Cuestionario de práctica de sistemas de ecuaciones con una lección interactiva paso a paso

Graficar sistemas de ecuaciones lineales

Idea clave

Cada ecuación lineal en dos variables se gráfica como una recta. Una solución del sistema es un punto \((x,y)\) que está en ambas rectas. Por eso, la solución es el punto de intersección.

• Se intersectan una vez: una solución (sistema independiente).
• Rectas paralelas: sin solución (sistema inconsistente).
• Misma recta: infinitas soluciones (sistema dependiente).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• La graficación convierte un sistema en dos rectas, y la solución es su intersección.
• Rectas paralelas → sin solución; misma recta → infinitas soluciones.

Resolver sistemas por sustitución

Idea clave

El método de sustitución funciona mejor cuando una ecuación ya está despejada para una variable (o se puede despejar fácilmente). Pasos:

• Despeja \(x\) o \(y\) en una ecuación.
• Sustituye esa expresión en la otra ecuación.
• Resuelve la ecuación resultante de una variable.
• Sustituye hacia atrás para encontrar la otra variable.
• Comprueba en ambas ecuaciones.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• La sustitución reemplaza una variable por una expresión equivalente.
• Siempre sustituye hacia atrás y comprueba el par ordenado en ambas ecuaciones.

Resolver sistemas por eliminación (suma y resta)

Idea clave

El método de eliminación (también llamado suma/resta) es rápido cuando los coeficientes se alinean. Pasos:

• Escribe ambas ecuaciones en una forma compatible (como \(Ax+By=C\)).
• Si hace falta, multiplica una o ambas ecuaciones para crear coeficientes opuestos.
• Suma o resta para eliminar una variable.
• Resuelve la variable restante y luego sustituye hacia atrás.
• Comprueba la solución en ambas ecuaciones.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• La eliminación quita una variable sumando/restando ecuaciones.
• Multiplicar una ecuación está permitido siempre que multipliques cada término.

Una solución, ninguna solución o infinitas soluciones

Idea clave

Cuando eliminas y resuelves, ocurre una de tres cosas:

• Una solución: obtienes un solo par ordenado \((x,y)\).
• Sin solución: obtienes una contradicción como \(0=5\). (Las rectas son paralelas.)
• Infinitas soluciones: obtienes una identidad como \(0=0\). (Misma recta.)

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(0=0\) después de eliminar significa infinitas soluciones (misma recta).
• \(0=\text{valor no nulo}\) después de eliminar significa sin solución (rectas paralelas).

Elige un método y resuelve de forma eficiente

Idea clave

• Graficación: buena para visualizar y comprobar, pero puede ser imprecisa sin calculadora.
• Sustitución: mejor cuando una variable ya está aislada (como \(y=2x+1\)).
• Eliminación: mejor cuando los coeficientes coinciden (o pueden coincidir después de multiplicar).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Elige el método que aprovecha la estructura del sistema (variable aislada → sustitución, coeficientes coincidentes → eliminación).
• Siempre comprueba \((x,y)\) en ambas ecuaciones.

Traducir problemas de palabras a sistemas de ecuaciones

Dónde aparecen los sistemas

• Boletos y dinero: diferentes precios y totales.
• Edades: relaciones de suma y diferencia.
• Geometría: perímetro o área con relaciones entre lados.
• Mezclas: dos componentes se combinan para formar una cantidad total.

Ejemplo resuelto: problema de boletos

Inténtalo

Resumen

• Define las variables con claridad y luego escribe una ecuación para cada relación.
• Después de resolver, comprueba si la respuesta tiene sentido en el contexto.

Comprueba tu solución y conecta las ideas

Cómo comprobar una solución

Para comprobar \((x,y)\), sustituye los valores en ambas ecuaciones. Si ambas ecuaciones son verdaderas, el par ordenado es una solución. Si incluso una es falsa, no es una solución.

Ejemplo resuelto: verificar una solución

Inténtalo

Repaso final

• Graficación: el punto de intersección es la solución.
• Sustitución: reemplaza una variable por una expresión equivalente.
• Eliminación: suma/resta ecuaciones para quitar una variable (multiplica si es necesario).
• Clasificación: una solución (independiente), ninguna solución (inconsistente), infinitas (dependiente).
• Comprobación: sustituye \((x,y)\) en ambas ecuaciones cada vez.