चरण-दर-चरण इंटरैक्टिव पाठ के साथ समीकरणों के निकाय अभ्यास क्विज़

रैखिक समीकरणों के निकायों का ग्राफ बनाना

मुख्य विचार

दो चर वाली हर रैखिक समीकरण का आलेख एक रेखा होता है। निकाय का हल वह बिंदु \((x,y)\) है जो दोनों रेखाओं पर होता है। इसलिए हल प्रतिच्छेद बिंदु है।

• एक बार प्रतिच्छेद: एक हल (स्वतंत्र निकाय)।
• समानांतर रेखाएँ: कोई हल नहीं (असंगत निकाय)।
• एक ही रेखा: अनंत हल (आश्रित निकाय)।

हल किया गया उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• ग्राफ बनाना निकाय को दो रेखाओं में बदलता है और हल उनका प्रतिच्छेद है।
• समानांतर रेखाएँ → कोई हल नहीं; एक ही रेखा → अनंत हल।

प्रतिस्थापन से निकाय हल करें

मुख्य विचार

प्रतिस्थापन विधि तब सबसे अच्छी होती है जब कोई समीकरण पहले से किसी चर के लिए हल हो (या आसानी से हल हो सके)। चरण:

• एक समीकरण को \(x\) या \(y\) के लिए हल करें।
• उस व्यंजक को दूसरी समीकरण में प्रतिस्थापित करें।
• मिली हुई एक-चर समीकरण हल करें।
• दूसरा चर पाने के लिए वापस प्रतिस्थापन करें।
• दोनों समीकरणों में जाँचें।

हल किया गया उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• प्रतिस्थापन एक चर को समतुल्य व्यंजक से बदलता है।
• हमेशा वापस प्रतिस्थापन करें और क्रमित युग्म को दोनों समीकरणों में जाँचें।

उन्मूलन से निकाय हल करें (जोड़ और घटाव)

मुख्य विचार

उन्मूलन विधि (जोड़/घटाव भी कहते हैं) तब तेज होती है जब गुणांक मेल खाते हैं। चरण:

• दोनों समीकरण समान रूप में लिखें (जैसे \(Ax+By=C\)).
• जरूरत हो तो विपरीत गुणांक बनाने के लिए एक या दोनों समीकरणों को गुणा करें।
• चर हटाने के लिए जोड़ें या घटाएँ।
• बचे हुए चर के लिए हल करें, फिर प्रतिस्थापन करें।
• हल को दोनों समीकरणों में जाँचें।

हल किया गया उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• उन्मूलन समीकरणों को जोड़कर/घटाकर एक चर हटाता है।
• समीकरण को गुणा करना मान्य है, बस हर पद को गुणा करें।

एक हल, कोई हल नहीं, या अनंत हल

मुख्य विचार

जब आप उन्मूलन करके हल करते हैं, तो तीन में से एक स्थिति मिलती है:

• एक हल: आपको एक क्रमित युग्म \((x,y)\) मिलता है।
• कोई हल नहीं: \(0=5\) जैसा विरोधाभास मिलता है। (रेखाएँ समानांतर हैं।)
• अनंत हल: \(0=0\) जैसी तत्समक मिलती है। (एक ही रेखा।)

हल किया गया उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• उन्मूलन के बाद \(0=0\) का अर्थ अनंत हल (एक ही रेखा) है।
• उन्मूलन के बाद \(0=\text{शून्येतर}\) का अर्थ कोई हल नहीं (समानांतर रेखाएँ) है।

विधि चुनें और कुशलता से हल करें

मुख्य विचार

• ग्राफ बनाना: दृश्य रूप से समझने और जाँचने के लिए अच्छा है, लेकिन कैलकुलेटर के बिना कम सटीक हो सकता है।
• प्रतिस्थापन: तब सबसे अच्छा होता है जब कोई चर पहले से अलग किया गया हो (जैसे \(y=2x+1\)).
• उन्मूलन: तब सबसे अच्छा होता है जब गुणांक मेल खाते हों (या गुणा करने के बाद मेल खा सकें)।

हल किया गया उदाहरण

खुद कोशिश करें

सारांश

• प्रणाली की संरचना के आधार पर विधि चुनें (अलग किया गया चर → प्रतिस्थापन, मिलते गुणांक → उन्मूलन)।
• हमेशा \((x,y)\) को दोनों समीकरण में जाँचें।

शब्द समस्याओं को समीकरणों के निकाय में बदलें

समीकरणों के निकाय कहाँ दिखते हैं

• टिकट और धन: अलग-अलग कीमतें और कुल।
• आयु: योग और अंतर संबंध।
• ज्यामिति: भुजाओं के बीच संबंधों के साथ परिमाप या क्षेत्रफल।
• मिश्रण: दो अवयव मिलकर कुल मात्रा बनाते हैं।

हल किया गया उदाहरण: टिकट समस्या

खुद कोशिश करें

सारांश

• चर साफ परिभाषित करें, फिर हर संबंध के लिए एक समीकरण लिखें।
• हल करने के बाद जाँचें कि उत्तर संदर्भ में उचित है या नहीं।

अपना हल जाँचें और विचारों को जोड़ें

हल कैसे जाँचें

\((x,y)\) की जाँच करने के लिए मानों को दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित करें। यदि दोनों समीकरण सत्य हैं, तो क्रमित युग्म हल है। यदि एक भी असत्य है, तो वह हल नहीं है।

हल किया गया उदाहरण: हल सत्यापित करें

खुद कोशिश करें

अंतिम सारांश

• ग्राफ बनाना: प्रतिच्छेद बिंदु हल है।
• प्रतिस्थापन: एक चर को समतुल्य व्यंजक से बदलें।
• उन्मूलन: चर हटाने के लिए समीकरण जोड़ें/घटाएँ (जरूरत हो तो गुणा करें)।
• वर्गीकरण: एक हल (स्वतंत्र), कोई हल नहीं (असंगत), अनंत रूप से कई (आश्रित)।
• जाँच: हर बार \((x,y)\) को दोनों समीकरणों में प्रतिस्थापित करें।