练习题组
向量与向量运算 II 练习小测，答完立即得分
完成下面全部 10 道题，然后查看最终得分和错题回顾，明确下一步该改进什么。
由 \((1,0,0)\) 和 \((0,1,1)\) 张成的平行四边形的面积是多少？
正确答案： A. \(\sqrt2\)
讲解： 面积 = |叉积|；\((1,0,0)\times(0,1,1) = (0,-1,1)\)，模长 = \(\sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}\)。
向量 \((-1,1,1)\) 的模长是多少？
正确答案： D. \(\sqrt{3}\)
讲解： 模长 = \(\sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}\)。
\((2,0,0)\) 和 \((0,0,3)\) 的叉积是什么？
正确答案： D. \((0,-6,0)\)
讲解： 叉积 = \((2,0,0)×(0,0,3) = (0,-6,0)\)。
\((2,3,4)\) 中与 \((1,1,1)\) 正交的分量是多少？
向量 \((1,0,1)\) 和 \((0,1,1)\) 之间的夹角是多少？
正确答案： C. \(π/3\)
讲解： 点积 = \(1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 1\)，模长都为 \(\sqrt2\) ⇒ \(\cos\theta = \tfrac{1}{2}\) ⇒ \(\theta = \pi/3\)。
\((1,2,3)\) 在 xy 平面上的投影是什么？
平面由 \((1,0,0)\) 和 \((0,1,0)\) 张成，单位法向量是什么？
正确答案： C. \((0,0,1)\)
讲解： 叉积 = \((1,0,0)\times(0,1,0) = (0,0,1)\)，其长度已经是 1。
向量 \((1,1,0)\) 和 \((1,2,3)\) 之间的 \(\cos\theta\) 是多少？
正确答案： C. \(\tfrac{3}{2\sqrt7}\)
讲解： 计算点积得 \(1+2+0=3\)；模分别为 \(\sqrt2\) 和 \(\sqrt{14}\)。
\((2,3,4)\) 在 \((1,1,1)\) 上的投影是多少？
正确答案： D. \((3,3,3)\)
讲解： 标量投影是 \(\frac{2+3+4}{3}=3\)；再乘以向量 \((1,1,1)\)。
由 \((2,0,0)\)、\((0,3,0)\) 和 \((0,0,4)\) 张成的平行六面体的体积是多少？
正确答案： C. \(24\)
讲解： 体积 = \(|(2,0,0)\cdot[(0,3,0)\times(0,0,4)]| = |(2,0,0)\cdot(12,0,0)| = 24\)。
结果
你的得分： 0 / 10
在下面查看你的结果。