Cuestionario de práctica de funciones complejas con una lección interactiva paso a paso

Números complejos, conjugados, módulo y álgebra rápida

Idea clave

Un número complejo es \(z=x+iy\), donde \(x=\Re(z)\) y \(y=\Im(z)\). El conjugado complejo es \[ \overline{z}=x-iy. \] El módulo (valor absoluto) es \[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}. \] Una identidad clave es \[ z\overline{z}=|z|^2. \] Por eso multiplicar por el conjugado ayuda a simplificar fracciones como \(\frac{1}{a+bi}\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Conjugado: \(\overline{x+iy}=x-iy\).
• Módulo: \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\).
• Identidad: \(z\overline{z}=|z|^2\).

Fórmula de Euler, \(e^z\) e imágenes de curvas

Idea clave

La fórmula de Euler conecta exponenciales y trigonometría: \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \] Para un número complejo general \(z=x+iy\), \[ e^z=e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y). \] Esto muestra dos efectos importantes de la aplicación:

• Cambiar \(x\) escala la magnitud: \(|e^z|=e^x\).
• Cambiar \(y\) rota el argumento por \(y\) (mod \(2\pi\)).

Además, la exponencial es periódica en la dirección imaginaria: \[ e^{z+2\pi i}=e^z. \] Por tanto, \(e^z\) no es inyectiva en \(\mathbb{C}\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\): escala por \(e^x\), rota por \(y\).
• \(e^z\) no es inyectiva en \(\mathbb{C}\) por la periodicidad de \(2\pi i\).
• La inversión \(w=1/z\) envía \(|z|=1\) a \(|w|=1\).

funciones analíticas, ecuaciones de Cauchy-Riemann y no-ejemplos comunes

Idea clave

Escribe una función compleja como \[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy. \] Si \(u\) y \(v\) tienen derivadas parciales primeras continuas y \(f\) es complejamente diferenciable, entonces deben cumplirse las ecuaciones de Cauchy-Riemann: \[ u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x. \] Muchas funciones no son holomorfas porque dependen de \(\overline{z}\) o de \(|z|\), lo que mezcla \(x\) e \(y\) de una forma no analítica.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Holomorfa \(\Rightarrow\) Cauchy-Riemann (bajo condiciones suaves de regularidad).
• \(\overline{z}\) y \(|z|^2\) no son holomorfas en ningún punto de \(\mathbb{C}\).
• Las funciones multivaluadas (como \(z^z\)) requieren elecciones de rama; no son analíticas en todo \(\mathbb{C}\).

funciones enteras, series de potencias y series geométricas en \(\mathbb{C}\)

Idea clave

Una función es entera si es holomorfa en todo \(\mathbb{C}\). Ejemplos clásicos incluyen polinomios y \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\). Las series de potencias en el plano complejo se comportan como las series de potencias reales: tienen un radio de convergencia \(R\), y convergen absolutamente para \(|z-a|<R\) y divergen para \(|z-a|>R\).

Un ejemplo clave es la serie geométrica: \[ \sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^n \] que converge exactamente cuando \(|z-a|<1\) y entonces suma \(\frac{1}{1-(z-a)}\).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Entera significa holomorfa en todo \(\mathbb{C}\).
• \(e^z,\sin z,\cos z\) y los polinomios son enteros.
• \(\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^n\) converge exactamente cuando \(|z-1|<1\).

Clasificar singularidades: removibles, polos y esenciales

Idea clave

Una singularidad aislada en \(z=a\) es un punto donde \(f\) no es holomorfa en \(a\), pero sí es holomorfa en una vecindad perforada \(0<|z-a|<r\). Hay tres tipos principales:

• Singularidad removible: \(f\) puede redefinirse en \(a\) para volverse holomorfa (suele ocurrir cuando se cancela un factor).
• Polo de orden \(m\): \((z-a)^m f(z)\) es holomorfa y no nula en \(a\). Un polo simple tiene \(m=1\).
• Singularidad esencial: no es removible ni polo; la serie de Laurent tiene infinitos términos con potencias negativas.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• \(e^{1/z}\) y \(\sin(1/z)\) tienen singularidades esenciales en \(z=0\).
• \(\frac{\sin z}{z}\) tiene una singularidad removible en \(0\) (define el valor como \(1\)).
• \(\frac{\sin(1/z)}{z}\) tiene una singularidad esencial en \(0\).

Residuos en polos simples y cálculos rápidos

Idea clave

Si \(f\) tiene un polo simple en \(z=a\), entonces su residuo es \[ \operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z). \] Una función racional \(\frac{p(z)}{q(z)}\) normalmente tiene polos donde \(q(z)=0\) (si \(p(a)≠ 0\) y el cero es simple).

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Resumen

• Residuo en polo simple: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• \(\tan z\) tiene polos simples en \(\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Integrales de contorno, preservación de ángulos y resumen final

Hecho central de integrales de contorno

Para el círculo unitario \(|z|=1\), una identidad fundamental es: \[ \oint_{|z|=1} z^n\,dz = \begin{cases} 2\pi i, & n=-1,\\ 0, & n≠ -1, \end{cases} \] donde \(n\) es un entero. En particular, \[ \oint_{|z|=1} z^2\,dz = 0. \]

Preservación de ángulos (conformidad)

Las funciones holomorfas con derivada no nula preservan ángulos entre curvas suaves (son conformes). La aplicación \(f(z)=\overline{z}\) no es holomorfa; refleja el plano y no preserva ángulos orientados, así que no es conforme.

Ejemplo resuelto

Inténtalo

Repaso final

• Conjugado y módulo: \(\overline{x+iy}=x-iy\), \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(z\overline{z}=|z|^2\).
• Exponencial: \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\), y \(e^{z+2\pi i}=e^z\) (no inyectiva en \(\mathbb{C}\)).
• Holomorfa: comprueba Cauchy-Riemann; \(\overline{z}\) y \(|z|^2\) no son holomorfas en ningún punto.
• Entera: holomorfa en todo \(\mathbb{C}\); ejemplos incluyen \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), polinomios.
• Singularidades: removibles (por ejemplo \(\sin z/z\) en \(0\)), polos, esenciales (por ejemplo \(e^{1/z}\) en \(0\)).
• Residuo en un polo simple: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• Integral de contorno: \(\oint_{|z|=1} z^2\,dz=0\).