Тренировочный тест по комплексным функциям с пошаговым интерактивным уроком

Комплексные числа, сопряжение, модуль и быстрая алгебра

Ключевая идея

Комплексное число имеет вид \(z=x+iy\), где \(x=\Re(z)\) и \(y=\Im(z)\). Комплексно-сопряженное: \[ \overline{z}=x-iy. \] Модуль (абсолютная величина): \[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}. \] Ключевое тождество: \[ z\overline{z}=|z|^2. \] Поэтому умножение на сопряженное помогает упрощать дроби вроде \(\frac{1}{a+bi}\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Сопряженное: \(\overline{x+iy}=x-iy\).
• Модуль: \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\).
• Тождество: \(z\overline{z}=|z|^2\).

Формула Эйлера, \(e^z\) и образы кривых

Ключевая идея

Формула Эйлера связывает экспоненты и тригонометрию: \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \] Для общего комплексного числа \(z=x+iy\): \[ e^z=e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y). \] Это показывает два важных эффекта отображения:

• Изменение \(x\) масштабирует модуль: \(|e^z|=e^x\).
• Изменение \(y\) поворачивает аргумент на \(y\) (по модулю \(2\pi\)).

Кроме того, экспонента периодична в мнимом направлении: \[ e^{z+2\pi i}=e^z. \] Поэтому \(e^z\) не инъективна на \(\mathbb{C}\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\): масштабирование на \(e^x\), поворот на \(y\).
• \(e^z\) не инъективна на \(\mathbb{C}\) из-за \(2\pi i\)-периодичности.
• Инверсия \(w=1/z\) переводит \(|z|=1\) в \(|w|=1\).

Аналитические функции, уравнения Коши-Римана и типичные не-примеры

Ключевая идея

Запишите комплексную функцию как \[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy. \] Если \(u\) и \(v\) имеют непрерывные частные производные первого порядка, а \(f\) комплексно дифференцируема, то должны выполняться уравнения Коши-Римана: \[ u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x. \] Многие функции не голоморфны, потому что зависят от \(\overline{z}\) или \(|z|\), что смешивает \(x\) и \(y\) неаналитическим образом.

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Голоморфность \(\Rightarrow\) Коши-Риман (при мягких условиях гладкости).
• \(\overline{z}\) и \(|z|^2\) нигде не голоморфны на \(\mathbb{C}\).
• Многозначные функции (например, \(z^z\)) требуют выбора ветви; они не аналитичны на всей \(\mathbb{C}\).

Целые функции, степенные ряды и геометрические ряды в \(\mathbb{C}\)

Ключевая идея

Функция называется целой, если она голоморфна на всей \(\mathbb{C}\). Классические примеры: многочлены, \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\). Степенные ряды в комплексной плоскости ведут себя как действительные степенные ряды: имеют радиус сходимости \(R\), сходятся абсолютно при \(|z-a|<R\) и расходятся при \(|z-a|>R\).

Ключевой пример — геометрический ряд: \[ \sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^n \] который сходится ровно при \(|z-a|<1\) и тогда суммируется в \(\frac{1}{1-(z-a)}\).

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Целая означает голоморфная на всей \(\mathbb{C}\).
• \(e^z,\sin z,\cos z\) и многочлены — целые функции.
• \(\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^n\) сходится ровно при \(|z-1|<1\).

Классификация особенностей: устранимые, полюса и существенные

Ключевая идея

Изолированная особенность в \(z=a\) — это точка, где \(f\) не голоморфна в \(a\), но голоморфна в проколотой окрестности \(0<|z-a|<r\). Три основных типа:

• Устранимая особенность: \(f\) можно переопределить в \(a\), чтобы она стала голоморфной (часто после сокращения множителя).
• Полюс порядка \(m\): \((z-a)^m f(z)\) голоморфна и ненулевая в \(a\). Простой полюс — это \(m=1\).
• Существенная особенность: не устранимая и не полюс; ряд Лорана имеет бесконечно много отрицательных степеней.

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• \(e^{1/z}\) и \(\sin(1/z)\) имеют существенные особенности в \(z=0\).
• \(\frac{\sin z}{z}\) имеет устранимую особенность в \(0\) (задайте значение \(1\)).
• \(\frac{\sin(1/z)}{z}\) имеет существенную особенность в \(0\).

Вычеты в простых полюсах и быстрые вычисления

Ключевая идея

Если \(f\) имеет простой полюс в \(z=a\), то ее вычет равен \[ \operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z). \] Рациональная функция \(\frac{p(z)}{q(z)}\) обычно имеет полюса там, где \(q(z)=0\) (если \(p(a)≠ 0\), а нуль простой).

Разобранный пример

Попробуйте

Итог

• Вычет в простом полюсе: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• \(\tan z\) имеет простые полюса в \(\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Контурные интегралы, сохранение углов и итоговое повторение

Ключевой факт о контурном интеграле

Для единичной окружности \(|z|=1\) фундаментальное тождество: \[ \oint_{|z|=1} z^n\,dz = \begin{cases} 2\pi i, & n=-1,\\ 0, & n≠ -1, \end{cases} \] где \(n\) — целое число. В частности, \[ \oint_{|z|=1} z^2\,dz = 0. \]

Сохранение углов (конформность)

Голоморфные функции с ненулевой производной сохраняют углы между гладкими кривыми (они конформны). Отображение \(f(z)=\overline{z}\) не голоморфно; оно отражает плоскость и не сохраняет ориентированные углы, поэтому оно не конформно.

Разобранный пример

Попробуйте

Итоговое повторение

• Сопряжение и модуль: \(\overline{x+iy}=x-iy\), \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(z\overline{z}=|z|^2\).
• Экспонента: \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\), и \(e^{z+2\pi i}=e^z\) (не инъективна на \(\mathbb{C}\)).
• Голоморфность: проверяйте Коши-Римана; \(\overline{z}\) и \(|z|^2\) нигде не голоморфны.
• Целые функции: голоморфны на всей \(\mathbb{C}\); примеры: \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), многочлены.
• Особенности: устранимые (например, \(\sin z/z\) в \(0\)), полюса, существенные (например, \(e^{1/z}\) в \(0\)).
• Вычет в простом полюсе: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• Контурный интеграл: \(\oint_{|z|=1} z^2\,dz=0\).