Quiz d'entraînement sur les systèmes d'équations avec leçon interactive étape par étape

Résoudre graphiquement des systèmes d'équations linéaires

Idée clé

Chaque équation linéaire à deux inconnues se représente par une droite. Une solution du système est un point \((x,y)\) qui appartient aux deux droites. La solution est donc le point d'intersection.

• Une intersection : une solution (système indépendant).
• Droites parallèles : aucune solution (système incompatible).
• Même droite : une infinité de solutions (système dépendant).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• La méthode graphique transforme un système en deux droites ; la solution est leur intersection.
• Droites parallèles → aucune solution ; même droite → une infinité de solutions.

Résoudre des systèmes par substitution

Idée clé

La méthode par substitution est efficace quand une équation est déjà résolue pour une variable (ou peut l'être facilement). Étapes :

• Résoudre une équation pour \(x\) ou \(y\).
• Substituer cette expression dans l'autre équation.
• Résoudre l'équation à une seule inconnue obtenue.
• Remplacer pour trouver l'autre variable.
• Vérifier dans les deux équations.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• La substitution remplace une variable par une expression équivalente.
• Remplacez toujours ensuite dans une équation et vérifiez le couple ordonné dans les deux équations.

Résoudre des systèmes par élimination (addition et soustraction)

Idée clé

La méthode par élimination (aussi appelée addition/soustraction) est rapide quand les coefficients sont alignés. Étapes :

• Écrire les deux équations sous une forme comparable (comme \(Ax+By=C\)).
• Si nécessaire, multiplier une ou deux équations pour créer des coefficients opposés.
• Additionner ou soustraire pour éliminer une variable.
• Résoudre pour la variable restante, puis remplacer.
• Vérifier la solution dans les deux équations.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• L'élimination retire une variable en additionnant ou en soustrayant les équations.
• On peut multiplier une équation, à condition de multiplier tous ses termes.

Une solution, aucune solution ou une infinité de solutions

Idée clé

Quand vous éliminez puis résolvez, trois cas peuvent se produire :

• Une solution : vous obtenez un seul couple ordonné \((x,y)\).
• Aucune solution : vous obtenez une contradiction comme \(0=5\). (Les droites sont parallèles.)
• Une infinité de solutions : vous obtenez une identité comme \(0=0\). (Même droite.)

Exemple guidé

À vous

Résumé

• \(0=0\) après élimination signifie une infinité de solutions (même droite).
• \(0=\text{nonzero}\) après élimination signifie aucune solution (droites parallèles).

Choisir une méthode et résoudre efficacement

Idée clé

• Méthode graphique : utile pour visualiser et vérifier, mais parfois imprécise sans calculatrice.
• Substitution : idéale quand une variable est déjà isolée (comme \(y=2x+1\)).
• Élimination : idéale quand les coefficients correspondent (ou peuvent correspondre après multiplication).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Choisissez la méthode qui exploite la structure du système (variable isolée → substitution, coefficients correspondants → élimination).
• Vérifiez toujours \((x,y)\) dans les deux équations.

Traduire des problèmes en systèmes d'équations

Où apparaissent les systèmes

• Billets et argent : prix différents et totaux.
• Âges : relations de somme et de différence.
• Géométrie : périmètre ou aire avec des relations entre les côtés.
• Mélanges : deux composants se combinent pour donner une quantité totale.

Exemple guidé : problème de billets

À vous

Résumé

• Définissez clairement les variables, puis écrivez une équation pour chaque relation.
• Après avoir résolu, vérifiez si la réponse a du sens dans le contexte.

Vérifier votre solution et relier les idées

Comment vérifier une solution

Pour vérifier \((x,y)\), remplacez les valeurs dans les deux équations. Si les deux équations sont vraies, le couple ordonné est une solution. Si même une seule est fausse, ce n'est pas une solution.

Exemple guidé : vérifier une solution

À vous

Récapitulatif final

• Méthode graphique : le point d'intersection est la solution.
• Substitution : remplacer une variable par une expression équivalente.
• Élimination : additionner ou soustraire les équations pour retirer une variable (multiplier si nécessaire).
• Classification : une solution (indépendant), aucune solution (incompatible), une infinité (dépendant).
• Vérification : remplacer \((x,y)\) dans les deux équations à chaque fois.