Kritische Punkte, Tangentialebenen & lokale Extrema
Übungsquiz zu kritischen Punkten, Tangentialebenen & lokalen Extrema mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion
Nutze das Quiz weiter unten auf der Seite, um lokales Verhalten in mehreren Variablen zu üben: kritische Punkte aus \(\nabla f=0\) finden, Tangentialebenen, Linearisierungen und Normalenvektoren bestimmen, die zweidimensionale Hesse-Determinante \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) anwenden, positiv definite, negativ definite und indefinite Hesse-Matrizen klassifizieren, nicht aussagekräftige Fälle mit \(D=0\) behandeln, Extrema am Rand und auf kompakten Mengen prüfen und Lagrange-Multiplikatoren für reguläre Nebenbedingungen nutzen. In der Lektion findest du kurze ausgearbeitete Beispiele und kurze Kontrollfragen.
Beantworte die Fragensammlung und prüfe deine Fehler am Ende.
So funktioniert diese Übung zu lokalen Extrema
1. Bearbeite das Übungsset: Beantworte Fragen zu Gradienten, Tangentialebenen, Hesse-Matrizen, Extrema unter Nebenbedingungen und Kompaktheit.
2. Öffne die Lektion: Wiederhole Definitionen, Erkennungstests, ausgearbeitete Beispiele und Kontrollfragen mit genau einer Antwort.
3. Erneut versuchen: Kehre zum Fragenset zurück und entscheide zuerst, ob die Aufgabe nach einem Punkt, einer Ebene, einer Klassifikation oder einem globalen Vergleich fragt.
Was du in der Lektion zu kritischen Punkten, Tangentialebenen und lokalen Extrema lernst
Kritische Punkte und Tests erster Ordnung
Innere differenzierbare Extrema: \(\nabla f(a)=0\) ist notwendig
Kritischer Punkt: Gradient null oder Ableitungsinformationen im Definitionsbereich nicht verfügbar
Löse \(f_x=0\) und \(f_y=0\), klassifiziere danach, statt automatisch ein Extremum anzunehmen
Tangentialebenen und Linearisierung
Tangentialebene an den Graphen: \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
Linearisierung: nutze die Änderung erster Ordnung \(\nabla f(a)\cdot h\)
Normalenvektoren: Ein Graph \(z=f(x,y)\) hat den Normalenvektor \((f_x,f_y,-1)\), während eine Niveaufläche \(F=c\) den Normalenvektor \(\nabla F\) hat
Lektion zu kritischen Punkten, Tangentialebenen & lokalen Extrema
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Lektionsüberblick
Ziel: Baue einen verlässlichen Ablauf für lokales Verhalten in zwei oder mehr Variablen auf: kritische Punkte finden, Tangentialebenen aufstellen, lokale Minima, lokale Maxima und Sattelpunkte klassifizieren, flache oder entartete Fälle behandeln und Kandidaten auf Mengen mit Nebenbedingungen oder kompakten Definitionsbereichen vergleichen.
Erfolgskriterien
Nenne die notwendige Bedingung erster Ordnung für ein inneres differenzierbares lokales Extremum.
Finde kritische Punkte durch Lösen von \(f_x=0\) und \(f_y=0\).
Stelle die Tangentialebene an \(z=f(x,y)\) im Punkt \((a,b)\) auf.
Finde Normalenvektoren für Tangentialebenen an Graphen und Niveauflächen.
Nutze \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\), um gewöhnliche kritische Punkte in zwei Variablen zu klassifizieren.
Lies Definitheit der Hesse-Matrix aus Vorzeichen oder Eigenwerten ab.
Erkenne, warum \(D=0\) keine Entscheidung liefert, und teste bei Bedarf Vorzeichen entlang von Kurven.
Nutze Kompaktheit und Randprüfungen für globale Extrema.
Wende \(\nabla f=\lambda\nabla g\) nur bei regulären Kandidaten unter Nebenbedingungen an.
Wichtige Begriffe
Kritischer Punkt: ein Punkt, an dem \(\nabla f=0\) gilt oder an dem für den Test benötigte Ableitungsinformationen nicht verfügbar sind.
Tangentialebene: das affine Modell erster Ordnung eines differenzierbaren Graphen \(z=f(x,y)\).
Hesse-Matrix: die Matrix der zweiten partiellen Ableitungen.
Positiv definit: Die quadratische Form ist in jeder von null verschiedenen Richtung positiv.
Sattelpunkt: In der Nähe treten Werte sowohl oberhalb als auch unterhalb des Werts im Punkt auf.
Reguläre Nebenbedingung: eine Nebenbedingung \(g=c\) mit \(\nabla g≠ 0\) am Kandidaten.
Schneller Vorabcheck
Vorabcheck: Was muss an einem inneren lokalen Extremum einer differenzierbaren Funktion \(f(x,y)\) gelten?
Hinweis: Ein differenzierbares inneres Extremum hat in jeder Richtung verschwindende Änderung erster Ordnung.
Kritische Punkte sind Kandidaten, keine automatischen Extrema
Lernziel: Finde die Kandidatenpunkte, an denen lokale Extrema oder Sattelpunkte auftreten können, und halte die Klassifikation von der Suche getrennt.
Kernidee
Für eine differenzierbare skalare Funktion \(f(x,y)\) muss an einem inneren lokalen Maximum oder Minimum \(\nabla f(a,b)=(0,0)\) gelten. Diese Bedingung ist notwendig, aber nicht hinreichend: \(x^2-y^2\) und \(xy\) haben beide kritische Punkte im Ursprung, sind dort aber Sattelpunkte.
Erkennungs-Prüfenliste
Prüfe, dass der Punkt im Inneren des Definitionsbereichs liegt, nicht nur auf dem Rand.
Berechne \(f_x\) und \(f_y\).
Löse das System \(f_x=0,\ f_y=0\).
Füge alle Punkte hinzu, an denen Ableitungen nicht existieren, die Funktion aber noch im Definitionsbereich liegt.
Klassifiziere jeden Kandidaten mit Hesse-Matrizen, Vorzeichen oder Randvergleichen.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Finde den kritischen Punkt von \(f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y\).
Der Gradient ist \(\nabla f=(2x-2,2y+4)\). Beide Komponenten gleich null zu setzen ergibt \(x=1\) und \(y=-2\); der einzige kritische Punkt ist also \((1,-2)\). Seine Hesse-Matrix ist \(2I\), daher ist er ein striktes lokales Minimum.
Übe selbst
Übe selbst: Wo liegt für \(f(x,y)=x^2+y^2-4y\) der kritische Punkt?
Hinweis: \(\nabla f=(2x,2y-4)\).
Tangentialebenen sind Modelle erster Ordnung
Lernziel: Nutze erste partielle Ableitungen, um die lokale affine Approximation an einen Graphen oder eine Niveaufläche aufzubauen.
Kernidee
Wenn \(f\) in \((a,b)\) differenzierbar ist, dann ist die Tangentialebene an \(z=f(x,y)\) \[z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).\] Äquivalent gilt \(f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k\).
Muster für Tangentialebenen
Für einen Graphen \(z=f(x,y)\) berechnest du den Wert und die zwei ersten partiellen Ableitungen am Basispunkt.
Ein Normalenvektor an diesen Graphen ist \((f_x(a,b),f_y(a,b),-1)\); der Gegenvektor ist ebenfalls normal.
Wenn \(\nabla f(a,b)=0\), ist die Tangentialebene an den Graphen horizontal: \(z=f(a,b)\).
Für eine implizite Fläche \(F(x,y,z)=0\) ist \(\nabla F(a,b,c)\) der Normalenvektor, sofern er nicht null ist.
Eine Tangentialebene ist eine lokale Approximation, keine globale Gleichheit, außer die Funktion ist bereits affin.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Schreibe die Tangentialebene an \(z=x^2+y\) im Punkt \((1,2)\).
Hier ist \(f(1,2)=3\), \(f_x=2x\), also \(f_x(1,2)=2\), und \(f_y=1\). Daher \[z=3+2(x-1)+(y-2).\] Die passende lineare Approximation ist \(f(1+h,2+k)\approx3+2h+k\).
Übe selbst
Übe selbst: Was ist für \(z=x^2+y^2\) die Tangentialebene im Punkt \((0,0)\)?
Hinweis: Im Ursprung sind der Wert und beide ersten partiellen Ableitungen \(0\).
Die Hesse-Matrix beschreibt die lokale quadratische Gestalt
Lernziel: Nutze \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\), um nichtentartete kritische Punkte in zwei Variablen zu klassifizieren.
Kernidee
An einem kritischen Punkt einer \(C^2\)-Funktion \(f(x,y)\) wird der Taylor-Term zweiter Ordnung von der Hesse-Matrix gesteuert. In zwei Variablen trennt die Determinante \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) die üblichen positiv definiten, negativ definiten, indefiniten und nicht aussagekräftigen Fälle.
Testregeln für zwei Variablen
Wenn \(D>0\) und \(f_{xx}>0\), ist der Punkt ein striktes lokales Minimum.
Wenn \(D>0\) und \(f_{xx}<0\), ist der Punkt ein striktes lokales Maximum.
Wenn \(D<0\), ist die Hesse-Matrix indefinit und der Punkt ein Sattelpunkt.
Wenn \(D=0\), ist der Test nicht aussagekräftig.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Klassifiziere den Ursprung für \(f(x,y)=x^2+xy+y^2\).
Der Ursprung ist kritisch. Hier gilt \(f_{xx}=2\), \(f_{yy}=2\) und \(f_{xy}=1\), also \(D=2\cdot2-1^2=3>0\). Da \(f_{xx}>0\), ist der Ursprung ein striktes lokales Minimum.
Übe selbst
Übe selbst: Was liefert der Test, wenn an einem kritischen Punkt \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0\) gilt?
Hinweis: Eine negative Determinante bedeutet, dass die Hesse-Matrix in manchen Richtungen nach oben und in anderen nach unten gekrümmt ist.
Eigenwertvorzeichen liefern in jeder Dimension dieselbe lokale Gestalt
Lernziel: Lies lokales Verhalten aus der Definitheit der Hesse-Matrix ab, besonders jenseits von zwei Variablen.
Kernidee
An einem kritischen Punkt liefert eine positiv definite Hesse-Matrix ein striktes lokales Minimum, eine negativ definite Hesse-Matrix ein striktes lokales Maximum und eine indefinite Hesse-Matrix einen Sattelpunkt. Für symmetrische Hesse-Matrizen kannst du das aus Eigenwertvorzeichen ablesen: alle positiv, alle negativ oder gemischte Vorzeichen.
Vorzeichenmuster
Alle Hesse-Eigenwerte positiv: positiv definit.
Alle Hesse-Eigenwerte negativ: negativ definit.
Sowohl positive als auch negative Hesse-Eigenwerte: indefinit.
Null-Eigenwerte: Der quadratische Test kann keine Entscheidung liefern, und Terme höherer Ordnung können entscheiden.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Angenommen, ein kritischer Punkt hat die Hesse-Eigenwerte \(-2\) und \(5\). Welche Punktart wird nahegelegt?
Die Vorzeichen sind gemischt, also ist die Hesse-Matrix indefinit. Die quadratische Approximation hat positive und negative Richtungen, daher ist der kritische Punkt ein Sattelpunkt.
Übe selbst
Übe selbst: Was zeigt der Test zweiter Ordnung an, wenn die Hesse-Eigenwerte an einem kritischen Punkt \(2\) und \(5\) sind?
Hinweis: Beide Eigenwerte sind positiv.
Wenn der Hesse-Test keine Entscheidung liefert, teste die Funktion direkt
Lernziel: Behandle \(D=0\) oder Fälle mit verschwindender Hesse-Matrix, ohne zu viel zu behaupten.
Kernidee
Die Aussage \(D=0\) bedeutet, dass der Standardtest mit zweiten Ableitungen in zwei Variablen keine Klassifikation liefert. Sie bedeutet nicht Minimum, Maximum oder Sattelpunkt. Betrachte Vorzeichen von \(f(x,y)-f(a,b)\) entlang einfacher Pfade oder nutze algebraische Faktorisierung und Terme höherer Ordnung.
Was du tust, wenn der Test keine Entscheidung liefert
Prüfe Koordinatenachsen und einfache Geraden wie \(y=x\) und \(y=-x\).
Suche nach Ausdrücken, die immer nichtnegativ oder immer nichtpositiv sind.
Denke daran, dass ein lokales Minimum auch nicht strikt sein kann, wie bei \(f(x,y)=x^2\).
Wenn verschiedene Pfade Werte auf beiden Seiten von \(f(a,b)\) liefern, ist der Punkt ein Sattelpunkt.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Klassifiziere den Ursprung für \(f(x,y)=x^4-y^4\).
Die Hesse-Matrix im Ursprung ist die Nullmatrix, also ist der quadratische Test nicht entscheidend. Entlang der \(x\)-Achse gilt \(f(x,0)=x^4>0\) für \(x≠0\). Entlang der \(y\)-Achse gilt \(f(0,y)=-y^4<0\) für \(y≠0\). Werte treten auf beiden Seiten von \(0\) auf, also ist der Ursprung ein Sattelpunkt.
Übe selbst
Übe selbst: Was ist der Ursprung für \(f(x,y)=x^2\)?
Hinweis: \(x^2\ge0\), aber die Funktion ist entlang der ganzen \(y\)-Achse gleich \(0\).
Globale Extrema brauchen Kandidaten aus jedem Teil des Definitionsbereichs
Lernziel: Kombiniere innere kritische Punkte, Randprüfungen, Kompaktheit und Lagrange-Multiplikatoren.
Kernidee
Wenn \(f\) unter der Nebenbedingung \(g(x,y)=c\) ein reguläres Extremum hat, gilt \(\nabla f=\lambda\nabla g\). Das Wort regulär ist wichtig: Am Kandidaten gilt \(\nabla g≠0\). Für globale Extrema auf einer kompakten Menge vergleichst du alle inneren Kandidaten, Randkandidaten sowie alle Ecken oder singulären Punkte.
Ablauf für globale Extrema
Nutze \(\nabla f=0\) für innere differenzierbare Kandidaten.
Parametrisiere einfache Ränder, wenn möglich.
Nutze Lagrange-Multiplikatoren auf glatten regulären Nebenbedingungsstücken.
Prüfe Endpunkte, Ecken und Punkte, an denen die Nebenbedingung nicht regulär ist.
Werte \(f\) an jedem Kandidaten aus und vergleiche die Werte für globale Extrema.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Finde Maximum und Minimum von \(f(x,y)=x\) auf \(x^2+y^2=1\).
Auf dem Einheitskreis ist die größtmögliche \(x\)-Koordinate \(1\) und die kleinste \(-1\). Lagrange-Multiplikatoren liefern dieselben Kandidaten: \((1,0)\) hat den Maximalwert \(1\), und \((-1,0)\) hat den Minimalwert \(-1\). Für das verwandte Produkt \(xy\) auf demselben Kreis liefern die Diagonalkandidaten den Maximalwert \(1/2\).
Übe selbst
Übe selbst: Welche Bedingung sollte an einem regulären Extremum von \(f\) unter der Nebenbedingung \(g=c\) gelten?
Hinweis: An einem regulären Extremum unter Nebenbedingung sind die beiden Gradienten parallel.
Die meisten Fehler entstehen, wenn der richtige Test in der falschen Situation verwendet wird
Lernziel: Schließe mit einem kompakten Ablauf ab und vermeide die häufigen falschen Schlussfolgerungen.
Häufige Fallen
Gradient gleich null ist keine Klassifikation: Er findet nur Kandidaten.
Eine Tangentialebene ist lokal: Sie approximiert den Graphen nahe dem Basispunkt.
\(D=0\) liefert keine Entscheidung: Teste Vorzeichen oder nutze Terme höherer Ordnung.
Randpunkte zählen: Globale Extrema können auftreten, wo \(\nabla f≠0\).
Kompaktheit zählt: Stetige Funktionen auf nichtkompakten Mengen müssen keine Extrema annehmen.
Regularität zählt: Lagrange-Multiplikatoren brauchen einen von null verschiedenen Gradienten der Nebenbedingung.
Ausgearbeitetes Beispiel
Beispiel: Finde globale Extrema von \(f(x,y)=x^2+y^2\) auf der Kreisscheibe \(x^2+y^2\le1\).
Der innere kritische Punkt ist \((0,0)\), wo \(f=0\) gilt; das liefert das globale Minimum. Auf dem Rand \(x^2+y^2=1\) ist die Funktion gleich \(1\), daher liefert jeder Randpunkt den globalen Maximalwert \(1\).
Übe selbst
Übe selbst: Was ist garantiert, wenn \(f\) auf einer kompakten Menge stetig ist?
Hinweis: Das ist der Extremwertsatz.
Abschließende Zusammenfassung
Innere differenzierbare lokale Extrema müssen \(\nabla f=0\) erfüllen.
Die Tangentialebene an \(z=f(x,y)\) nutzt \(f(a,b)\), \(f_x(a,b)\) und \(f_y(a,b)\); ein Normalenvektor an den Graphen ist \((f_x,f_y,-1)\).
In zwei Variablen klassifiziert \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) nichtentartete kritische Punkte.
Eine positiv definite Hesse-Matrix bedeutet striktes lokales Minimum; eine negativ definite bedeutet striktes lokales Maximum; eine indefinite bedeutet Sattelpunkt.
\(D=0\) oder eine verschwindende Hesse-Matrix erfordert direkte Vorzeichenanalyse oder Analyse höherer Ordnung.
Für Extrema unter Nebenbedingungen nutzt du \(\nabla f=\lambda\nabla g\) nur auf regulären Nebenbedingungsstücken.
Für globale Extrema auf kompakten Mengen wertest und vergleichst du jeden inneren, Rand-, Ecken- und singulären Kandidaten.
Als Nächstes: Schließe diese Lektion und versuche das Quiz erneut. Bestimme zuerst, ob die Frage nach einem kritischen Punkt, einer Tangentialebene, einer lokalen Klassifikation, einer Bedingung unter Nebenbedingungen oder einem globalen Vergleich fragt.
Übungsset
Übungsfragen zu Critical Points, Tangent Planes & Local Extrema mit sofortiger Punktzahl
Beantworte alle 10 Fragen unten und erhalte danach deine Punktzahl sowie eine Fehlerübersicht, damit du genau weißt, was du verbessern kannst.
0/10beantwortet
Frage 1Nicht beantwortet
Was muss an einem inneren lokalen Extremum einer differenzierbaren Funktion \(f(x,y)\) gelten?
Richtige Antwort: D. \(\nabla f=0\)
Erklärung: An einem inneren Extremum gilt als Bedingung erster Ordnung \(\nabla f=0\).
Frage 2Nicht beantwortet
Welche Art von Punkt ist \((0,0)\) für \(f(x,y)=x^2+y^2\)?
Richtige Antwort: A. Lokales Minimum
Erklärung: Die Funktion ist nichtnegativ und nur im Ursprung gleich \(0\).
Frage 3Nicht beantwortet
Welche Art von Punkt ist \((0,0)\) für \(f(x,y)=x^2-y^2\)?
Richtige Antwort: D. Sattelpunkt
Erklärung: Entlang der \(x\)-Achse ist die Funktion positiv, entlang der \(y\)-Achse negativ.
Frage 4Nicht beantwortet
Wenn die Hesse-Matrix an einem kritischen Punkt positiv definit ist, was deutet das an?
Richtige Antwort: B. Striktes lokales Minimum
Erklärung: Eine positiv definite Hesse-Matrix liefert ein striktes lokales Minimum.
Frage 5Nicht beantwortet
Wenn die Hesse-Matrix an einem kritischen Punkt negativ definit ist, was deutet das an?
Richtige Antwort: C. Striktes lokales Maximum
Erklärung: Eine negativ definite Hesse-Matrix liefert ein striktes lokales Maximum.
Frage 6Nicht beantwortet
Wenn die Hesse-Matrix an einem kritischen Punkt indefinit ist, worauf deutet das normalerweise hin?
Richtige Antwort: A. Sattelpunkt
Erklärung: Eine indefinite Hesse-Matrix bedeutet, dass die Funktion in manchen Richtungen nach oben und in anderen nach unten gekrümmt ist.
Frage 7Nicht beantwortet
Was ist für \(z=f(x,y)\) die Tangentialebene bei \((a,b)\)?
Richtige Antwort: A. \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
Erklärung: Die lineare Approximation verwendet den Funktionswert und die beiden ersten partiellen Ableitungen.
Frage 8Nicht beantwortet
Was sagen Lagrange-Multiplikatoren an einem Extremum von \(f\) unter der Nebenbedingung \(g=c\)?
Richtige Antwort: B. \(\nabla f=\lambda\nabla g\)
Erklärung: An regulären eingeschränkten Extrema sind die Gradienten parallel.
Frage 9Nicht beantwortet
Wenn \(f\) stetig auf einer kompakten Menge ist, dann:
Richtige Antwort: D. Nimmt ein Maximum und ein Minimum an
Erklärung: Der Extremwertsatz garantiert sowohl ein Maximum als auch ein Minimum.
Frage 10Nicht beantwortet
Welche Art von Punkt ist \((0,0)\) für \(f(x,y)=xy\)?
Richtige Antwort: C. Sattelpunkt
Erklärung: Entlang \(y=x\) gilt \(f=x^2\); entlang \(y=-x\) gilt \(f=-x^2\).
