Cuestionario de práctica de derivadas parciales, jacobianos y gradientes con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario más abajo en la página para practicar diferenciación multivariable: calcular derivadas parciales manteniendo fijas las demás variables, formar gradientes, usar \(D_u f=\nabla f\cdot u\) para direcciones unitarias, leer conjuntos de nivel, construir matrices jacobianas para aplicaciones \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), aplicar la regla de la cadena, reconocer hessianas y derivadas parciales mixtas, escribir linealizaciones de planos tangentes y comprobar cuándo un determinante jacobiano no nulo da invertibilidad local. Si quieres repasar, abre la lección para ver ejemplos resueltos breves y comprobaciones rápidas.
Responde la serie de preguntas y revisa tus errores al final.
Cómo funciona esta práctica de diferenciación multivariable
1. Haz la serie de práctica: responde preguntas sobre derivadas parciales, gradientes, jacobianos, derivadas direccionales y reglas de la cadena.
2. Abre la lección: repasa definiciones, pruebas de reconocimiento, ejemplos resueltos y comprobaciones de respuesta única.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y decide qué objeto derivado pide cada problema.
Lo que aprenderás en la lección de derivadas parciales, jacobianos y gradientes
Derivadas parciales
Mantén fijas las otras variables: \(f_x\) deriva solo la dependencia en \(x\)
Derivadas parciales mixtas: \(f_{xy}\) y \(f_{yx}\) coinciden bajo las hipótesis usuales de continuidad
La continuidad de las primeras derivadas parciales cerca de un punto es una condición suficientemente fuerte para la diferenciabilidad allí
Gradientes y direcciones
Gradiente: \(\nabla f=(f_{x_1},\ldots,f_{x_n})\) para \(f\) con valores escalares
Derivada direccional: \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\) cuando \(u\) es un vector unitario
El gradiente es normal a los conjuntos de nivel regulares y apunta en la dirección de mayor aumento
Matrices jacobianas
Las filas son salidas y las columnas son entradas: \(J_F\) es \(m\times n\) para \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\)
Para aplicaciones entre espacios de la misma dimensión, \(\det J_F\) mide el escalamiento local de área o volumen y la orientación
La regla de la cadena multivariable es multiplicación de matrices derivadas
Comprobaciones de teoremas y errores comunes
Un \(\det J_F(a)\) no nulo da una inversa local para una aplicación cuadrada diferenciable con la suavidad adecuada
Un conjunto de nivel regular tiene gradiente no nulo, así que el gradiente proporciona una dirección normal
No confundas la existencia de derivadas parciales con la diferenciabilidad completa o con un plano tangente válido
Lección de derivadas parciales, jacobianos y gradientes
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Resumen de la lección
Propósito: Construir un conjunto de herramientas fiable para la diferenciación multivariable: calcular derivadas parciales, armar gradientes y jacobianos, usar derivadas direccionales, aplicar reglas de la cadena, leer hessianas y derivadas parciales mixtas, hacer aproximaciones lineales de primer orden y reconocer cuándo importan las hipótesis de los teoremas.
Criterios de éxito
Calcular \(f_x,f_y,\ldots\) manteniendo fijas las otras variables.
Formar \(\nabla f\) para funciones con valores escalares.
Usar \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\) para direcciones unitarias.
Identificar gradientes como normales a conjuntos de nivel regulares.
Construir \(J_F\) con filas para las salidas y columnas para las entradas.
Interpretar \(\det J_F\) para aplicaciones entre espacios de la misma dimensión como escalamiento local y orientación.
Aplicar la regla de la cadena en forma escalar y matricial.
Usar correctamente hessianas, derivadas parciales mixtas y linealización de primer orden.
Comprobar las hipótesis de diferenciabilidad y del teorema de la función inversa antes de aplicar teoremas.
Vocabulario clave
Derivada parcial: derivada de una variable con todas las demás variables fijas.
Gradiente: vector de primeras derivadas parciales para una \(f\) escalar.
Derivada direccional: tasa de cambio en una dirección unitaria especificada.
Jacobiano: matriz derivada de una aplicación con valores vectoriales.
Hessiana: matriz de segundas derivadas parciales de una función escalar.
Linealización: mejor aproximación afín de primer orden cerca de un punto de diferenciabilidad.
Comprobación rápida previa
Comprobación previa: Para una función escalar \(f(x,y)\), ¿qué es \(\nabla f\)?
Pista: Un gradiente reúne todas las primeras derivadas parciales de una función escalar.
Las derivadas parciales son derivadas ordinarias manteniendo fijas las demás variables
Objetivo de aprendizaje: Decidir qué variables se mueven, cuáles permanecen fijas y qué demuestra o no demuestra una primera derivada parcial.
Idea clave
Para \(f(x,y)\), \(f_x\) significa derivar respecto de \(x\) tratando \(y\) como constante. Del mismo modo, \(f_y\) trata \(x\) como constante. La notación registra una tasa local en una dirección coordenada; por sí sola, la existencia de derivadas parciales no siempre garantiza la diferenciabilidad completa.
Lista de reconocimiento
Identifica la variable de diferenciación.
Trata cada otra variable como un coeficiente constante.
Aplica las reglas ordinarias de producto, cociente y cadena según sea necesario.
Para productos como \(g(x)h(y)\), deriva solo el factor que depende de la variable activa.
Después de derivar, sustituye el punto solo si el problema pide un valor.
Para afirmaciones de diferenciabilidad, busca condiciones más fuertes, como primeras derivadas parciales continuas cerca del punto.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(f(x,y)=xe^y+y^2\), calcula \(f_x\) y \(f_y\).
Para \(f_x\), \(e^y\) y \(y^2\) son constantes respecto de \(x\), así que \(f_x=e^y\). Para \(f_y\), \(x\) es constante, así que \(f_y=xe^y+2y\).
Inténtalo
Inténtalo: Para \(f(x,y)=x^2y+\sin x\), ¿cuál es \(f_y\)?
Pista: Respecto de \(y\), el término \(\sin x\) es constante.
El gradiente agrupa todas las tasas coordenadas en un vector
Objetivo de aprendizaje: Usar gradientes para calcular derivadas direccionales y leer la geometría de conjuntos de nivel.
Idea clave
Para \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), \(\nabla f(a)\) es el vector de primeras derivadas parciales en \(a\). Si \(u\) es un vector unitario, entonces \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\). La mayor derivada direccional posible es \(\|\nabla f(a)\|\), alcanzada en la dirección del gradiente cuando el gradiente no es nulo.
Hechos sobre gradientes
El gradiente apunta en la dirección de mayor aumento.
El gradiente negativo apunta en la dirección de mayor disminución.
Las direcciones perpendiculares a \(\nabla f(a)\) tienen cambio de primer orden \(0\).
En un conjunto de nivel regular \(f=c\), el gradiente es normal al conjunto de nivel.
La fórmula de la derivada direccional requiere que \(u\) sea un vector unitario.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Sea \(f(x,y)=x^2+y^2\). Halla \(D_u f(1,2)\) para \(u=(1/\sqrt5,2/\sqrt5)\).
\(\nabla f=(2x,2y)\), así que \(\nabla f(1,2)=(2,4)\). Entonces \(D_u f(1,2)=(2,4)\cdot(1/\sqrt5,2/\sqrt5)=10/\sqrt5=2\sqrt5\).
Inténtalo
Inténtalo: Si \(\nabla f(a)=(3,4)\), ¿cuál es la derivada direccional máxima entre todas las direcciones unitarias?
Pista: La derivada direccional máxima es la longitud del gradiente.
Una jacobiana es la matriz derivada de una aplicación con valores vectoriales
Objetivo de aprendizaje: Construir la jacobiana con la forma correcta e interpretar su determinante cuando la aplicación es cuadrada.
Idea clave
Para \(F=(F_1,\ldots,F_m):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), la matriz jacobiana es \(J_F=(\partial F_i/\partial x_j)\). Tiene \(m\) filas y \(n\) columnas: una fila por cada componente de salida y una columna por cada variable de entrada.
Usos del jacobiano
Aproximar \(F(a+h)\) por \(F(a)+J_F(a)h\).
Aplicar la regla de la cadena como \(J_{F\circ G}(x)=J_F(G(x))J_G(x)\).
Para \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\), \(|\det J_F|\) es el factor local de escala de volumen.
Un determinante positivo preserva la orientación; uno negativo la invierte.
Un determinante no nulo es la prueba clave de invertibilidad local para aplicaciones entre espacios de la misma dimensión bajo las hipótesis estándar de suavidad.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(F(x,y)=(x+y,xy)\), halla \(J_F\) y \(\det J_F(3,1)\).
Las filas vienen de las dos componentes: \[J_F(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\ y&x\end{pmatrix}.\] Su determinante es \(x-y\), así que en \((3,1)\) vale \(2\).
Inténtalo
Inténtalo: Si \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), ¿cuál es el tamaño de \(J_F\)?
Pista: Cuenta las salidas para las filas y las entradas para las columnas.
La regla de la cadena multivariable multiplica los datos derivados en el orden correcto
Objetivo de aprendizaje: Elegir la regla de la cadena escalar o matricial que coincide con el diagrama de dependencias.
Idea clave
Si \(z=f(x(t),y(t))\), entonces \(dz/dt=f_x\,dx/dt+f_y\,dy/dt\). En general, la derivada de una composición se obtiene multiplicando matrices jacobianas, con la derivada exterior evaluada en la función interior.
Patrones de la regla de la cadena
Trayectoria en un campo escalar: \(d(f(r(t)))/dt=\nabla f(r(t))\cdot r^\prime(t)\).
Aplicación después de aplicación: \(J_{F\circ G}=J_F(G)J_G\).
Cambio de coordenadas: primero deriva las nuevas variables y luego introdúcelas en las derivadas exteriores.
Comprueba dimensiones: el producto matricial debe tener filas de la salida final y columnas de la entrada original.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Sea \(f(x,y)=x^2y\), \(x=t\) y \(y=t^2\). Calcula \(dz/dt\) para \(z=f(x(t),y(t))\).
Directamente, \(z=t^2\cdot t^2=t^4\), así que \(dz/dt=4t^3\). Por la regla de la cadena, \(f_x=2xy=2t^3\), \(x^\prime=1\), \(f_y=x^2=t^2\) y \(y^\prime=2t\), lo que da \(2t^3+2t^3=4t^3\).
Inténtalo
Inténtalo: Si \(z=f(x(t),y(t))\), ¿qué fórmula es la regla de la cadena?
Pista: Suma la contribución a través de cada variable intermedia.
Las segundas derivadas parciales describen cómo cambia la primera derivada
Objetivo de aprendizaje: Reconocer la matriz hessiana, la notación de parciales mixtas y la condición que permite conmutar las parciales mixtas.
Idea clave
Para una \(f\) escalar, la hessiana \(H_f\) es la matriz de segundas derivadas parciales. Sus entradas diagonales son segundas parciales puras, como \(f_{xx}\), y sus entradas fuera de la diagonal son parciales mixtas, como \(f_{xy}\) y \(f_{yx}\). Si las segundas parciales mixtas son continuas cerca de un punto, entonces \(f_{xy}=f_{yx}\) en ese punto.
Hechos sobre hessianas
La hessiana de \(f(x,y)\) es \(\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}\).
Para una dirección unitaria \(u\), la segunda derivada direccional es \(u^T H_f(a)u\).
Para una suma separada \(g(x)+h(y)\), la derivada parcial mixta \(f_{xy}\) es \(0\) siempre que existan las derivadas.
La simetría de la hessiana necesita hipótesis; no es solo notación.
La hessiana es central para la forma local, pero el gradiente da la condición de punto crítico de primer orden.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(f(x,y)=x^2y+y^2\), calcula \(f_{xy}\) y \(f_{yx}\).
Primero \(f_x=2xy\), así que \(f_{xy}=2x\). Además \(f_y=x^2+2y\), así que \(f_{yx}=2x\). Las parciales mixtas coinciden para esta función suave.
Inténtalo
Inténtalo: Si \(f_{xy}\) y \(f_{yx}\) son continuas cerca de un punto, ¿qué se sigue en ese punto?
Pista: Las segundas parciales mixtas continuas permiten cambiar el orden de diferenciación.
La diferenciabilidad convierte los datos derivados en un modelo de primer orden
Objetivo de aprendizaje: Usar gradientes y jacobianos para aproximación local, planos tangentes y la condición de punto crítico de primer orden.
Idea clave
Si \(f\) es diferenciable en \(a\), entonces \(f(a+h)\approx f(a)+\nabla f(a)\cdot h\). Para \(z=f(x,y)\), el plano tangente en \((a,b)\) es \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\). En un extremo local interior donde \(f\) es diferenciable, el gradiente debe ser \(0\).
Patrones de linealización
Para una \(f\) escalar, la linealización usa el producto punto con \(\nabla f\).
Para una \(F\) con valores vectoriales, la linealización usa \(J_F(a)h\).
Para una curva de nivel regular \(f=c\), un vector tangente es perpendicular a \(\nabla f\).
En un extremo local interior diferenciable, \(\nabla f=0\).
Si \(f_x=f_y=0\), el punto es crítico, pero la clasificación se hace por separado.
No escribas un plano tangente a partir de parciales a menos que la diferenciabilidad esté justificada.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Supón que \(f(1,2)=5\), \(f_x(1,2)=3\) y \(f_y(1,2)=-2\). Aproxima \(f(1.1,1.97)\).
Aquí \(h=0.1\) y \(k=-0.03\). La aproximación lineal da \(5+3(0.1)-2(-0.03)=5+0.30+0.06=5.36\).
Inténtalo
Inténtalo: Si \(f_x(a,b)=2\) y \(f_y(a,b)=-1\), ¿cuál es el cambio de primer orden para un cambio de entrada \((h,k)\)?
Pista: Multiplica cada cambio coordenado por la derivada parcial correspondiente y suma.
Los errores comunes son sobre todo errores de tipo de objeto
Objetivo de aprendizaje: Terminar separando funciones escalares, aplicaciones con valores vectoriales, gradientes, jacobianos, hessianas y hechos sobre determinantes.
Errores comunes
Variable congelada equivocada: en \(f_x\), toda variable que no sea \(x\) es constante.
Dirección no unitaria: normaliza la dirección antes de usar \(D_u f=\nabla f\cdot u\).
Forma incorrecta de la jacobiana: las filas son salidas y las columnas son entradas.
Determinantes solo para jacobianas cuadradas: \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) no tiene determinante jacobiano.
Las parciales no bastan: la existencia de primeras parciales por sí sola no tiene por qué demostrar diferenciabilidad.
Faltan hipótesis del teorema: las inversas locales y la simetría de parciales mixtas requieren supuestos de regularidad.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Para \(F(x,y)=(x+y,x-y)\), ¿qué te dice localmente \(\det J_F=-2\)?
El determinante no es nulo, así que la aplicación es localmente invertible. Su valor absoluto \(2\) es el factor local de escala de área, y el signo negativo significa que la aplicación invierte la orientación.
Inténtalo
Inténtalo: Si el determinante de una jacobiana cuadrada es negativo en un punto, la aplicación local invierte:
Pista: El signo de un determinante registra si la orientación se preserva o se invierte.
Repaso final
Las derivadas parciales son tasas en una coordenada.
El gradiente es el vector de primeras parciales para una \(f\) escalar.
Las derivadas direccionales usan el producto punto con una dirección unitaria.
Los gradientes son normales a conjuntos de nivel regulares.
La jacobiana de \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) es \(m\times n\).
El determinante de una jacobiana cuadrada da información de escalamiento local y orientación.
La regla de la cadena es producto punto para trayectorias escalares y multiplicación de matrices para aplicaciones.
La hessiana contiene segundas parciales; las parciales mixtas conmutan bajo hipótesis de continuidad.
La linealización requiere diferenciabilidad, no solo derivadas parciales formales.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar el cuestionario. Para cada pregunta, identifica primero si pide un escalar, un vector, una matriz o un determinante.
