Points critiques, plans tangents et extrema locaux
Quiz d’entraînement sur les points critiques, les plans tangents et les extrema locaux avec une leçon interactive pas à pas
Utilisez la série de questions plus bas sur la page pour vous entraîner au comportement local en calcul multivariable : trouver les points critiques à partir de \(\nabla f=0\), écrire des plans tangents et des linéarisations, appliquer le déterminant hessien à deux variables \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\), classer les hessiens définis positifs, définis négatifs et indéfinis, traiter les cas non concluants \(D=0\), vérifier les extrema sur le bord et sur les ensembles compacts, et utiliser les multiplicateurs de Lagrange pour les contraintes régulières. Ouvrez la leçon pour de courts exemples corrigés et des vérifications rapides.
Répondez à la série de questions et révisez vos erreurs à la fin.
Comment fonctionne cet entraînement sur les extrema locaux
1. Faites la série de questions : répondez aux questions sur les gradients, les plans tangents, les hessiens, les extrema sous contrainte et la compacité.
2. Ouvrez la leçon : revoyez les définitions, les tests de reconnaissance, les exemples corrigés et les questions de vérification à réponse unique.
3. Réessayez : revenez à la série de questions et décidez d’abord si le problème demande un point, un plan, une classification ou une comparaison globale.
Ce que vous allez apprendre dans la leçon sur les points critiques, les plans tangents et les extrema locaux
Points critiques et tests du premier ordre
Extrema intérieurs différentiables : \(\nabla f(a)=0\) est nécessaire
Point critique : gradient nul ou informations de dérivée indisponibles dans le domaine
Résoudre \(f_x=0\) et \(f_y=0\), puis classer au lieu de supposer un extremum
Plans tangents et linéarisation
Plan tangent au graphe : \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
Linéarisation : utiliser la variation du premier ordre \(\nabla f(a)\cdot h\)
Vecteurs normaux : un graphe \(z=f(x,y)\) a pour vecteur normal \((f_x,f_y,-1)\), tandis qu’une surface de niveau \(F=c\) a pour vecteur normal \(\nabla F\)
Classification par le hessien
Hessien défini positif : minimum local strict
Hessien défini négatif : maximum local strict
Hessien indéfini : point selle ; \(D=0\) est non concluant
Extrema globaux et sous contrainte
Compacité : une fonction continue sur un ensemble compact atteint un maximum et un minimum
Méthode pour le bord : comparer les points critiques intérieurs, les candidats du bord, et les coins ou points singuliers
Multiplicateurs de Lagrange : aux extrema sous contrainte réguliers, \(\nabla f=\lambda\nabla g\)
Leçon sur les points critiques, les plans tangents et les extrema locaux
1 / 8
Vue d’ensemble de la leçon
Objectif : construire une méthode fiable pour étudier le comportement local en deux variables ou plus : trouver les points critiques, écrire les plans tangents, classer les minima locaux, maxima locaux et points selle, traiter les cas plats ou dégénérés, et comparer les candidats sur des domaines sous contrainte ou compacts.
Critères de réussite
Énoncer la condition nécessaire du premier ordre pour un extremum local intérieur différentiable.
Trouver les points critiques en résolvant \(f_x=0\) et \(f_y=0\).
Écrire le plan tangent à \(z=f(x,y)\) en \((a,b)\).
Trouver des vecteurs normaux pour les plans tangents aux graphes et aux surfaces de niveau.
Utiliser \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) pour classer les points critiques ordinaires à deux variables.
Lire le caractère défini du hessien à partir des signes ou des valeurs propres.
Reconnaître pourquoi \(D=0\) est non concluant et tester les signes le long de courbes si nécessaire.
Utiliser la compacité et les vérifications de bord pour les extrema globaux.
Appliquer \(\nabla f=\lambda\nabla g\) seulement aux candidats sous contrainte réguliers.
Vocabulaire clé
Point critique : point où \(\nabla f=0\) ou où les informations sur les dérivées nécessaires au test ne sont pas disponibles.
Plan tangent : modèle affine du premier ordre du graphe différentiable \(z=f(x,y)\).
Hessien : matrice des dérivées partielles secondes.
Défini positif : la forme quadratique est positive dans toute direction non nulle.
Point selle : des valeurs voisines se trouvent à la fois au-dessus et au-dessous de la valeur au point.
Contrainte régulière : contrainte \(g=c\) avec \(\nabla g≠ 0\) au candidat.
Vérification rapide initiale
Vérification initiale : En un extremum local intérieur d’une fonction différentiable \(f(x,y)\), que doit-on avoir ?
Indice : un extremum intérieur différentiable a une variation du premier ordre nulle dans toutes les directions.
Les points critiques sont des candidats, pas automatiquement des extrema
Objectif d’apprentissage : trouver les points candidats où des extrema locaux ou des points selle peuvent apparaître, puis séparer la classification de la recherche.
Idée clé
Pour une fonction scalaire différentiable \(f(x,y)\), un maximum ou un minimum local intérieur doit satisfaire \(\nabla f(a,b)=(0,0)\). Cette condition est nécessaire, pas suffisante : \(x^2-y^2\) et \(xy\) ont tous deux des points critiques à l’origine, mais ce sont des points selle.
Liste de reconnaissance
Vérifiez que le point est à l’intérieur du domaine, pas seulement sur un bord.
Calculez \(f_x\) et \(f_y\).
Résolvez le système \(f_x=0,\ f_y=0\).
Ajoutez les points où les dérivées n’existent pas mais où la fonction est encore définie.
Classez chaque candidat avec les hessiens, les signes ou les comparaisons de bord.
Exemple corrigé
Exemple : Trouvez le point critique de \(f(x,y)=x^2+y^2-2x+4y\).
Le gradient est \(\nabla f=(2x-2,2y+4)\). En annulant ses deux composantes, on obtient \(x=1\) et \(y=-2\), donc le seul point critique est \((1,-2)\). Son hessien est \(2I\), donc c’est un minimum local strict.
À vous
À vous : Pour \(f(x,y)=x^2+y^2-4y\), où est le point critique ?
Indice : \(\nabla f=(2x,2y-4)\).
Les plans tangents sont des modèles du premier ordre
Objectif d’apprentissage : utiliser les dérivées partielles premières pour construire l’approximation affine locale d’un graphe ou d’une surface de niveau.
Idée clé
Si \(f\) est différentiable en \((a,b)\), alors le plan tangent à \(z=f(x,y)\) est \[z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).\] De façon équivalente, \(f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k\).
Modèles de plans tangents
Pour un graphe \(z=f(x,y)\), calculez la valeur et les deux dérivées partielles premières au point de base.
Un vecteur normal à ce graphe est \((f_x(a,b),f_y(a,b),-1)\) ; le vecteur opposé est aussi normal.
Si \(\nabla f(a,b)=0\), le plan tangent au graphe est horizontal : \(z=f(a,b)\).
Pour une surface implicite \(F(x,y,z)=0\), le vecteur normal est \(\nabla F(a,b,c)\) lorsqu’il est non nul.
Un plan tangent est une approximation locale, pas une égalité globale sauf si la fonction est déjà affine.
Exemple corrigé
Exemple : Écrivez le plan tangent à \(z=x^2+y\) en \((1,2)\).
Ici \(f(1,2)=3\), \(f_x=2x\), donc \(f_x(1,2)=2\), et \(f_y=1\). Ainsi \[z=3+2(x-1)+(y-2).\] La linéarisation correspondante est \(f(1+h,2+k)\approx3+2h+k\).
À vous
À vous : Pour \(z=x^2+y^2\), quel est le plan tangent en \((0,0)\) ?
Indice : à l’origine, la valeur et les deux dérivées partielles premières valent \(0\).
Le hessien indique la forme quadratique locale
Objectif d’apprentissage : utiliser \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) pour classer les points critiques non dégénérés à deux variables.
Idée clé
En un point critique d’une fonction \(C^2\) \(f(x,y)\), la partie de Taylor du second ordre est contrôlée par le hessien. En deux variables, le déterminant \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) sépare les cas usuels : défini positif, défini négatif, indéfini et non concluant.
Règles du test à deux variables
Si \(D>0\) et \(f_{xx}>0\), le point est un minimum local strict.
Si \(D>0\) et \(f_{xx}<0\), le point est un maximum local strict.
Si \(D<0\), le hessien est indéfini et le point est un point selle.
Si \(D=0\), le test est non concluant.
Exemple corrigé
Exemple : Classez l’origine pour \(f(x,y)=x^2+xy+y^2\).
L’origine est critique. Ici \(f_{xx}=2\), \(f_{yy}=2\), et \(f_{xy}=1\), donc \(D=2\cdot2-1^2=3>0\). Comme \(f_{xx}>0\), l’origine est un minimum local strict.
À vous
À vous : Si \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2<0\) en un point critique, que donne le test ?
Indice : un déterminant négatif signifie que le hessien courbe vers le haut dans certaines directions et vers le bas dans d’autres.
Les signes des valeurs propres donnent la même forme locale en toute dimension
Objectif d’apprentissage : lire le comportement local à partir du caractère défini du hessien, surtout au-delà de deux variables.
Idée clé
En un point critique, un hessien défini positif donne un minimum local strict, un hessien défini négatif donne un maximum local strict, et un hessien indéfini donne un point selle. Pour les hessiens symétriques, cela se lit sur les signes des valeurs propres : toutes positives, toutes négatives ou de signes mixtes.
Configurations de signes
Toutes les valeurs propres du hessien sont positives : défini positif.
Toutes les valeurs propres du hessien sont négatives : défini négatif.
Valeurs propres du hessien à la fois positives et négatives : indéfini.
Valeurs propres nulles : le test quadratique peut être non concluant, et les termes d’ordre supérieur peuvent décider.
Exemple corrigé
Exemple : Supposons qu’un point critique ait pour valeurs propres du hessien \(-2\) et \(5\). Quel type de point est suggéré ?
Les signes sont mixtes, donc le hessien est indéfini. L’approximation quadratique a des directions positives et négatives, donc le point critique est un point selle.
À vous
À vous : Si les valeurs propres du hessien en un point critique sont \(2\) et \(5\), qu’indique le test du second ordre ?
Indice : les deux valeurs propres sont positives.
Quand le test du hessien ne dit rien, testez directement la fonction
Objectif d’apprentissage : traiter les cas \(D=0\) ou hessien nul sans conclure trop vite.
Idée clé
L’énoncé \(D=0\) signifie que le test standard de la dérivée seconde à deux variables ne donne aucune classification. Il ne signifie pas minimum, maximum ou point selle. Regardez les signes de \(f(x,y)-f(a,b)\) le long de chemins simples, ou utilisez une factorisation algébrique et les termes d’ordre supérieur.
Que faire quand le test ne conclut pas
Vérifiez les axes de coordonnées et des droites simples comme \(y=x\) et \(y=-x\).
Cherchez des expressions toujours positives ou nulles, ou toujours négatives ou nulles.
Rappelez-vous qu’un minimum local peut être non strict, comme dans \(f(x,y)=x^2\).
Si différents chemins donnent des valeurs des deux côtés de \(f(a,b)\), le point est un point selle.
Exemple corrigé
Exemple : Classez l’origine pour \(f(x,y)=x^4-y^4\).
Le hessien à l’origine est la matrice nulle, donc le test quadratique est non concluant. Sur l’axe des \(x\), \(f(x,0)=x^4>0\) pour \(x≠0\). Sur l’axe des \(y\), \(f(0,y)=-y^4<0\) pour \(y≠0\). Des valeurs apparaissent des deux côtés de \(0\), donc l’origine est un point selle.
À vous
À vous : Pour \(f(x,y)=x^2\), qu’est-ce que l’origine ?
Indice : \(x^2\ge0\), mais la fonction vaut \(0\) sur tout l’axe des \(y\).
Les extrema globaux exigent des candidats venant de chaque partie du domaine
Objectif d’apprentissage : combiner points critiques intérieurs, vérifications de bord, compacité et multiplicateurs de Lagrange.
Idée clé
Pour \(f\) sous la contrainte \(g(x,y)=c\), un extremum sous contrainte régulier satisfait \(\nabla f=\lambda\nabla g\). L’hypothèse de régularité est essentielle : \(\nabla g≠0\) au candidat. Pour les extrema globaux sur un ensemble compact, comparez tous les candidats intérieurs, les candidats du bord, et tous les coins ou points singuliers.
Méthode pour les extrema globaux
Utilisez \(\nabla f=0\) pour les candidats intérieurs différentiables.
Paramétrez les bords simples quand c’est possible.
Utilisez les multiplicateurs de Lagrange sur les morceaux de contrainte lisses et réguliers.
Vérifiez les extrémités, les coins et les points où la contrainte n’est pas régulière.
Évaluez \(f\) en chaque candidat et comparez les valeurs pour les extrema globaux.
Exemple corrigé
Exemple : Trouvez le maximum et le minimum de \(f(x,y)=x\) sur \(x^2+y^2=1\).
Sur le cercle unité, la plus grande coordonnée \(x\) possible est \(1\) et la plus petite est \(-1\). Les multiplicateurs de Lagrange donnent les mêmes candidats : \((1,0)\) donne la valeur maximale \(1\), et \((-1,0)\) donne la valeur minimale \(-1\). Pour le produit associé \(xy\) sur le même cercle, les candidats diagonaux donnent la valeur maximale \(1/2\).
À vous
À vous : En un extremum régulier de \(f\) sous la contrainte \(g=c\), quelle condition doit être vérifiée ?
Indice : en un extremum sous contrainte régulier, les deux gradients sont parallèles.
La plupart des erreurs viennent de l’utilisation du bon test dans le mauvais cadre
Objectif d’apprentissage : terminer avec une méthode compacte et éviter les conclusions fausses courantes.
Pièges courants
Gradient nul ne signifie pas classification : il trouve seulement des candidats.
Le plan tangent est local : il approxime le graphe près du point de base.
\(D=0\) est non concluant : testez les signes ou utilisez les termes d’ordre supérieur.
Les points du bord comptent : des extrema globaux peuvent se produire lorsque \(\nabla f≠0\).
La compacité compte : les fonctions continues sur des ensembles non compacts n’atteignent pas forcément leurs extrema.
La régularité compte : les multiplicateurs de Lagrange exigent un gradient de contrainte non nul.
Exemple corrigé
Exemple : Trouvez les extrema globaux de \(f(x,y)=x^2+y^2\) sur le disque \(x^2+y^2\le1\).
Le point critique intérieur est \((0,0)\), où \(f=0\), ce qui donne le minimum global. Sur le bord \(x^2+y^2=1\), la fonction vaut \(1\), donc chaque point du bord donne la valeur maximale globale \(1\).
À vous
À vous : Si \(f\) est continue sur un ensemble compact, qu’est-ce qui est garanti ?
Indice : c’est le théorème des bornes atteintes.
Résumé final
Les extrema locaux intérieurs différentiables doivent satisfaire \(\nabla f=0\).
Le plan tangent à \(z=f(x,y)\) utilise \(f(a,b)\), \(f_x(a,b)\) et \(f_y(a,b)\) ; un vecteur normal au graphe est \((f_x,f_y,-1)\).
En deux variables, \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) classe les points critiques non dégénérés.
Un hessien défini positif signifie minimum local strict ; défini négatif signifie maximum local strict ; indéfini signifie point selle.
\(D=0\) ou un hessien nul exige une analyse directe des signes ou des termes d’ordre supérieur.
Pour les extrema sous contrainte, utilisez \(\nabla f=\lambda\nabla g\) seulement sur les morceaux de contrainte réguliers.
Pour les extrema globaux sur des ensembles compacts, évaluez et comparez chaque candidat intérieur, de bord, de coin et singulier.
Étape suivante : fermez cette leçon et réessayez le quiz. Identifiez d’abord si la question demande un point critique, un plan tangent, une classification locale, une condition sous contrainte ou une comparaison globale.
Série de pratique
Questions de pratique sur Critical Points, Tangent Planes & Local Extrema avec score instantané
Répondez aux 10 questions ci-dessous, puis obtenez votre score final et une revue des erreurs pour savoir exactement quoi améliorer.
0/10répondues
Question 1Non répondu
À un extremum local intérieur d'une fonction différentiable \(f(x,y)\), que doit-on avoir ?
Bonne réponse : D. \(\nabla f=0\)
Explication : À un extremum intérieur, la condition du premier ordre est \(\nabla f=0\).
Question 2Non répondu
Quel type de point est \((0,0)\) pour \(f(x,y)=x^2+y^2\) ?
Bonne réponse : A. Minimum local
Explication : La fonction est positive ou nulle et vaut \(0\) seulement à l'origine.
Question 3Non répondu
Quel type de point est \((0,0)\) pour \(f(x,y)=x^2-y^2\) ?
Bonne réponse : D. Point selle
Explication : La fonction est positive sur l'axe des \(x\) et négative sur l'axe des \(y\).
Question 4Non répondu
Si la hessienne en un point critique est définie positive, qu'est-ce que cela suggère ?
Bonne réponse : B. Minimum local strict
Explication : Une hessienne définie positive donne un minimum local strict.
Question 5Non répondu
Si la hessienne en un point critique est définie négative, qu'est-ce que cela suggère ?
Bonne réponse : C. Maximum local strict
Explication : Une hessienne définie négative donne un maximum local strict.
Question 6Non répondu
Si la hessienne en un point critique est indéfinie, qu'est-ce que cela indique généralement ?
Bonne réponse : A. Point selle
Explication : Une hessienne indéfinie signifie que la fonction se courbe vers le haut dans certaines directions et vers le bas dans d'autres.
Question 7Non répondu
Pour \(z=f(x,y)\), quel est le plan tangent en \((a,b)\) ?
Bonne réponse : A. \(z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)\)
Explication : L'approximation linéaire utilise la valeur et les deux dérivées partielles premières.
Question 8Non répondu
À un extremum contraint de \(f\) sous la contrainte \(g=c\), les multiplicateurs de Lagrange disent :
Bonne réponse : B. \(\nabla f=\lambda\nabla g\)
Explication : Les gradients sont parallèles aux extrema contraints réguliers.
Question 9Non répondu
Si \(f\) est continue sur un compact, alors \(f\) :
Bonne réponse : D. Atteint un maximum et un minimum
Explication : Le théorème des valeurs extrêmes garantit l'existence des deux extrema.
Question 10Non répondu
Pour \(f(x,y)=xy\), quel type de point est \((0,0)\) ?
Bonne réponse : C. Point selle
Explication : Sur \(y=x\), \(f=x^2\) ; sur \(y=-x\), \(f=-x^2\).
