dengan arah satuan.
Gradien normal terhadap himpunan level regular.
Jacobian dari \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) berukuran \(m\times n\).
Determinan Jacobian persegi memberi informasi penskalaan lokal dan orientasi.
Aturan rantai berupa hasil kali titik untuk lintasan skalar dan perkalian matriks untuk pemetaan.
Hessian memuat turunan parsial kedua; turunan parsial campuran dapat dipertukarkan di bawah hipotesis kontinuitas.
Linearisasi membutuhkan keterdiferensialan, bukan hanya turunan parsial formal.
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis lagi. Untuk setiap soal, pertama identifikasi apakah soal meminta skalar, vektor, matriks, atau determinan.
Set latihan
Soal latihan Partial Derivatives, Jacobians & Gradients dengan skor langsung
Jawab semua 10 soal di bawah ini, lalu lihat skor akhir dan tinjauan kesalahan agar kamu tahu persis apa yang perlu diperbaiki.
0/10dijawab
Soal 1Belum dijawab
Untuk \(f(x,y)=x^2+y\), berapakah \(\partial f/\partial x\)?
Jawaban benar: C. \(2x\)
Penjelasan: Anggap \(y\) sebagai konstanta dan turunkan \(x^2\).
Soal 2Belum dijawab
Untuk \(f(x,y)=xy\), berapakah \(\nabla f(1,2)\)?
Jawaban benar: C. \((2,1)\)
Penjelasan: \(\nabla f=(y,x)\), sehingga pada \((1,2)\) nilainya \((2,1)\).
Soal 3Belum dijawab
Berapakah determinan Jacobian dari \(F(x,y)=(x+y,x-y)\)?
Jawaban benar: B. \(-2\)
Penjelasan: Matriks Jacobian adalah \(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\), dengan determinan \(-2\).
Soal 4Belum dijawab
Sebuah titik kritis interior dari fungsi skalar terdiferensial memenuhi:
Jawaban benar: B. \(\nabla f=0\)
Penjelasan: Pada titik kritis interior, gradien bernilai nol.
Soal 5Belum dijawab
Turunan arah dari \(f\) dalam arah satuan \(u\) adalah:
Jawaban benar: A. \(\nabla f\cdot u\)
Penjelasan: Ini adalah hasil kali titik gradien dengan vektor arah.
Soal 6Belum dijawab
Untuk \(f(x,y)=x^2+y^2\), berapakah \(\nabla f(0,0)\)?
Jawaban benar: A. \((0,0)\)
Penjelasan: \(\nabla f=(2x,2y)\), sehingga di titik asal nilainya \((0,0)\).
Soal 7Belum dijawab
Jika \(F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) adalah \(C^1\) di sekitar suatu titik dan \(\det J_F\) tidak nol di titik itu, maka secara lokal \(F\):
Jawaban benar: A. Invertibel secara lokal
Penjelasan: Untuk pemetaan \(C^1\) dengan turunan yang invertibel, teorema fungsi invers memberikan invertibilitas lokal.
Soal 8Belum dijawab
Untuk \(f(x,y)=\sin x+y^3\), berapakah \(\partial f/\partial y\)?
Jawaban benar: D. \(3y^2\)
Penjelasan: Anggap \(x\) sebagai konstanta dan turunkan \(y^3\).
Soal 9Belum dijawab
Apa isi matriks Hessian?
Jawaban benar: D. Turunan parsial kedua
Penjelasan: Hessian adalah matriks turunan parsial kedua.
Soal 10Belum dijawab
Jika \(z=f(x(t),y(t))\), rumus manakah yang merupakan aturan rantai?
Jawaban benar: A. \(z'=f_xx'+f_yy'\)
Penjelasan: Turunkan terhadap setiap variabel dan jumlahkan kontribusinya.
