Критические точки - это кандидаты, а не автоматические экстремумы

Ключевая идея

Для дифференцируемой скалярной функции \(f(x,y)\) внутренний локальный максимум или минимум должен удовлетворять \(\nabla f(a,b)=(0,0)\). Это условие необходимо, но не достаточно: \(x^2-y^2\) и \(xy\) имеют критические точки в начале координат, но это седла.

Контрольный список распознавания

• Проверьте, что точка находится внутри области, а не только на границе.
• Вычислите \(f_x\) и \(f_y\).
• Решите систему \(f_x=0,\ f_y=0\).
• Добавьте точки, где производные не существуют, но сама функция остается в области определения.
• Классифицируйте каждого кандидата с помощью матрицы Гессе, знаков или сравнения на границе.

Разобранный пример

Попробуйте

Касательные плоскости - это модели первого порядка

Ключевая идея

Если \(f\) дифференцируема в \((a,b)\), то касательная плоскость к \(z=f(x,y)\) имеет вид \[z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b).\] Эквивалентно, \(f(a+h,b+k)\approx f(a,b)+f_x(a,b)h+f_y(a,b)k\).

Шаблоны касательной плоскости

• Для графика \(z=f(x,y)\) вычислите значение и две первые частные производные в базовой точке.
• Если \(\nabla f(a,b)=0\), касательная плоскость графика горизонтальна: \(z=f(a,b)\).
• Для неявной поверхности \(F(x,y,z)=0\) нормальный вектор равен \(\nabla F(a,b,c)\), если он ненулевой.
• Касательная плоскость - локальное приближение, а не глобальное равенство, если функция изначально не аффинна.

Разобранный пример

Попробуйте

Матрица Гессе показывает локальную квадратичную форму

Ключевая идея

В критической точке функции \(f(x,y)\) класса \(C^2\) член Тейлора второго порядка задается матрицей Гессе. Для двух переменных определитель \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) разделяет обычные случаи: положительно определенный, отрицательно определенный, неопределенный и неокончательный.

Правила теста для двух переменных

• Если \(D>0\) и \(f_{xx}>0\), точка является строгим локальным минимумом.
• Если \(D>0\) и \(f_{xx}<0\), точка является строгим локальным максимумом.
• Если \(D<0\), матрица Гессе неопределенная, а точка седловая.
• Если \(D=0\), тест не дает вывода.

Разобранный пример

Попробуйте

Знаки собственных значений дают ту же локальную форму в любой размерности

Ключевая идея

В критической точке положительно определенная матрица Гессе дает строгий локальный минимум, отрицательно определенная матрица Гессе дает строгий локальный максимум, а неопределенная матрица Гессе дает седло. Для симметричных матриц Гессе это можно прочитать по знакам собственных значений: все положительные, все отрицательные или смешанные знаки.

Знаковые шаблоны

• Все собственные значения матрицы Гессе положительны: положительно определенная.
• Все собственные значения матрицы Гессе отрицательны: отрицательно определенная.
• Есть и положительные, и отрицательные собственные значения матрицы Гессе: неопределенная.
• Нулевые собственные значения: квадратичный тест может не дать вывода, и тогда решают члены более высокого порядка.

Разобранный пример

Попробуйте

Когда тест матрицы Гессе молчит, проверяйте функцию напрямую

Ключевая идея

Утверждение \(D=0\) означает, что стандартный тест второй производной для двух переменных не дает классификации. Это не означает минимум, максимум или седло. Смотрите на знаки \(f(x,y)-f(a,b)\) вдоль простых путей или используйте алгебраическое разложение и члены более высокого порядка.

Что делать, когда тест не срабатывает

• Проверьте координатные оси и простые прямые, например \(y=x\) и \(y=-x\).
• Ищите выражения, которые всегда неотрицательны или всегда неположительны.
• Помните, что локальный минимум может быть нестрогим, как у \(f(x,y)=x^2\).
• Если разные пути дают значения по обе стороны от \(f(a,b)\), точка является седловой.

Разобранный пример

Попробуйте

Глобальные экстремумы требуют кандидатов из каждой части области

Ключевая идея

Для \(f\), ограниченной условием \(g(x,y)=c\), регулярный условный экстремум удовлетворяет \(\nabla f=\lambda\nabla g\). Слово "регулярный" важно: \(\nabla g≠0\) в кандидате. Для глобальных экстремумов на компактном множестве сравнивайте все внутренние кандидаты, кандидаты на границе, а также углы и особые точки.

Алгоритм для глобальных экстремумов

• Используйте \(\nabla f=0\) для внутренних дифференцируемых кандидатов.
• Параметризуйте простые границы, когда это возможно.
• Используйте множители Лагранжа на гладких регулярных частях ограничения.
• Проверяйте концы, углы и точки, где ограничение нерегулярно.
• Вычислите \(f\) во всех кандидатах и сравните значения для глобальных экстремумов.

Разобранный пример

Попробуйте

Большинство ошибок возникает, когда правильный тест применяют в неправильной ситуации

Типичные ошибки

• Нулевой градиент - не классификация: он только находит кандидатов.
• Касательная плоскость локальна: она приближает график около базовой точки.
• \(D=0\) не дает вывода: проверяйте знаки или используйте члены более высокого порядка.
• Граничные точки важны: глобальные экстремумы могут возникать там, где \(\nabla f≠0\).
• Компактность важна: непрерывные функции на некомпактных множествах не обязаны достигать экстремумов.
• Регулярность важна: множители Лагранжа требуют ненулевого градиента ограничения.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоговое повторение

• Внутренние дифференцируемые локальные экстремумы должны удовлетворять \(\nabla f=0\).
• Касательная плоскость к \(z=f(x,y)\) использует \(f(a,b)\), \(f_x(a,b)\) и \(f_y(a,b)\).
• Для двух переменных \(D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2\) классифицирует невырожденные критические точки.
• Положительно определенная матрица Гессе означает строгий локальный минимум; отрицательно определенная - строгий локальный максимум; неопределенная - седло.
• \(D=0\) или нулевая матрица Гессе требует прямого анализа знаков или членов более высокого порядка.
• Для условных экстремумов используйте \(\nabla f=\lambda\nabla g\) только на регулярных частях ограничения.
• Для глобальных экстремумов на компактных множествах вычисляйте и сравнивайте каждого внутреннего, граничного, углового и особого кандидата.