Puntos críticos, planos tangentes y extremos locales
Cuestionario de práctica de puntos críticos, planos tangentes y extremos locales con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario más abajo en la página para practicar la forma local multivariable: encontrar puntos críticos a partir de \(\nabla f=0\), escribir planos tangentes, linealizaciones y vectores normales, aplicar el determinante hessiano de dos variables \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\), clasificar hessianas definidas positivas, definidas negativas e indefinidas, manejar casos inconclusos con \(D=0\), comprobar extremos de frontera y de conjuntos compactos, y usar multiplicadores de Lagrange para restricciones regulares. Abre la lección para ver ejemplos resueltos breves y comprobaciones rápidas.
Responde la serie de preguntas y revisa tus errores al final.
Cómo funciona esta práctica de extremos locales
1. Haz la serie de práctica: responde preguntas sobre gradientes, planos tangentes, hessianas, extremos con restricciones y compacidad.
2. Abre la lección: repasa las definiciones, pruebas de reconocimiento, ejemplos resueltos y comprobaciones breves.
3. Vuelve a intentarlo: regresa al cuestionario y decide primero si el problema pide un punto, un plano, una clasificación o una comparación global.
Lo que aprenderás en la lección de puntos críticos, planos tangentes y extremos locales
Puntos críticos y pruebas de primer orden
Extremos diferenciables interiores: \(\nabla f(a)=0\) es necesario
Punto crítico: gradiente cero o información derivada no disponible en el dominio
Resuelve \(f_x=0\) y \(f_y=0\), luego clasifica en vez de suponer un extremo
Planos tangentes y linealización
Plano tangente a una gráfica: \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
Linealización: usa el cambio de primer orden \(\nabla f(a)\cdot h\)
Vectores normales: una gráfica \(z=f(x,y)\) tiene normal \((f_x,f_y,-1)\), mientras que una superficie de nivel \(F=c\) tiene normal \(\nabla F\)
Clasificación con la hessiana
Hessiana definida positiva: mínimo local estricto
Hessiana definida negativa: máximo local estricto
Hessiana indefinida: punto de silla; \(D=0\) es inconcluso
Extremos globales y con restricciones
Compacidad: una función continua en un conjunto compacto alcanza un máximo y un mínimo
Procedimiento de frontera: compara puntos críticos interiores, candidatos de frontera y esquinas o puntos singulares
Multiplicadores de Lagrange: en extremos con restricción regular, \(\nabla f=\lambda\nabla g\)
Lección de puntos críticos, planos tangentes y extremos locales
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Resumen de la lección
Propósito: Construir un procedimiento fiable para la forma local en dos o más variables: encontrar puntos críticos, escribir planos tangentes, clasificar mínimos locales, máximos locales y puntos de silla, manejar casos planos o degenerados, y comparar candidatos en dominios con restricciones o compactos.
Criterios de éxito
Enunciar la condición necesaria de primer orden para un extremo local interior diferenciable.
Encontrar puntos críticos resolviendo \(f_x=0\) y \(f_y=0\).
Escribir el plano tangente a \(z=f(x,y)\) en \((a,b)\).
Encontrar vectores normales para planos tangentes a gráficas y superficies de nivel.
Usar \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) para clasificar puntos críticos ordinarios de dos variables.
Leer la definitud de la hessiana a partir de signos o valores propios.
Reconocer por qué \(D=0\) es inconcluso y probar signos a lo largo de curvas cuando haga falta.
Usar compacidad y comprobaciones de frontera para extremos globales.
Aplicar \(\nabla f=\lambda\nabla g\) solo en candidatos con restricción regular.
Vocabulario clave
Punto crítico: un punto donde \(\nabla f=0\) o donde no está disponible la información derivada necesaria para la prueba.
Plano tangente: el modelo afín de primer orden de una gráfica diferenciable \(z=f(x,y)\).
Hessiana: la matriz de segundas derivadas parciales.
Definida positiva: la forma cuadrática es positiva en toda dirección no nula.
Punto de silla: cerca del punto aparecen valores tanto por encima como por debajo del valor en el punto.
Restricción regular: una restricción \(g=c\) con \(\nabla g≠ 0\) en el candidato.
Comprobación rápida previa
Comprobación previa: En un extremo local interior de una función diferenciable \(f(x,y)\), ¿qué debe cumplirse?
Pista: Un extremo interior diferenciable tiene cambio de primer orden cero en todas las direcciones.
Los puntos críticos son candidatos, no extremos automáticos
Objetivo de aprendizaje: Encontrar los puntos candidatos donde pueden ocurrir extremos locales o puntos de silla, y luego mantener separadas la búsqueda y la clasificación.
Idea clave
Para una función escalar diferenciable \(f(x,y)\), un máximo o mínimo local interior debe satisfacer \(\nabla f(a,b)=(0,0)\). Esta condición es necesaria, no suficiente: \(x^2-y^2\) y \(xy\) tienen puntos críticos en el origen, pero son puntos de silla.
Lista de reconocimiento
Comprueba que el punto esté dentro del dominio, no solo en una frontera.
Calcula \(f_x\) y \(f_y\).
Resuelve el sistema \(f_x=0,\ f_y=0\).
Añade cualquier punto donde fallen las derivadas pero la función siga estando en el dominio.
Clasifica cada candidato usando hessianas, signos o comparaciones de frontera.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Encuentra el punto crítico de \(f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y\).
El gradiente es \(\nabla f=(2x-2,2y+4)\). Al igualar ambas componentes a cero se obtiene \(x=1\) y \(y=-2\), así que el único punto crítico es \((1,-2)\). Su hessiana es \(2I\), por lo que es un mínimo local estricto.
Inténtalo
Inténtalo: Para \(f(x,y)=x^2+y^2-4y\), ¿dónde está el punto crítico?
Pista: \(\nabla f=(2x,2y-4)\).
Los planos tangentes son modelos de primer orden
Objetivo de aprendizaje: Usar derivadas parciales de primer orden para construir la aproximación afín local de una gráfica o superficie de nivel.
Idea clave
Si \(f\) es diferenciable en \((a,b)\), entonces el plano tangente a \(z=f(x,y)\) es \[z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).\] De forma equivalente, \(f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k\).
Patrones de planos tangentes
Para una gráfica \(z=f(x,y)\), calcula el valor y las dos primeras parciales en el punto base.
Un vector normal a esa gráfica es \((f_x(a,b),f_y(a,b),-1)\); el vector opuesto también es normal.
Si \(\nabla f(a,b)=0\), el plano tangente a la gráfica es horizontal: \(z=f(a,b)\).
Para una superficie implícita \(F(x,y,z)=0\), el vector normal es \(\nabla F(a,b,c)\) cuando no es nulo.
Un plano tangente es una aproximación local, no una igualdad global salvo que la función ya sea afín.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Escribe el plano tangente a \(z=x^2+y\) en \((1,2)\).
Aquí \(f(1,2)=3\), \(f_x=2x\), así que \(f_x(1,2)=2\), y \(f_y=1\). Por tanto \[z=3+2(x-1)+(y-2).\] La aproximación lineal correspondiente es \(f(1+h,2+k)\approx3+2h+k\).
Inténtalo
Inténtalo: Para \(z=x^2+y^2\), ¿cuál es el plano tangente en \((0,0)\)?
Pista: En el origen, el valor y ambas primeras parciales son \(0\).
La hessiana describe la forma cuadrática local
Objetivo de aprendizaje: Usar \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) para clasificar puntos críticos no degenerados de dos variables.
Idea clave
En un punto crítico de una función \(C^2\) \(f(x,y)\), la parte de Taylor de segundo orden está controlada por la hessiana. En dos variables, el determinante \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) separa los casos habituales: definida positiva, definida negativa, indefinida e inconcluso.
Reglas de la prueba en dos variables
Si \(D>0\) y \(f_{xx}>0\), el punto es un mínimo local estricto.
Si \(D>0\) y \(f_{xx}<0\), el punto es un máximo local estricto.
Si \(D<0\), la hessiana es indefinida y el punto es de silla.
Si \(D=0\), la prueba es inconclusa.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Clasifica el origen para \(f(x,y)=x^2+xy+y^2\).
El origen es crítico. Aquí \(f_{xx}=2\), \(f_{yy}=2\) y \(f_{xy}=1\), así que \(D=2\cdot2-1^2=3>0\). Como \(f_{xx}>0\), el origen es un mínimo local estricto.
Inténtalo
Inténtalo: Si \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0\) en un punto crítico, ¿qué da la prueba?
Pista: Un determinante negativo significa que la hessiana curva hacia arriba en algunas direcciones y hacia abajo en otras.
Los signos de los valores propios dan la misma forma local en cualquier dimensión
Objetivo de aprendizaje: Leer el comportamiento local a partir de la definitud de la hessiana, especialmente más allá de dos variables.
Idea clave
En un punto crítico, una hessiana definida positiva da un mínimo local estricto, una hessiana definida negativa da un máximo local estricto y una hessiana indefinida da un punto de silla. Para hessianas simétricas, esto puede leerse a partir de los signos de los valores propios: todos positivos, todos negativos o signos mezclados.
Patrones de signos
Todos los valores propios de la hessiana positivos: definida positiva.
Todos los valores propios de la hessiana negativos: definida negativa.
Valores propios de la hessiana positivos y negativos: indefinida.
Valores propios cero: la prueba cuadrática puede ser inconclusa y los términos de orden superior pueden decidir.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Supón que un punto crítico tiene valores propios de la hessiana \(-2\) y \(5\). ¿Qué tipo de punto sugiere?
Los signos están mezclados, así que la hessiana es indefinida. La aproximación cuadrática tiene direcciones positivas y negativas, por lo que el punto crítico es un punto de silla.
Inténtalo
Inténtalo: Si los valores propios de la hessiana en un punto crítico son \(2\) y \(5\), ¿qué indica la prueba de segundo orden?
Pista: Ambos valores propios son positivos.
Cuando la prueba de la hessiana no decide, analiza la función directamente
Objetivo de aprendizaje: Manejar casos con \(D=0\) o hessiana cero sin afirmar más de lo que la prueba permite.
Idea clave
La condición \(D=0\) significa que la prueba estándar de la segunda derivada en dos variables no da clasificación. No significa mínimo, máximo ni punto de silla. Observa los signos de \(f(x,y)-f(a,b)\) a lo largo de trayectorias sencillas, o usa factorización algebraica y términos de orden superior.
Qué hacer cuando la prueba falla
Comprueba los ejes coordenados y rectas simples como \(y=x\) e \(y=-x\).
Busca expresiones que sean siempre no negativas o siempre no positivas.
Recuerda que un mínimo local puede ser no estricto, como en \(f(x,y)=x^2\).
Si distintas trayectorias dan valores a ambos lados de \(f(a,b)\), el punto es de silla.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Clasifica el origen para \(f(x,y)=x^4-y^4\).
La hessiana en el origen es la matriz cero, así que la prueba cuadrática es inconclusa. A lo largo del eje \(x\), \(f(x,0)=x^4>0\) para \(x≠0\). A lo largo del eje \(y\), \(f(0,y)=-y^4<0\) para \(y≠0\). Aparecen valores a ambos lados de \(0\), por lo que el origen es un punto de silla.
Inténtalo
Inténtalo: Para \(f(x,y)=x^2\), ¿qué es el origen?
Pista: \(x^2\ge0\), pero la función vale \(0\) en todo el eje \(y\).
Los extremos globales requieren candidatos de cada parte del dominio
Objetivo de aprendizaje: Combinar puntos críticos interiores, comprobaciones de frontera, compacidad y multiplicadores de Lagrange.
Idea clave
Para \(f\) restringida por \(g(x,y)=c\), un extremo con restricción regular satisface \(\nabla f=\lambda\nabla g\). La palabra regular importa: \(\nabla g≠0\) en el candidato. Para extremos globales en un conjunto compacto, compara todos los candidatos interiores, candidatos de frontera y cualquier esquina o punto singular.
Procedimiento para extremos globales
Usa \(\nabla f=0\) para candidatos interiores diferenciables.
Parametriza fronteras sencillas cuando sea posible.
Usa multiplicadores de Lagrange en piezas de restricción suaves y regulares.
Comprueba extremos, esquinas y puntos donde la restricción no sea regular.
Evalúa \(f\) en cada candidato y compara valores para extremos globales.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Encuentra el máximo y el mínimo de \(f(x,y)=x\) en \(x^2+y^2=1\).
En el círculo unitario, la mayor coordenada \(x\) posible es \(1\) y la menor es \(-1\). Los multiplicadores de Lagrange dan los mismos candidatos: \((1,0)\) da valor máximo \(1\), y \((-1,0)\) da valor mínimo \(-1\). Para el producto relacionado \(xy\) en el mismo círculo, los candidatos diagonales dan valor máximo \(1/2\).
Inténtalo
Inténtalo: En un extremo con restricción regular de \(f\) sujeto a \(g=c\), ¿qué condición debe cumplirse?
Pista: En un extremo con restricción regular, los dos gradientes son paralelos.
La mayoría de los errores vienen de usar la prueba correcta en el contexto equivocado
Objetivo de aprendizaje: Terminar con un procedimiento compacto y evitar las conclusiones falsas más comunes.
Errores comunes
Gradiente cero no es clasificación: solo encuentra candidatos.
El plano tangente es local: aproxima la gráfica cerca del punto base.
\(D=0\) es inconcluso: prueba signos o usa términos de orden superior.
Los puntos de frontera importan: los extremos globales pueden ocurrir donde \(\nabla f≠0\).
La compacidad importa: las funciones continuas en conjuntos no compactos no necesariamente alcanzan extremos.
La regularidad importa: los multiplicadores de Lagrange requieren gradiente de restricción no nulo.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Encuentra extremos globales de \(f(x,y)=x^2+y^2\) en el disco \(x^2+y^2\le1\).
El punto crítico interior es \((0,0)\), donde \(f=0\), lo que da el mínimo global. En la frontera \(x^2+y^2=1\), la función vale \(1\), así que cada punto de frontera da el valor máximo global \(1\).
Inténtalo
Inténtalo: Si \(f\) es continua en un conjunto compacto, ¿qué está garantizado?
Pista: Este es el teorema del valor extremo.
Repaso final
Los extremos locales interiores diferenciables deben satisfacer \(\nabla f=0\).
El plano tangente a \(z=f(x,y)\) usa \(f(a,b)\), \(f_x(a,b)\) y \(f_y(a,b)\); un vector normal a la gráfica es \((f_x,f_y,-1)\).
En dos variables, \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) clasifica puntos críticos no degenerados.
Hessiana definida positiva significa mínimo local estricto; definida negativa significa máximo local estricto; indefinida significa punto de silla.
\(D=0\) o hessiana cero requiere análisis directo de signos o de orden superior.
Para extremos con restricciones, usa \(\nabla f=\lambda\nabla g\) solo en piezas de restricción regulares.
Para extremos globales en conjuntos compactos, evalúa y compara cada candidato interior, de frontera, de esquina y singular.
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar el cuestionario. Primero identifica si la pregunta pide un punto crítico, un plano tangente, una clasificación local, una condición con restricción o una comparación global.
Serie de práctica
Preguntas de práctica de Critical Points, Tangent Planes & Local Extrema con puntuación instantánea
Responde las 10 preguntas de abajo y recibe tu puntuación final con una revisión de errores para saber exactamente qué mejorar.
0/10respondidas
Pregunta 1Sin responder
En un extremo local interior de una función diferenciable \(f(x,y)\), ¿qué debe cumplirse?
Respuesta correcta: D. \(\nabla f=0\)
Explicación: En un extremo interior, la condición de primer orden es \(\nabla f=0\).
Pregunta 2Sin responder
¿Qué tipo de punto es \((0,0)\) para \(f(x,y)=x^2+y^2\)?
Respuesta correcta: A. Mínimo local
Explicación: La función es no negativa e igual a \(0\) solo en el origen.
Pregunta 3Sin responder
¿Qué tipo de punto es \((0,0)\) para \(f(x,y)=x^2-y^2\)?
Respuesta correcta: D. Punto de silla
Explicación: La función es positiva sobre el eje \(x\) y negativa sobre el eje \(y\).
Pregunta 4Sin responder
Si la hessiana en un punto crítico es definida positiva, ¿qué sugiere?
Respuesta correcta: B. Mínimo local estricto
Explicación: Una hessiana definida positiva da un mínimo local estricto.
Pregunta 5Sin responder
Si la hessiana en un punto crítico es definida negativa, ¿qué sugiere?
Respuesta correcta: C. Máximo local estricto
Explicación: Una hessiana definida negativa da un máximo local estricto.
Pregunta 6Sin responder
Si la hessiana en un punto crítico es indefinida, ¿qué suele indicar?
Respuesta correcta: A. Punto de silla
Explicación: Una hessiana indefinida significa que la función se curva hacia arriba en algunas direcciones y hacia abajo en otras.
Pregunta 7Sin responder
Para \(z=f(x,y)\), ¿cuál es el plano tangente en \((a,b)\)?
Respuesta correcta: A. \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
Explicación: La aproximación lineal usa el valor y las dos derivadas parciales primeras.
Pregunta 8Sin responder
En un extremo restringido de \(f\) sujeto a \(g=c\), los multiplicadores de Lagrange dicen:
Respuesta correcta: B. \(\nabla f=\lambda\nabla g\)
Explicación: Los gradientes son paralelos en extremos restringidos regulares.
Pregunta 9Sin responder
Si \(f\) es continua en un conjunto compacto, entonces \(f\):
Respuesta correcta: D. Alcanza un máximo y un mínimo
Explicación: El teorema de los valores extremos garantiza ambos extremos.
Pregunta 10Sin responder
Para \(f(x,y)=xy\), ¿qué tipo de punto es \((0,0)\)?
Respuesta correcta: C. Punto de silla
Explicación: Sobre \(y=x\), \(f=x^2\); sobre \(y=-x\), \(f=-x^2\).
