घातांकीय map क्षैतिज रेखाएँ को circles में भेज सकता है।
\(e^z\) कभी 0 नहीं होता।
होलोमॉर्फिक फलन
सम्मिश्र अवकलनीयता वास्तविक अवकलनीयता से बहुत मजबूत शर्त है।
कॉशी-रीमान समीकरण \(u_x=v_y\), \(u_y=-v_x\)।
\(\bar z\) होलोमॉर्फिक नहीं है।
विलक्षणताएँ और अवशेष
हटाने योग्य विलक्षणता, ध्रुव और आवश्यक विलक्षणता अलग-अलग व्यवहार देते हैं।
अवशेष लॉरां श्रेणी में \((z-a)^{-1}\) coefficient है।
अवशेष प्रमेय समोच्च समाकल को अवशेष से जोड़ता है।
प्रश्नोत्तरी पर वापस
सम्मिश्र विश्लेषण में रूप बदलना बहुत उपयोगी है: rectangular, polar, घातांकीय और लॉरां।
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सम्मिश्र विश्लेषण
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सम्मिश्र विश्लेषण पाठ
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सारांश
सम्मिश्र तल में फलन
सम्मिश्र विश्लेषण सम्मिश्र संख्याएँ को ज्यामिति, अवकलनीयता और समाकलन से जोड़ता है। इस पाठ में आप \(z=x+iy\), घातांकीय रूप, होलोमॉर्फिकity, विलक्षणताएँ और अवशेष की core language सीखेंगे।
सफलता मानदंड
सम्मिश्र संख्या को rectangular और ध्रुवीय रूप में लिखना।
संयुग्म, मापांक और कोणांक निकालना।
ऑयलर सूत्र और घातांकीय map समझना।
कॉशी-रीमान समीकरण जाँचना।
विलक्षणता प्रकार और अवशेष पहचानना।
मुख्य शब्दावली
सम्मिश्र संख्या: \(z=x+iy\)।
संयुग्म: \(\bar z=x-iy\)।
मापांक: \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)।
होलोमॉर्फिक: खोलें समुच्चय पर सम्मिश्र अवकलनीय।
अवशेष: लॉरां विस्तार में \((z-a)^{-1}\) coefficient।
त्वरित पूर्व-जाँच
पूर्व-जाँच 1: \(z=3+4i\) का मापांक क्या है?
संकेत: \(|z|=\sqrt{3^2+4^2}\)।
पूर्व-जाँच 2: \(w=e^{it}\) किस समुच्चय पर चलता है?
संकेत: \(e^{it}=\cos t+i\sin t\)।
सम्मिश्र संख्याएँ
Rectangular, polar और संयुग्म रूप
लक्ष्य: \(z=x+iy\), \(\bar z\), \(|z|\) और कोणांक को समझना।
मुख्य विचार
सम्मिश्र संख्या तल में बिंदु \((x,y)\) जैसा है। \(z=x+iy\), संयुग्म \(\bar z=x-iy\), और \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(z=1-i\) का संयुग्म और मापांक।
\(\bar z=1+i\), और \(|z|=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt2\)।
स्वयं प्रयास करें
प्रयास 1: \(z=2+3i\) का संयुग्म?
संकेत: काल्पनिक भाग का चिह्न बदलें।
प्रयास 2: \(z=6+8i\) का मापांक?
संकेत: \(\sqrt{6^2+8^2}\)।
सारांश
संयुग्म काल्पनिक भाग का चिह्न बदलता है।
मापांक मूलबिंदु से दूरी है।
कोणांक कोण है।
सम्मिश्र घातांक
ऑयलर सूत्र और घातांकीय map
लक्ष्य: \(e^{z}\) और \(e^{i\theta}\) का ज्यामितीय अर्थ समझना।
मुख्य विचार
ऑयलर सूत्र कहता है \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\)। इसलिए काल्पनिक घातांक rotation देता है।
लक्ष्य: होलोमॉर्फिकity और कॉशी-रीमान समीकरण समझना।
मुख्य विचार
यदि \(f=u+iv\) होलोमॉर्फिक है, तो अवकलनीयता सभी सम्मिश्र directions से compatible होती है। Smooth case में CR समीकरण \(u_x=v_y\), \(u_y=-v_x\) पूरी होती हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(f(z)=z^2\) होलोमॉर्फिक है?
हाँ। बहुपद फलन पूरे सम्मिश्र तल पर होलोमॉर्फिक होते हैं।
स्वयं प्रयास करें
प्रयास 1: कौन सा फलन generally होलोमॉर्फिक नहीं है?
संकेत: संयुग्म map CR समीकरण विफल होना करता है।
प्रयास 2: बहुपद कहाँ होलोमॉर्फिक हैं?
संकेत: बहुपद संपूर्ण फलन हैं।
सारांश
होलोमॉर्फिकity strong अवकलनीयता है।
CR समीकरण useful परीक्षण हैं।
\(\bar z\) सामान्य non-होलोमॉर्फिक उदाहरण है।
संपूर्ण फलन
पूरे तल पर होलोमॉर्फिक फलन
लक्ष्य: संपूर्ण फलन और घात श्रेणी उदाहरण पहचानना।
मुख्य विचार
संपूर्ण फलन वह है जो पूरे \(\mathbb C\) पर होलोमॉर्फिक हो।
बहुपद, \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\) संपूर्ण फलन हैं और घात श्रेणी से परिभाषित करें किए जा सकते हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(e^z\) संपूर्ण है?
हाँ, \(e^z\) पूरे सम्मिश्र तल पर होलोमॉर्फिक है।
स्वयं प्रयास करें
प्रयास 1: बहुपद \(p(z)\) कहाँ होलोमॉर्फिक है?
संकेत: बहुपद संपूर्ण हैं।
प्रयास 2: \(1/z\) संपूर्ण है?
संकेत: संपूर्ण होने के लिए पूरे तल पर परिभाषित करेंd और होलोमॉर्फिक होना चाहिए।
सारांश
संपूर्ण = हर सम्मिश्र बिंदु पर होलोमॉर्फिक।
विलक्षणता हो तो संपूर्ण नहीं।
विलक्षणताएँ
Removable, ध्रुव और essential विलक्षणताएँ
लक्ष्य: isolated विलक्षणताएँ को classify करना।
मुख्य विचार
विलक्षणता वह बिंदु है जहाँ फलन होलोमॉर्फिक नहीं है लेकिन आसपास punctured neighborhood में होलोमॉर्फिक हो सकता है।
Removable: मान परिभाषित करें करके ठीक किया जा सकता है।
ध्रुव: फलन सीमित order से blow ऊपर होता है।
Essential: व्यवहार बहुत irregular होता है।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\dfrac{\sin z}{z}\) पर \(z=0\)।
हटाने योग्य विलक्षणता, क्योंकि सीमा 1 है और मान परिभाषित करें करके होलोमॉर्फिक बनाया जा सकता है।
स्वयं प्रयास करें
प्रयास 1: \(1/z\) पर \(z=0\) क्या है?
संकेत: यह प्रथम-क्रम ध्रुव है।
प्रयास 2: \(e^{1/z}\) पर \(z=0\) क्या है?
संकेत: लॉरां श्रेणी में अनंत रूप से कई ऋणात्मक घात हैं।
सारांश
हटाने योग्य विलक्षणता सीमा से fix हो सकती है।
ध्रुव सीमित order blow-ऊपर है।
आवश्यक विलक्षणता में अनंत रूप से कई ऋणात्मक लॉरां पद होते हैं।
अवशेष
लॉरां coefficient और समोच्च समाकल
लक्ष्य: अवशेष निकालना और उसे समाकल से जोड़ना।
मुख्य विचार
अवशेष पर \(a\) लॉरां विस्तार में \((z-a)^{-1}\) का coefficient है। सरल ध्रुव में \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\)।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(f(z)=1/(z-2)\) का अवशेष पर 2?
अवशेष 1 है, क्योंकि \((z-2)^{-1}\) का coefficient 1 है।
स्वयं प्रयास करें
प्रयास 1: \(\dfrac{3}{z-a}\) का अवशेष पर \(a\)?
संकेत: \((z-a)^{-1}\) का coefficient देखें।
प्रयास 2: सरल ध्रुव अवशेष सूत्र क्या है?
संकेत: \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\)।
सारांश
अवशेष लॉरां श्रेणी का key coefficient है।
सरल ध्रुवs में सीमा सूत्र तेज़ है।
समोच्च समाकल
अवशेष प्रमेय और conformality
लक्ष्य: सम्मिश्र समाकल को अवशेष और होलोमॉर्फिकity से जोड़ना।
Core समोच्च fact
यदि \(f\) समोच्च के अंदर और ऊपर होलोमॉर्फिक है, तो कई स्थितियों में बंद करेंd समोच्च समाकल 0 होता है। विलक्षणताएँ हों तो अवशेष contribution देते हैं।
Conformality
शून्येतर अवकलज वाली होलोमॉर्फिक maps छोटे स्तर पर कोण preserve करती हैं।
हल किया हुआ उदाहरण
उदाहरण: \(\int_C \dfrac{1}{z-a}dz\) जहाँ \(C\) \(a\) को एक बार घेरता है।
अवशेष प्रमेय से समाकल \(2\pi i\) है।
स्वयं प्रयास करें
प्रयास 1: यदि समोच्च के अंदर कोई विलक्षणता नहीं, तो होलोमॉर्फिक फलन का बंद करेंd समाकल?
संकेत: कॉशी प्रमेय।
प्रयास 2: अवशेष प्रमेय में coefficient किस पद का होता है?
संकेत: लॉरां श्रेणी का \((z-a)^{-1}\) पद।
अंतिम पुनरावृत्ति
\(z=x+iy\), \(\bar z=x-iy\), \(|z|\) दूरी है।
\(e^{i\theta}\) इकाई वृत्त पर चलता है।
होलोमॉर्फिक फलन CR समीकरण satisfy करते हैं।
विलक्षणताएँ removable, ध्रुव या essential हो सकती हैं।
अवशेष समोच्च समाकल निकालने में सेंटral हैं।
अगला कदम: प्रश्नोत्तरी पर लौटें और हर प्रश्न में पहले रूप या प्रमेय पहचानें।
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