क्रांतिक बिंदु प्रत्याशी होते हैं, अपने-आप चरम नहीं

मुख्य विचार

अवकलनीय अदिश फलन \(f(x,y)\) के लिए भीतरी स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम को \(\nabla f(a,b)=(0,0)\) संतुष्ट करना चाहिए। यह शर्त आवश्यक है, पर्याप्त नहीं: \(x^2-y^2\) और \(xy\), दोनों के मूल पर क्रांतिक बिंदु हैं, लेकिन वे काठी हैं।

पहचान सूची

• जाँचें कि बिंदु क्षेत्र के अंदर है, केवल सीमा पर नहीं।
• \(f_x\) और \(f_y\) निकालें।
• तंत्र \(f_x=0,\ f_y=0\) हल करें।
• वे बिंदु भी जोड़ें जहां अवकलज विफल हों लेकिन फलन क्षेत्र में हो।
• हर प्रत्याशी को हेसियन, चिह्नों या सीमा तुलना से वर्गीकृत करें।

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स्पर्श तल प्रथम-क्रम मॉडल होते हैं

मुख्य विचार

यदि \(f\), \((a,b)\) पर अवकलनीय है, तो \(z=f(x,y)\) का स्पर्श तल है \[z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).\] समान रूप से, \(f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k\)।

स्पर्श-तल के रूप

• ग्राफ \(z=f(x,y)\) के लिए आधार बिंदु पर मान और दो प्रथम आंशिक अवकलज निकालें।
• उस ग्राफ का अभिलंब सदिश \((f_x(a,b),f_y(a,b),-1)\) है; विपरीत सदिश भी अभिलंब है।
• यदि \(\nabla f(a,b)=0\), तो ग्राफ का स्पर्श तल क्षैतिज है: \(z=f(a,b)\)।
• अंतर्निहित पृष्ठ \(F(x,y,z)=0\) के लिए अभिलंब सदिश \(\nabla F(a,b,c)\) है, जब वह अशून्य हो।
• स्पर्श तल स्थानीय निकटन है, वैश्विक समानता नहीं, जब तक फलन पहले से स्थानांतरित रैखिक न हो।

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हेसियन स्थानीय द्विघात आकार बताता है

मुख्य विचार

\(C^2\) फलन \(f(x,y)\) के क्रांतिक बिंदु पर द्वितीय-क्रम टेलर भाग हेसियन से नियंत्रित होता है। दो चरों में सारणिक \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) सामान्य धनात्मक निश्चित, ऋणात्मक निश्चित, अनिश्चित और अनिर्णायक स्थितियों को अलग करता है।

दो-चर परीक्षण नियम

• यदि \(D>0\) और \(f_{xx}>0\), तो बिंदु कड़ा स्थानीय न्यूनतम है।
• यदि \(D>0\) और \(f_{xx}<0\), तो बिंदु कड़ा स्थानीय अधिकतम है।
• यदि \(D<0\), तो हेसियन अनिश्चित है और बिंदु काठी है।
• यदि \(D=0\), तो परीक्षण अनिर्णायक है।

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आइगेनमानों के चिह्न किसी भी आयाम में वही स्थानीय आकार बताते हैं

मुख्य विचार

क्रांतिक बिंदु पर धनात्मक निश्चित हेसियन कड़ा स्थानीय न्यूनतम देता है, ऋणात्मक निश्चित हेसियन कड़ा स्थानीय अधिकतम देता है, और अनिश्चित हेसियन काठी देता है। सममित हेसियन के लिए इसे आइगेनमानों के चिह्नों से पढ़ा जा सकता है: सभी धनात्मक, सभी ऋणात्मक या मिश्रित चिह्न।

चिह्नों के रूप

• हेसियन के सभी आइगेनमान धनात्मक: धनात्मक निश्चित।
• हेसियन के सभी आइगेनमान ऋणात्मक: ऋणात्मक निश्चित।
• हेसियन के धनात्मक और ऋणात्मक दोनों आइगेनमान: अनिश्चित।
• शून्य आइगेनमान: द्विघात परीक्षण अनिर्णायक हो सकता है और उच्च-क्रम पद निर्णय कर सकते हैं।

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जब हेसियन परीक्षण मौन हो, फलन को सीधे जाँचें

मुख्य विचार

कथन \(D=0\) का अर्थ है कि मानक दो-चर द्वितीय अवकलज परीक्षण कोई वर्गीकरण नहीं देता। इसका अर्थ न्यूनतम, अधिकतम या काठी नहीं है। सरल पथों पर \(f(x,y)-f(a,b)\) के चिह्न देखें, या बीजगणितीय गुणनखंडन और उच्च-क्रम पदों का उपयोग करें।

जब परीक्षण काम न करे तो क्या करें

• निर्देशांक अक्ष और \(y=x\), \(y=-x\) जैसी सरल रेखाएं जाँचें।
• ऐसे व्यंजक खोजें जो हमेशा अऋणात्मक या हमेशा अधनात्मक हों।
• याद रखें कि स्थानीय न्यूनतम अकड़ा भी हो सकता है, जैसे \(f(x,y)=x^2\)।
• यदि अलग-अलग पथ \(f(a,b)\) के दोनों ओर मान देते हैं, तो बिंदु काठी है।

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वैश्विक चरम के लिए क्षेत्र के हर हिस्से से प्रत्याशी चाहिए

मुख्य विचार

\(g(x,y)=c\) से प्रतिबंधित \(f\) के लिए, नियमित प्रतिबंधित चरम \(\nabla f=\lambda\nabla g\) संतुष्ट करता है। नियमित शब्द महत्वपूर्ण है: प्रत्याशी पर \(\nabla g≠0\) होना चाहिए। संहत समुच्चय पर वैश्विक चरम के लिए सभी भीतरी प्रत्याशी, सीमा प्रत्याशी और सभी कोने या विलक्षण बिंदु तुलना में शामिल करें।

वैश्विक चरम की प्रक्रिया

• भीतरी अवकलनीय प्रत्याशियों के लिए \(\nabla f=0\) का उपयोग करें।
• जहां संभव हो, सरल सीमाओं का पैरामीकरण करें।
• चिकने नियमित प्रतिबंध भागों पर लाग्रांज गुणक लगाएं।
• अंतबिंदु, कोने और वे बिंदु जाँचें जहां प्रतिबंध नियमित नहीं है।
• हर प्रत्याशी पर \(f\) का मान निकालें और वैश्विक चरम के लिए मानों की तुलना करें।

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अधिकतर गलतियां सही परीक्षण को गलत स्थिति में लगाने से आती हैं

सामान्य गलतियां

• ग्रेडिएंट शून्य वर्गीकरण नहीं है: यह केवल प्रत्याशी खोजता है।
• स्पर्श तल स्थानीय है: यह आधार बिंदु के पास ग्राफ का निकटन करता है।
• \(D=0\) अनिर्णायक है: चिह्न जाँचें या उच्च-क्रम पद इस्तेमाल करें।
• सीमा बिंदु महत्वपूर्ण हैं: वैश्विक चरम वहां भी हो सकता है जहां \(\nabla f≠0\)।
• संहतता महत्वपूर्ण है: असंहत समुच्चयों पर सतत फलन चरम प्राप्त करे, यह जरूरी नहीं।
• नियमितता महत्वपूर्ण है: लाग्रांज गुणक के लिए प्रतिबंध का ग्रेडिएंट अशून्य होना चाहिए।

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अंतिम सारांश

• भीतरी अवकलनीय स्थानीय चरमों को \(\nabla f=0\) संतुष्ट करना चाहिए।
• \(z=f(x,y)\) का स्पर्श तल \(f(a,b)\), \(f_x(a,b)\), और \(f_y(a,b)\) का उपयोग करता है; ग्राफ का अभिलंब \((f_x,f_y,-1)\) है।
• दो चरों में \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) अनअपजात क्रांतिक बिंदुओं को वर्गीकृत करता है।
• धनात्मक निश्चित हेसियन का अर्थ कड़ा स्थानीय न्यूनतम है; ऋणात्मक निश्चित का अर्थ कड़ा स्थानीय अधिकतम है; अनिश्चित का अर्थ काठी है।
• \(D=0\) या शून्य हेसियन के लिए प्रत्यक्ष चिह्न या उच्च-क्रम विश्लेषण चाहिए।
• प्रतिबंधित चरम के लिए \(\nabla f=\lambda\nabla g\) को केवल नियमित प्रतिबंध भागों पर लगाएं।
• संहत समुच्चयों पर वैश्विक चरम के लिए हर भीतरी, सीमा, कोने और विलक्षण प्रत्याशी का मान निकालकर तुलना करें।