Тренировочный тест по системам уравнений с пошаговым интерактивным уроком
Используйте вопросы ниже на странице, чтобы отрабатывать системы уравнений и системы линейных уравнений: решение линейной системы с двумя переменными для упорядоченной пары \((x,y)\), использование графического метода, метода подстановки и метода исключения (сложение/вычитание), проверку решений подстановкой и определение того, имеет ли система одно решение, нет решений или бесконечно много решений. Вы также потренируете классификации вроде совместная и несовместная, независимая и зависимая системы, а также реальные текстовые задачи с системами уравнений. Если хотите освежить материал, нажмите Начать урок, чтобы открыть пошаговое руководство с разобранными примерами.
Ответьте на набор вопросов и разберите ошибки в конце.
Как устроена тренировка по системам уравнений
1. Выполните набор практики: ответьте на вопросы по системам уравнений ниже на странице.
2. Откройте урок (необязательно): повторите графический метод, подстановку, исключение и классификацию линейных систем.
3. Повторите: вернитесь к набору вопросов и сразу примените стратегии для систем.
Что вы изучите в уроке по системам уравнений
Основы и терминология
Система линейных уравнений и что означает решение \((x,y)\)
Стандартная форма \(Ax+By=C\), форма с угловым коэффициентом и свободным членом, и интерпретация прямых
Совместные / несовместные и независимые / зависимые системы
Графический метод
Построить каждое уравнение и найти точку пересечения
Распознавать параллельные прямые (нет решений) и одну и ту же прямую (бесконечно много решений)
Использовать угловой коэффициент и пересечения с осями, чтобы быстро предсказывать число решений
Методы подстановки и исключения
Метод подстановки: выразить переменную, подставить, затем сделать обратную подстановку
Исключение (сложение/вычитание): сложить или вычесть уравнения, чтобы исключить одну переменную
Умножать уравнения, чтобы создать противоположные коэффициенты и уменьшить ошибки
Применения и проверка решений
Проверять решения, подставляя \((x,y)\) в оба уравнения
Решать текстовые задачи (билеты, возраст, смеси, геометрия) с помощью систем
Интерпретировать ответы в контексте и заранее замечать невозможные результаты
Цель: Сформировать ясное понимание систем уравнений, чтобы вы могли решать системы линейных уравнений с двумя переменными с помощью графического метода, подстановки или исключения и определять, имеет ли система одно решение, нет решений или бесконечно много решений.
Критерии успеха
Объяснять, что такое система уравнений и что значит быть решением \((x,y)\).
Решать систему графически и находить точку пересечения.
Решать систему методом подстановки.
Решать систему методом исключения (сложение/вычитание), включая умножение уравнений при необходимости.
Проверять решение, подставляя его в оба уравнения.
Определять, имеет ли система одно решение, нет решений или бесконечно много решений.
Правильно использовать слова совместная / несовместная и независимая / зависимая.
Моделировать и решать текстовые задачи с помощью систем уравнений.
Ключевые термины
Система уравнений: два (или больше) уравнения с одними и теми же переменными.
Решение: упорядоченная пара \((x,y)\), которая делает оба уравнения истинными.
Линейное уравнение: уравнение, графиком которого является прямая.
Совместная: система имеет хотя бы одно решение.
Несовместная: система не имеет решений.
Независимая: система имеет ровно одно решение (прямые пересекаются один раз).
Зависимая: система имеет бесконечно много решений (уравнения задают одну и ту же прямую).
Подстановка / исключение: распространенные алгебраические методы решения систем.
Быстрая предварительная проверка
Проверка 1: Какая упорядоченная пара \((x,y)\) решает систему \(x + y = 5\) и \(x - y = 1\)?
Подсказка: сложите два уравнения, чтобы исключить \(y\), затем подставьте обратно.
Проверка 2: Сколько решений имеет система \(\begin{cases}2x - 3y = 1\\4x - 6y = 2\end{cases}\)?
Подсказка: второе уравнение - кратное первого, значит они описывают одну и ту же прямую.
Графический метод
Графическое решение систем линейных уравнений
Цель обучения: Строить два линейных уравнения и определять решение как их точку пересечения.
Ключевая идея
Каждое линейное уравнение с двумя переменными задает прямую. Решение системы - это точка \((x,y)\), лежащая на обеих прямых. Поэтому решение - это точка пересечения.
Пересекаются один раз: одно решение (независимая система).
Параллельные прямые: нет решений (несовместная система).
Одна и та же прямая: бесконечно много решений (зависимая система).
Разобранный пример
Пример: Решите систему графически: \(x + 2y = 8\) и \(x - y = 2\).
Перепишите каждое уравнение в форму с угловым коэффициентом. Из \(x + 2y = 8\): \(2y = -x + 8 \Rightarrow y = -\tfrac12 x + 4\). Из \(x - y = 2\): \(-y = 2 - x \Rightarrow y = x - 2\).
Постройте обе прямые. Они пересекаются в \((4,2)\). Проверка: \(4 + 2(2) = 8\) и \(4 - 2 = 2\). Значит решение \((4,2)\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Каково решение \((x,y)\) системы \(3x + y = 8\) и \(x + y = 4\)?
Подсказка: вычтите второе уравнение из первого, чтобы исключить \(y\), затем подставьте обратно.
Попробуйте 2: Если две прямые имеют одинаковый угловой коэффициент, но разные \(y\)-пересечения, система имеет:
Подсказка: одинаковый угловой коэффициент означает параллельность; разные пересечения означают, что прямые не встречаются.
Итог
Графический метод превращает систему в две прямые, а решение - в их пересечение.
Параллельные прямые → нет решений; одна и та же прямая → бесконечно много решений.
Подстановка
Решение систем методом подстановки
Цель обучения: Решать систему, переписывая одно уравнение и подставляя его в другое.
Ключевая идея
Метод подстановки лучше всего работает, когда одно уравнение уже выражает переменную (или это легко сделать). Шаги:
Выразите \(x\) или \(y\) из одного уравнения.
Подставьте это выражение в другое уравнение.
Решите полученное уравнение с одной переменной.
Сделайте обратную подстановку, чтобы найти другую переменную.
Вычтите второе уравнение из первого, чтобы исключить \(y\): \((3x+2y)-(x+2y)=11-5 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3\). Подставьте в \(x+2y=5\): \(3+2y=5 \Rightarrow 2y=2 \Rightarrow y=1\). Проверка: \(3(3)+2(1)=11\). Значит решение \((3,1)\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Каково решение \((x,y)\) системы \(x + 2y = 8\) и \(x - y = 2\)?
Подсказка: вычтите \((x-y=2)\) из \((x+2y=8)\), чтобы исключить \(x\).
Попробуйте 2: Каково решение \((x,y)\) системы \(2x + 3y = 11\) и \(x + y = 4\)?
Подсказка: умножьте \(x+y=4\) на \(-2\) и сложите с \(2x+3y=11\).
Итог
Исключение убирает одну переменную сложением/вычитанием уравнений.
Умножать уравнение можно, если умножить каждый член.
Число решений
Одно решение, нет решений или бесконечно много решений
Цель обучения: Классифицировать систему как независимую, несовместную или зависимую с помощью алгебры.
Ключевая идея
Когда вы исключаете и решаете, происходит одно из трех:
Одно решение: получается одна упорядоченная пара \((x,y)\).
Нет решений: получается противоречие вроде \(0=5\). (Прямые параллельны.)
Бесконечно много решений: получается тождество вроде \(0=0\). (Одна и та же прямая.)
Разобранный пример
Пример: Определите число решений системы \(\begin{cases}x+2y=4\\2x+4y=8\end{cases}\).
Умножьте первое уравнение на \(2\): \(2(x+2y)=2\cdot4 \Rightarrow 2x+4y=8\). Это точно совпадает со вторым уравнением, значит оба уравнения задают одну и ту же прямую. Система имеет бесконечно много решений (зависимая система).
Попробуйте
Попробуйте 1: Определите число решений системы \(\begin{cases}x - 2y = 3\\2x - 4y = 8\end{cases}\).
Подсказка: умножьте первое уравнение на \(2\) и сравните со вторым.
Попробуйте 2: Определите число решений системы \(\begin{cases}2x - 3y = 1\\4x - 6y = 2\end{cases}\).
Подсказка: второе уравнение ровно в \(2\) раза больше первого.
Итог
\(0=0\) после исключения означает бесконечно много решений (одна и та же прямая).
\(0=\text{ненулевое число}\) после исключения означает нет решений (параллельные прямые).
Стратегия и практика
Выберите метод и решайте эффективно
Цель обучения: Определять, когда использовать графический метод, подстановку или исключение, и решать аккуратно.
Ключевая идея
Графический метод: хорош для визуализации и проверки, но без калькулятора может быть неточным.
Подстановка: лучше всего, когда переменная уже выражена (например \(y=2x+1\)).
Исключение: лучше всего, когда коэффициенты совпадают (или могут совпасть после умножения).
Используйте исключение: умножьте \(x+y=3\) на \(4\), чтобы совпал \(4y\): \(4x + 4y = 12\). Вычтите из \(5x+4y=13\): \((5x+4y)-(4x+4y)=13-12 \Rightarrow x=1\). Затем \(x+y=3 \Rightarrow 1+y=3 \Rightarrow y=2\). Значит \((x,y)=(1,2)\).
Попробуйте
Попробуйте 1: Решите систему \(\begin{cases}x + 2y = 8\\x - 2y = 4\end{cases}\). Чему равно \((x,y)\)?
Подсказка: сложите уравнения, чтобы исключить \(y\), затем подставьте обратно.
Попробуйте 2: Каково решение \((x,y)\) системы \(4x + y = 9\) и \(x + y = 3\)?
Подсказка: вычтите \(x+y=3\) из \(4x+y=9\), чтобы исключить \(y\).
Итог
Выбирайте метод по структуре системы (изолированная переменная → подстановка, совпадающие коэффициенты → исключение).
Всегда проверяйте \((x,y)\) в обоих уравнениях.
Применения
Переводите текстовые задачи в системы уравнений
Цель обучения: Превращать реальную ситуацию в два уравнения, решать и интерпретировать ответ.
Где встречаются системы
Билеты и деньги: разные цены и общие суммы.
Возраст: отношения суммы и разности.
Геометрия: периметр или площадь с отношениями между сторонами.
Смеси: два компонента объединяются в общее количество.
Разобранный пример: задача про билеты
Пример: Билеты для взрослых стоят \$12, а студенческие билеты стоят \$8. Всего продали 25 билетов на \$260. Сколько продали взрослых и студенческих билетов?
Пусть \(a\) = взрослые билеты, а \(s\) = студенческие билеты. Всего билетов: \(a+s=25\). Общая стоимость: \(12a+8s=260\).
Умножьте первое уравнение на \(8\): \(8a+8s=200\). Вычтите из уравнения стоимости: \((12a+8s)-(8a+8s)=260-200 \Rightarrow 4a=60 \Rightarrow a=15\). Затем \(s=25-15=10\). Значит было 15 взрослых билетов и 10 студенческих билетов.
Попробуйте
Попробуйте 1: Два числа в сумме дают \(11\), а их разность равна \(3\). Если \(x\) - большее число, чему равно \((x,y)\)?
Подсказка: используйте \(x+y=11\) и \(x-y=3\).
Попробуйте 2: У прямоугольника периметр \(34\). Его длина на \(3\) больше ширины. Если \((w,\ell)\) - (ширина, длина), чему равно \((w,\ell)\)?
Подсказка: периметр \(34\) означает \(2w+2\ell=34\), а \(\ell=w+3\).
Итог
Четко определяйте переменные, затем записывайте по одному уравнению для каждого отношения.
После решения проверьте, имеет ли ответ смысл в контексте.
Общая картина
Проверьте решение и свяжите идеи
Цель обучения: Надежно проверять решения, обобщать основные стратегии и завершить финальной проверкой.
Как проверить решение
Чтобы проверить \((x,y)\), подставьте значения в оба уравнения. Если оба уравнения истинны, упорядоченная пара является решением. Если хотя бы одно неверно, это не решение.
Разобранный пример: проверить решение
Пример: Проверьте, является ли \((2,3)\) решением \(2x+y=7\) и \(x+2y=8\).
Первое уравнение: \(2(2)+3=4+3=7\) ✅ Второе уравнение: \(2+2(3)=2+6=8\) ✅ Значит \((2,3)\) - решение.
Попробуйте
Попробуйте 1: Каково решение \((x,y)\) системы \(2x + y = 7\) и \(x + 2y = 8\)?
Подсказка: умножьте первое уравнение на \(2\) или используйте исключение, чтобы убрать \(y\) или \(x\).
Попробуйте 2: Какой метод обычно наиболее эффективен для системы \(x + y = 7\) и \(x - y = 1\)?
Подсказка: сложение уравнений сразу сокращает \(y\).
Итоговое повторение
Графический метод: точка пересечения - это решение.
Подстановка: заменяет одну переменную равным ей выражением.
Исключение: сложить/вычесть уравнения, чтобы убрать переменную (умножайте при необходимости).
Классификация: одно решение (независимая), нет решений (несовместная), бесконечно много (зависимая).
Проверка: каждый раз подставляйте \((x,y)\) в оба уравнения.
Следующий шаг: Закройте урок и попробуйте тест снова. Если ошибетесь в вопросе, откройте книгу и повторите страницу с нужным навыком по системам.
Набор практики
Практические вопросы по теме Системы уравнений с мгновенным результатом
Ответьте на все 10 вопросов ниже, затем получите итоговый результат и разбор ошибок, чтобы точно понять, что улучшить.
0/10отвечено
Вопрос 1Нет ответа
Каково решение \((x,y)\) системы \(x + y = 5\) и \(x - y = 1\)?
Правильный ответ: C. \((3, 2)\)
Объяснение: Сложите уравнения: \(2x = 6\), значит \(x = 3\), затем подставьте, чтобы найти \(y = 2\).
Вопрос 2Нет ответа
Каково решение \((x,y)\) системы \(x + y = 4\) и \(2x + 3y = 11\)?
Правильный ответ: C. \((1, 3)\)
Объяснение: Подставьте \(x = 4 - y\) во второе уравнение: \(2(4 - y) + 3y = 11\) дает \(8 + y = 11\), значит \(y = 3\), а \(x = 1\).
Вопрос 3Нет ответа
Каково решение \((x,y)\) системы \(x + y = 6\) и \(x - y = 2\)?
Правильный ответ: D. \((4, 2)\)
Объяснение: Сложите уравнения: \(2x = 8\), значит \(x = 4\), затем подставьте, чтобы найти \(y = 2\).
Вопрос 4Нет ответа
Каково решение \((x,y)\) системы \(2x + y = 5\) и \(x - y = 1\)?
Правильный ответ: A. \((2, 1)\)
Объяснение: Из \(x - y = 1\) получаем \(x = y + 1\). Подставим: \(2(y+1)+y=5\) дает \(3y+2=5\), значит \(y=1\), затем \(x=2\).
Вопрос 5Нет ответа
Каково решение \((x,y)\) системы \(x + 2y = 9\) и \(x - y = 3\)?
Правильный ответ: B. \((5, 2)\)
Объяснение: Из \(x - y = 3\) получаем \(x = y + 3\). Подставим: \((y+3)+2y=9\) дает \(3y+3=9\), значит \(y=2\), затем \(x=5\).
Вопрос 6Нет ответа
Каково решение \((x,y)\) системы \(3x + y = 10\) и \(x + y = 6\)?
Правильный ответ: A. \((2, 4)\)
Объяснение: Вычтите второе уравнение из первого: \(2x = 4\), значит \(x=2\), затем \(y=6-2=4\).
Вопрос 7Нет ответа
Каково решение \((x,y)\) системы \(2x + 3y = 12\) и \(2x + y = 4\)?
Правильный ответ: D. \((0, 4)\)
Объяснение: Вычтите второе уравнение из первого: \(2y=8\), значит \(y=4\), затем \(2x+4=4\) дает \(x=0\).
Вопрос 8Нет ответа
Каково решение \((x,y)\) системы \(3x + 2y = 7\) и \(x + y = 3\)?
Правильный ответ: A. \((1, 2)\)
Объяснение: Умножьте второе уравнение на 2: \(2x+2y=6\). Вычтите его из первого: \(x=1\), затем \(y=2\).
Вопрос 9Нет ответа
Каково решение \((x,y)\) системы \(x - y = 2\) и \(2x + y = 7\)?
Правильный ответ: A. \((3, 1)\)
Объяснение: Сложите уравнения: \(3x=9\), значит \(x=3\), затем \(3 - y =2\) дает \(y=1\).
Вопрос 10Нет ответа
Каково решение \((x,y)\) системы \(4x + y = 9\) и \(x + y = 3\)?
Правильный ответ: B. \((2, 1)\)
Объяснение: Вычтите второе уравнение из первого: \(3x=6\), значит \(x=2\), затем \(y=1\).
