Übungsquiz zu komplexen Funktionen mit interaktiver Schritt-für-Schritt-Lektion

Komplexe Zahlen, Konjugierte, Betrag und schnelle Algebra

Schlüsselidee

Eine komplexe Zahl ist \(z=x+iy\), wobei \(x=\Re(z)\) und \(y=\Im(z)\). Die komplexe Konjugierte ist \[ \overline{z}=x-iy. \] Der Betrag (Absolutwert) ist \[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}. \] Eine zentrale Identität ist \[ z\overline{z}=|z|^2. \] Darum hilft das Multiplizieren mit der Konjugierten beim Vereinfachen von Brüchen wie \(\frac{1}{a+bi}\).

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Konjugierte: \(\overline{x+iy}=x-iy\).
• Betrag: \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\).
• Identität: \(z\overline{z}=|z|^2\).

Eulers Formel, \(e^z\) und Bilder von Kurven

Schlüsselidee

Eulers Formel verbindet Exponentialfunktionen und Trigonometrie: \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \] Für eine allgemeine komplexe Zahl \(z=x+iy\) gilt \[ e^z=e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y). \] Das zeigt zwei wichtige Abbildungseffekte:

• Eine Änderung von \(x\) skaliert den Betrag: \(|e^z|=e^x\).
• Eine Änderung von \(y\) dreht das Argument um \(y\) (mod \(2\pi\)).

Außerdem ist die Exponentialfunktion in imaginärer Richtung periodisch: \[ e^{z+2\pi i}=e^z. \] Also ist \(e^z\) auf \(\mathbb{C}\) nicht injektiv.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\): skaliert mit \(e^x\), dreht um \(y\).
• \(e^z\) ist auf \(\mathbb{C}\) wegen der \(2\pi i\)-Periodizität nicht injektiv.
• Die Inversion \(w=1/z\) bildet \(|z|=1\) auf \(|w|=1\) ab.

Analytische Funktionen, Cauchy-Riemann-Gleichungen und häufige Gegenbeispiele

Schlüsselidee

Schreibe eine komplexe Funktion als \[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy. \] Wenn \(u\) und \(v\) stetige erste partielle Ableitungen besitzen und \(f\) komplex differenzierbar ist, dann müssen die Cauchy-Riemann-Gleichungen gelten: \[ u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x. \] Viele Funktionen sind nicht holomorph, weil sie von \(\overline{z}\) oder \(|z|\) abhängen; dadurch werden \(x\) und \(y\) auf nicht-analytische Weise vermischt.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Holomorph \(\Rightarrow\) Cauchy-Riemann (unter milden Glattheitsannahmen).
• \(\overline{z}\) und \(|z|^2\) sind auf \(\mathbb{C}\) nirgendwo holomorph.
• Mehrwertige Funktionen (wie \(z^z\)) brauchen Zweigwahlen; sie sind nicht auf ganz \(\mathbb{C}\) analytisch.

Ganze Funktionen, Potenzreihen und geometrische Reihen in \(\mathbb{C}\)

Schlüsselidee

Eine Funktion heißt ganz, wenn sie auf ganz \(\mathbb{C}\) holomorph ist. Klassische Beispiele sind Polynome und \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\). Potenzreihen in der komplexen Ebene verhalten sich wie reelle Potenzreihen: Sie haben einen Konvergenzradius \(R\), konvergieren absolut für \(|z-a|<R\) und divergieren für \(|z-a|>R\).

Ein zentrales Beispiel ist die geometrische Reihe: \[ \sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^n \] Sie konvergiert genau dann, wenn \(|z-a|<1\), und hat dann die Summe \(\frac{1}{1-(z-a)}\).

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Ganz bedeutet holomorph auf ganz \(\mathbb{C}\).
• \(e^z,\sin z,\cos z\) und Polynome sind ganz.
• \(\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^n\) konvergiert genau dann, wenn \(|z-1|<1\).

Singularitäten klassifizieren: hebbar, Pole und wesentlich

Schlüsselidee

Eine isolierte Singularität bei \(z=a\) ist ein Punkt, an dem \(f\) bei \(a\) nicht holomorph ist, aber in einer punktierten Umgebung \(0<|z-a|<r\) holomorph ist. Es gibt drei Haupttypen:

• Hebbare Singularität: \(f\) kann bei \(a\) so neu definiert werden, dass sie holomorph wird (passiert oft, wenn sich ein Faktor kürzt).
• Pol der Ordnung \(m\): \((z-a)^m f(z)\) ist bei \(a\) holomorph und ungleich null. Ein einfacher Pol hat \(m=1\).
• Wesentliche Singularität: weder hebbar noch ein Pol; die Laurent-Reihe hat unendlich viele Terme mit negativen Potenzen.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• \(e^{1/z}\) und \(\sin(1/z)\) haben bei \(z=0\) wesentliche Singularitäten.
• \(\frac{\sin z}{z}\) hat bei \(0\) eine hebbare Singularität (definiere den Wert als \(1\)).
• \(\frac{\sin(1/z)}{z}\) hat bei \(0\) eine wesentliche Singularität.

Residuen an einfachen Polen und schnelle Berechnungen

Schlüsselidee

Wenn \(f\) bei \(z=a\) einen einfachen Pol hat, dann ist sein Residuum \[ \operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z). \] Eine rationale Funktion \(\frac{p(z)}{q(z)}\) hat typischerweise Pole dort, wo \(q(z)=0\) (wenn \(p(a)≠ 0\) und die Nullstelle einfach ist).

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Zusammenfassung

• Residuum an einem einfachen Pol: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• \(\tan z\) hat einfache Pole bei \(\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Konturintegrale, Winkeltreue und abschließende Wiederholung

Zentrales Faktum zu Konturintegralen

Für den Einheitskreis \(|z|=1\) gilt die grundlegende Identität: \[ \oint_{|z|=1} z^n\,dz = \begin{cases} 2\pi i, & n=-1,\\ 0, & n≠ -1, \end{cases} \] wobei \(n\) eine ganze Zahl ist. Insbesondere gilt \[ \oint_{|z|=1} z^2\,dz = 0. \]

Winkeltreue (Konformität)

Holomorphe Funktionen mit von null verschiedener Ableitung erhalten Winkel zwischen glatten Kurven (sie sind konform). Die Abbildung \(f(z)=\overline{z}\) ist nicht holomorph; sie spiegelt die Ebene und erhält orientierte Winkel nicht, also ist sie nicht konform.

Ausgearbeitetes Beispiel

Übe selbst

Abschluss-Wiederholung

• Konjugierte und Betrag: \(\overline{x+iy}=x-iy\), \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(z\overline{z}=|z|^2\).
• Exponentialfunktion: \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\), und \(e^{z+2\pi i}=e^z\) (nicht injektiv auf \(\mathbb{C}\)).
• Holomorph: Cauchy-Riemann prüfen; \(\overline{z}\) und \(|z|^2\) sind nirgendwo holomorph.
• Ganz: holomorph auf ganz \(\mathbb{C}\); Beispiele sind \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), Polynome.
• Singularitäten: hebbar (z. B. \(\sin z/z\) bei \(0\)), Pole, wesentlich (z. B. \(e^{1/z}\) bei \(0\)).
• Residuum an einem einfachen Pol: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• Konturintegral: \(\oint_{|z|=1} z^2\,dz=0\).