Quiz d’entraînement sur les dérivées partielles, les jacobiens et les gradients avec une leçon interactive pas à pas
Utilisez la série de questions plus bas sur la page pour vous entraîner au calcul différentiel multivariable : calculer des dérivées partielles en gardant les autres variables constantes, former des gradients, utiliser \(D_u f=\nabla f\cdot u\) pour les directions unitaires, lire les ensembles de niveau, construire des matrices jacobiennes pour les applications \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), appliquer la règle de la chaîne, reconnaître les hessiens et les dérivées partielles mixtes, écrire des linéarisations par plan tangent et vérifier quand un déterminant jacobien non nul donne l’inversibilité locale. Pour réviser, ouvrez la leçon : vous y trouverez de courts exemples corrigés et des vérifications rapides.
Répondez à la série de questions et révisez vos erreurs à la fin.
Comment fonctionne cet entraînement au calcul différentiel multivariable
1. Faites la série de questions : répondez aux questions sur les dérivées partielles, les gradients, les jacobiens, les dérivées directionnelles et les règles de la chaîne.
2. Ouvrez la leçon : revoyez les définitions, les tests de reconnaissance, les exemples corrigés et les vérifications à réponse unique.
3. Réessayez : revenez à la série de questions et déterminez quel objet de dérivation chaque problème demande.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les dérivées partielles, les jacobiens et les gradients
Dérivées partielles
Garder les autres variables constantes : \(f_x\) ne dérive que la dépendance en \(x\)
Dérivées partielles mixtes : \(f_{xy}\) et \(f_{yx}\) coïncident sous les hypothèses usuelles de continuité
Des dérivées partielles premières continues près d’un point constituent une condition assez forte pour la différentiabilité en ce point
Gradients et directions
Gradient : \(\nabla f=(f_{x_1},\ldots,f_{x_n})\) pour une fonction scalaire \(f\)
Dérivée directionnelle : \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\) lorsque \(u\) est un vecteur unitaire
Le gradient est normal aux ensembles de niveau réguliers et pointe dans la direction de plus forte croissance
Matrices jacobiennes
Les lignes sont les sorties, les colonnes les entrées : \(J_F\) est \(m\times n\) pour \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\)
Pour les applications carrées, \(\det J_F\) mesure le facteur local d’aire ou de volume et l’orientation
La règle de la chaîne multivariable est une multiplication de matrices de dérivées
Vérifications de théorèmes et pièges
Un \(\det J_F(a)\) non nul donne un inverse local pour une application carrée différentiable avec la régularité requise
Un ensemble de niveau régulier a un gradient non nul, donc le gradient fournit une direction normale
Ne confondez pas l’existence de dérivées partielles avec la différentiabilité complète ou un plan tangent valide
Leçon sur les dérivées partielles, les jacobiens et les gradients
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Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : Construire une boîte à outils fiable pour le calcul différentiel multivariable : calculer des dérivées partielles, assembler des gradients et des jacobiens, utiliser des dérivées directionnelles, appliquer les règles de la chaîne, lire les hessiens et les dérivées partielles mixtes, faire des approximations linéaires du premier ordre et reconnaître quand les hypothèses des théorèmes comptent.
Critères de réussite
Calculer \(f_x,f_y,\ldots\) en gardant les autres variables constantes.
Former \(\nabla f\) pour les fonctions scalaires.
Utiliser \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\) pour les directions unitaires.
Identifier les gradients comme normales aux ensembles de niveau réguliers.
Construire \(J_F\) avec les lignes pour les sorties et les colonnes pour les entrées.
Interpréter \(\det J_F\) pour les applications carrées comme un facteur d’échelle local et une information d’orientation.
Appliquer la règle de la chaîne sous forme scalaire et matricielle.
Utiliser correctement les hessiens, les dérivées partielles mixtes et la linéarisation du premier ordre.
Vérifier les hypothèses de différentiabilité et de fonction inverse avant d’appliquer les théorèmes.
Vocabulaire clé
Dérivée partielle : dérivée à une variable avec toutes les autres variables gardées constantes.
Gradient : vecteur des dérivées partielles premières pour une fonction scalaire \(f\).
Dérivée directionnelle : taux de variation dans une direction unitaire donnée.
Jacobien : matrice dérivée d’une application vectorielle.
Hessien : matrice des dérivées partielles secondes d’une fonction scalaire.
Linéarisation : meilleure approximation affine du premier ordre près d’un point de différentiabilité.
Vérification rapide initiale
Vérification initiale : Pour une fonction scalaire \(f(x,y)\), qu’est-ce que \(\nabla f\) ?
Indice : un gradient rassemble toutes les dérivées partielles premières d’une fonction scalaire.
Les dérivées partielles sont des dérivées ordinaires où les autres variables restent constantes
Objectif d’apprentissage : décider quelles variables bougent, lesquelles restent constantes, et ce qu’une dérivée partielle première prouve ou ne prouve pas.
Idée clé
Pour \(f(x,y)\), \(f_x\) signifie dériver par rapport à \(x\) en traitant \(y\) comme une constante. De même, \(f_y\) traite \(x\) comme une constante. La notation indique un taux local dans une direction de coordonnée ; à elle seule, l’existence de dérivées partielles ne garantit pas toujours la différentiabilité complète.
Liste de reconnaissance
Identifiez la variable de dérivation.
Traitez toute autre variable comme un coefficient constant.
Appliquez les règles ordinaires du produit, du quotient et de la chaîne si nécessaire.
Pour les produits comme \(g(x)h(y)\), dérivez seulement le facteur qui dépend de la variable active.
Après avoir dérivé, remplacez par le point seulement si le problème demande une valeur.
Pour les affirmations de différentiabilité, cherchez des conditions plus fortes, comme des dérivées partielles premières continues au voisinage.
Exemple corrigé
Exemple : Pour \(f(x,y)=xe^y+y^2\), calculez \(f_x\) et \(f_y\).
Pour \(f_x\), \(e^y\) et \(y^2\) sont constants par rapport à \(x\), donc \(f_x=e^y\). Pour \(f_y\), \(x\) est constant, donc \(f_y=xe^y+2y\).
À vous
À vous : Pour \(f(x,y)=x^2y+\sin x\), que vaut \(f_y\) ?
Indice : par rapport à \(y\), le terme \(\sin x\) est constant.
Le gradient regroupe tous les taux de variation par coordonnée dans un seul vecteur
Objectif d’apprentissage : utiliser les gradients pour calculer des dérivées directionnelles et lire la géométrie des ensembles de niveau.
Idée clé
Pour \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}\), \(\nabla f(a)\) est le vecteur des dérivées partielles premières en \(a\). Si \(u\) est un vecteur unitaire, alors \(D_u f(a)=\nabla f(a)\cdot u\). La plus grande dérivée directionnelle possible vaut \(\|\nabla f(a)\|\), atteinte dans la direction du gradient lorsque le gradient est non nul.
Propriétés du gradient
Le gradient pointe dans la direction de plus forte croissance.
Le gradient opposé pointe dans la direction de plus forte décroissance.
Les directions perpendiculaires à \(\nabla f(a)\) ont une variation du premier ordre égale à \(0\).
Sur un ensemble de niveau régulier \(f=c\), le gradient est normal à l’ensemble de niveau.
La formule de dérivée directionnelle exige que \(u\) soit un vecteur unitaire.
Exemple corrigé
Exemple : Soit \(f(x,y)=x^2+y^2\). Trouvez \(D_u f(1,2)\) pour \(u=(1/\sqrt5,2/\sqrt5)\).
\(\nabla f=(2x,2y)\), donc \(\nabla f(1,2)=(2,4)\). Alors \(D_u f(1,2)=(2,4)\cdot(1/\sqrt5,2/\sqrt5)=10/\sqrt5=2\sqrt5\).
À vous
À vous : Si \(\nabla f(a)=(3,4)\), quelle est la dérivée directionnelle maximale parmi toutes les directions unitaires ?
Indice : la dérivée directionnelle maximale est la norme du gradient.
Un jacobien est la matrice dérivée d’une application vectorielle
Objectif d’apprentissage : construire le jacobien avec la bonne taille et interpréter son déterminant lorsque l’application est carrée.
Idée clé
Pour \(F=(F_1,\ldots,F_m):\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\), la matrice jacobienne est \(J_F=(\partial F_i/\partial x_j)\). Elle a \(m\) lignes et \(n\) colonnes : une ligne pour chaque composante de sortie et une colonne pour chaque variable d’entrée.
Utilisations du jacobien
Approcher \(F(a+h)\) par \(F(a)+J_F(a)h\).
Appliquer la règle de la chaîne sous la forme \(J_{F\circ G}(x)=J_F(G(x))J_G(x)\).
Pour \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\), \(|\det J_F|\) est le facteur local d’échelle de volume.
Un déterminant positif préserve l’orientation ; un déterminant négatif l’inverse.
Un déterminant non nul est le test clé d’inversibilité locale pour les applications carrées sous les hypothèses usuelles de régularité.
Exemple corrigé
Exemple : Pour \(F(x,y)=(x+y,xy)\), trouvez \(J_F\) et \(\det J_F(3,1)\).
Les lignes viennent des deux composantes : \[J_F(x,y)=\begin{pmatrix}1&1\\ y&x\end{pmatrix}.\] Son déterminant est \(x-y\), donc en \((3,1)\) il vaut \(2\).
À vous
À vous : Si \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\), quelle est la taille de \(J_F\) ?
Indice : comptez les sorties pour les lignes et les entrées pour les colonnes.
La règle de la chaîne multivariable multiplie les données de dérivation dans le bon ordre
Objectif d’apprentissage : choisir la règle de la chaîne scalaire ou matricielle qui correspond au diagramme de dépendance.
Idée clé
Si \(z=f(x(t),y(t))\), alors \(dz/dt=f_x\,dx/dt+f_y\,dy/dt\). Plus généralement, la dérivée d’une composition s’obtient en multipliant des matrices jacobiennes, avec la dérivée extérieure évaluée sur la fonction intérieure.
Formes de la règle de la chaîne
Courbe dans un champ scalaire : \(d(f(r(t)))/dt=\nabla f(r(t))\cdot r^\prime(t)\).
Changement de coordonnées : dérivez d’abord les nouvelles variables, puis injectez-les dans les dérivées extérieures.
Vérifiez les dimensions : le produit matriciel doit avoir les lignes de la sortie finale et les colonnes de l’entrée initiale.
Exemple corrigé
Exemple : Soient \(f(x,y)=x^2y\), \(x=t\) et \(y=t^2\). Calculez \(dz/dt\) pour \(z=f(x(t),y(t))\).
Directement, \(z=t^2\cdot t^2=t^4\), donc \(dz/dt=4t^3\). Par la règle de la chaîne, \(f_x=2xy=2t^3\), \(x^\prime=1\), \(f_y=x^2=t^2\) et \(y^\prime=2t\), ce qui donne \(2t^3+2t^3=4t^3\).
À vous
À vous : Si \(z=f(x(t),y(t))\), quelle formule est la règle de la chaîne ?
Indice : additionnez la contribution de chaque variable intermédiaire.
Les dérivées partielles secondes décrivent comment la dérivée première change
Objectif d’apprentissage : reconnaître la matrice hessienne, la notation des dérivées partielles mixtes et la condition qui permet aux dérivées mixtes de commuter.
Idée clé
Pour une fonction scalaire \(f\), le hessien \(H_f\) est la matrice des dérivées partielles secondes. Ses entrées diagonales sont des dérivées secondes pures comme \(f_{xx}\), et ses entrées hors diagonale sont des dérivées partielles mixtes comme \(f_{xy}\) et \(f_{yx}\). Si les dérivées partielles secondes mixtes sont continues près d’un point, alors \(f_{xy}=f_{yx}\) en ce point.
Propriétés du hessien
Le hessien de \(f(x,y)\) est \(\begin{pmatrix}f_{xx}&f_{xy}\\ f_{yx}&f_{yy}\end{pmatrix}\).
Pour une direction unitaire \(u\), la dérivée directionnelle seconde est \(u^T H_f(a)u\).
Pour une somme séparée \(g(x)+h(y)\), la dérivée partielle mixte \(f_{xy}\) vaut \(0\) lorsque les dérivées existent.
La symétrie du hessien exige des hypothèses ; ce n’est pas seulement une question de notation.
Le hessien est central pour la forme locale, mais le gradient donne la condition de point critique du premier ordre.
Exemple corrigé
Exemple : Pour \(f(x,y)=x^2y+y^2\), calculez \(f_{xy}\) et \(f_{yx}\).
D’abord \(f_x=2xy\), donc \(f_{xy}=2x\). De plus \(f_y=x^2+2y\), donc \(f_{yx}=2x\). Les dérivées partielles mixtes coïncident pour cette fonction lisse.
À vous
À vous : Si \(f_{xy}\) et \(f_{yx}\) sont continues près d’un point, que s’ensuit-il en ce point ?
Indice : des dérivées partielles secondes mixtes continues permettent de permuter l’ordre de dérivation.
La différentiabilité transforme les données dérivées en modèle du premier ordre
Objectif d’apprentissage : utiliser les gradients et les jacobiens pour l’approximation locale, les plans tangents et la condition de point critique du premier ordre.
Idée clé
Si \(f\) est différentiable en \(a\), alors \(f(a+h)\approx f(a)+\nabla f(a)\cdot h\). Pour \(z=f(x,y)\), le plan tangent en \((a,b)\) est \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\). En un extremum local intérieur où \(f\) est différentiable, le gradient doit être \(0\).
Formes de linéarisation
Pour une fonction scalaire \(f\), la linéarisation utilise le produit scalaire avec \(\nabla f\).
Pour une application vectorielle \(F\), la linéarisation utilise \(J_F(a)h\).
Pour une courbe de niveau régulière \(f=c\), un vecteur tangent est perpendiculaire à \(\nabla f\).
En un extremum local intérieur différentiable, \(\nabla f=0\).
Si \(f_x=f_y=0\), le point est critique, mais la classification est une étape séparée.
N’écrivez pas un plan tangent à partir des dérivées partielles si la différentiabilité n’est pas justifiée.
Exemple corrigé
Exemple : Supposons que \(f(1,2)=5\), \(f_x(1,2)=3\) et \(f_y(1,2)=-2\). Approximez \(f(1.1,1.97)\).
Ici \(h=0.1\) et \(k=-0.03\). L’approximation linéaire donne \(5+3(0.1)-2(-0.03)=5+0.30+0.06=5.36\).
À vous
À vous : Si \(f_x(a,b)=2\) et \(f_y(a,b)=-1\), quelle est la variation du premier ordre pour une variation d’entrée \((h,k)\) ?
Indice : multipliez chaque variation de coordonnée par la dérivée partielle correspondante, puis additionnez.
Les erreurs courantes sont surtout des erreurs de type d’objet
Objectif d’apprentissage : terminer en séparant les fonctions scalaires, les applications vectorielles, les gradients, les jacobiens, les hessiens et les faits sur les déterminants.
Pièges courants
Mauvaise variable gelée : dans \(f_x\), toute variable autre que \(x\) est constante.
Direction non unitaire : normalisez la direction avant d’utiliser \(D_u f=\nabla f\cdot u\).
Mauvaise taille du jacobien : les lignes sont les sorties et les colonnes les entrées.
Déterminants seulement pour les jacobiens carrés : \(F:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2\) n’a pas de déterminant jacobien.
Les dérivées partielles ne suffisent pas : l’existence des dérivées partielles premières seule ne prouve pas nécessairement la différentiabilité.
Hypothèses de théorème manquantes : les inverses locaux et la symétrie des dérivées partielles mixtes exigent des hypothèses de régularité.
Exemple corrigé
Exemple : Pour \(F(x,y)=(x+y,x-y)\), que vous dit localement \(\det J_F=-2\) ?
Le déterminant est non nul, donc l’application est localement inversible. Sa valeur absolue \(2\) est le facteur local d’échelle d’aire, et le signe négatif signifie que l’application inverse l’orientation.
À vous
À vous : Si le déterminant jacobien carré est négatif en un point, l’application locale inverse :
Indice : le signe d’un déterminant indique si l’orientation est préservée ou inversée.
Récapitulatif final
Les dérivées partielles sont des taux dans une seule coordonnée.
Le gradient est le vecteur des dérivées partielles premières pour une fonction scalaire \(f\).
Les dérivées directionnelles utilisent le produit scalaire avec une direction unitaire.
Les gradients sont normaux aux ensembles de niveau réguliers.
Le jacobien de \(F:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) est \(m\times n\).
Le déterminant d’un jacobien carré donne des informations locales sur l’échelle et l’orientation.
La règle de la chaîne se fait par produits scalaires pour les chemins scalaires et par multiplication matricielle pour les applications.
Le hessien contient les dérivées partielles secondes ; les dérivées partielles mixtes commutent sous des hypothèses de continuité.
La linéarisation exige la différentiabilité, pas seulement des dérivées partielles formelles.
Étape suivante : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Pour chaque question, identifiez d’abord si elle demande un scalaire, un vecteur, une matrice ou un déterminant.
Série de pratique
Questions de pratique sur Partial Derivatives, Jacobians & Gradients avec score instantané
Répondez aux 10 questions ci-dessous, puis obtenez votre score final et une revue des erreurs pour savoir exactement quoi améliorer.
0/10répondues
Question 1Non répondu
Pour \(f(x,y)=x^2+y\), que vaut \(\partial f/\partial x\) ?
Bonne réponse : C. \(2x\)
Explication : On traite \(y\) comme une constante et on dérive \(x^2\).
Question 2Non répondu
Pour \(f(x,y)=xy\), que vaut \(\nabla f(1,2)\) ?
Bonne réponse : C. \((2,1)\)
Explication : \(\nabla f=(y,x)\), donc en \((1,2)\) cela donne \((2,1)\).
Question 3Non répondu
Quel est le déterminant jacobien de \(F(x,y)=(x+y,x-y)\) ?
Bonne réponse : B. \(-2\)
Explication : La matrice jacobienne est \(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\), de déterminant \(-2\).
Question 4Non répondu
Un point critique intérieur d'une fonction scalaire différentiable vérifie :
Bonne réponse : B. \(\nabla f=0\)
Explication : En un point critique intérieur, le gradient s'annule.
Question 5Non répondu
La dérivée directionnelle de \(f\) dans une direction unitaire \(u\) est :
Bonne réponse : A. \(\nabla f\cdot u\)
Explication : C'est le produit scalaire du gradient avec le vecteur de direction.
Question 6Non répondu
Pour \(f(x,y)=x^2+y^2\), que vaut \(\nabla f(0,0)\) ?
Bonne réponse : A. \((0,0)\)
Explication : \(\nabla f=(2x,2y)\), donc à l'origine cela donne \((0,0)\).
Question 7Non répondu
Si \(F:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\) est de classe \(C^1\) près d'un point et si \(\det J_F\) y est non nul, alors localement \(F\) est :
Bonne réponse : A. Localement inversible
Explication : Pour une application \(C^1\) de différentielle inversible, le théorème d'inversion locale donne l'inversibilité locale.
Question 8Non répondu
Pour \(f(x,y)=\sin x+y^3\), que vaut \(\partial f/\partial y\) ?
Bonne réponse : D. \(3y^2\)
Explication : On traite \(x\) comme une constante et on dérive \(y^3\).
Question 9Non répondu
Que contient la matrice hessienne ?
Bonne réponse : D. Dérivées secondes partielles
Explication : La hessienne est la matrice des dérivées secondes partielles.
Question 10Non répondu
Si \(z=f(x(t),y(t))\), quelle est la formule de la règle de la chaîne ?
Bonne réponse : A. \(z'=f_xx'+f_yy'\)
Explication : On dérive par rapport à chaque variable et on additionne les contributions.
