Preguntas de entrenamiento, cuestionario y lección paso a paso sobre Funciones complejas - mejora tus habilidades matemáticas con preguntas enfocadas y explicaciones claras.
Cuestionario de práctica de funciones complejas con una lección interactiva paso a paso
Usa el cuestionario al principio de la página para practicar funciones complejas e ideas centrales de análisis complejo con las definiciones y pruebas más importantes: números complejos \(z=x+iy\) y conjugado complejo \(\overline{z}\), módulo \(|z|\) y argumento \(\arg z\), fórmula de Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) y forma polar \(z=re^{i\theta}\), funciones analíticas / holomorfas y las ecuaciones de Cauchy-Riemann, funciones enteras (holomorfas en \(\mathbb{C}\)), exponenciales complejas y aplicaciones como \(w=e^z\) y \(w=\tfrac{1}{z}\), singularidades (removibles, polos, esenciales), intuición de series de Laurent, residuos y cálculos rápidos de residuos, e integrales de contorno básicas como \(\oint z^n\,dz\). Si quieres repasar, haz clic en Empezar lección para abrir una guía paso a paso con ejemplos resueltos y comprobaciones rápidas.
Cómo funciona esta práctica de funciones complejas
1. Haz el cuestionario: responde las preguntas de números complejos y funciones complejas al principio de la página.
2. Abre la lección (opcional): repasa conjugados, módulo/argumento, analiticidad, aplicaciones, singularidades, residuos e integrales de contorno con ejemplos claros.
3. Reintenta: vuelve al cuestionario y aplica de inmediato las reglas de análisis complejo.
Qué aprenderás en la lección de funciones complejas
Números complejos, módulo, argumento y conjugados
Forma rectangular \(z=x+iy\) y aritmética básica
Conjugado complejo \(\overline{z}=x-iy\) e identidades como \(z\overline{z}=|z|^2\)
Módulo \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\) y argumento \(\arg z\) para la forma polar
Exponencial compleja, forma polar y aplicaciones
Fórmula de Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) y \(z=re^{i\theta}\)
Aplicación exponencial \(w=e^z\): periodicidad \(e^{z+2\pi i}=e^z\) e imágenes de rectas
Aplicación recíproca \(w=\tfrac{1}{z}\): imágenes de círculos/rectas y geometría de inversión
funciones holomorfas y analíticas
Diferenciabilidad compleja y el significado de holomorfa / analítica
ecuaciones de Cauchy-Riemann para \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)
Comprobaciones comunes: por qué \(f(z)=\overline{z}\) y \(f(z)=|z|^2\) no son analíticas
Singularidades, residuos e integrales de contorno
Singularidades removibles vs. polos vs. singularidades esenciales
Residuo en un polo simple y cálculo rápido para funciones racionales
Hecho central: \(\displaystyle \oint_{|z|=1} z^n\,dz = 0\) para todo entero n≠ -1
Volver al cuestionario
Cuando estés listo, vuelve al cuestionario al principio de la página y sigue practicando funciones complejas y análisis complejo.
⭐⭐⭐⭐⭐
🌀
funciones complejas
Guía paso a paso
Toca para abrir ->
Cargando...
Lección de funciones complejas
1 / 8
Resumen de la lección
Qué aprenderás
Propósito: Construir una comprensión clara de números complejos y funciones complejas para que puedas calcular con \(z=x+iy\), usar conjugados, módulo y argumento, aplicar la fórmula de Euler y la exponencial compleja, decidir cuándo una función es holomorfa / analítica (mediante las ecuaciones de Cauchy-Riemann), clasificar singularidades (removibles, polos, esenciales), calcular residuos y evaluar integrales de contorno simples.
Criterios de éxito
Calcula con números complejos y simplifica potencias como \((1+i)^3\).
Usa el conjugado complejo \(\overline{z}\) y calcula \(|z|\) correctamente.
Convierte entre forma rectangular \(x+iy\) y forma polar \(re^{i\theta}\).
Usa la fórmula de Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) y entiende \(e^z\).
Entiende la aplicación \(w=e^z\) (periodicidad e imágenes de rectas).
Decide cuándo una función es holomorfa y por qué \(\overline{z}\) y \(|z|^2\) no son analíticas.
Sabe qué significa entera e identifica funciones enteras comunes.
Clasifica singularidades (removible vs. polo vs. singularidad esencial).
Calcula el residuo en un polo simple para funciones racionales.
Evalúa integrales de contorno básicas como \(\oint_{|z|=1} z^n\,dz\).
Vocabulario clave
Número complejo: \(z=x+iy\), donde \(i^2=-1\).
Conjugado: \(\overline{z}=x-iy\).
Módulo: \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\).
Argumento: \(\arg z\) es un ángulo \(\theta\) con \(z=re^{i\theta}\) (multivaluado; se suele usar el valor principal).
Holomorfa (analítica): complejamente diferenciable en un conjunto abierto.
Entera: holomorfa en todo \(\mathbb{C}\).
Singularidad: un punto donde una función deja de ser holomorfa.
Residuo: el coeficiente de \((z-a)^{-1}\) en la expansión de Laurent alrededor de \(a\).
Comprobación rápida previa
Comprobación previa 1: ¿Cuál es el conjugado complejo de \(2-5i\)?
Pista: La conjugación cambia el signo de la parte imaginaria.
Comprobación previa 2: Bajo \(w=e^z\), ¿cuál es la imagen del eje real \(z=x\)?
Pista: Si \(z=x\), entonces \(w=e^x\), que es real y positivo.
Fundamentos de números complejos
Números complejos, conjugados, módulo y álgebra rápida
Objetivo de aprendizaje: Calcular con confianza con números complejos y usar conjugados y módulo para simplificar expresiones.
Idea clave
Un número complejo es \(z=x+iy\), donde \(x=\Re(z)\) y \(y=\Im(z)\). El conjugado complejo es \[ \overline{z}=x-iy. \] El módulo (valor absoluto) es \[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}. \] Una identidad clave es \[ z\overline{z}=|z|^2. \] Por eso multiplicar por el conjugado ayuda a simplificar fracciones como \(\frac{1}{a+bi}\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Calcula \((1+i)^3\).
Primero eleva al cuadrado: \[ (1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i. \] Luego multiplica por \((1+i)\): \[ (1+i)^3=(1+i)\cdot(2i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i. \]
Objetivo de aprendizaje: Usar \(e^z\) e intuición básica de aplicaciones conformes para seguir cómo se transforman rectas y círculos.
Idea clave
La fórmula de Euler conecta exponenciales y trigonometría: \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \] Para un número complejo general \(z=x+iy\), \[ e^z=e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y). \] Esto muestra dos efectos importantes de la aplicación:
Cambiar \(x\) escala la magnitud: \(|e^z|=e^x\).
Cambiar \(y\) rota el argumento por \(y\) (mod \(2\pi\)).
Además, la exponencial es periódica en la dirección imaginaria: \[ e^{z+2\pi i}=e^z. \] Por tanto, \(e^z\) no es inyectiva en \(\mathbb{C}\).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: Bajo \(w=e^z\), ¿cuál es la imagen del eje real \(z=x\)?
Si \(z=x\), entonces \(w=e^x\), que es real y positivo. Así que el eje real se envía al eje real positivo \((0,\infty)\).
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Es \(f(z)=e^z\) inyectiva en \(\mathbb{C}\)?
Pista: Si dos entradas distintas difieren por \(2\pi i\), tienen la misma salida.
Inténtalo 2: Bajo la aplicación \(w=\tfrac{1}{z}\), ¿a qué se envía el círculo unitario \(|z|=1\)?
Pista: Si \(|z|=1\), entonces \(|1/z|=1/|z|=1\).
Resumen
\(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\): escala por \(e^x\), rota por \(y\).
\(e^z\) no es inyectiva en \(\mathbb{C}\) por la periodicidad de \(2\pi i\).
La inversión \(w=1/z\) envía \(|z|=1\) a \(|w|=1\).
Holomorfas y Cauchy-Riemann
funciones analíticas, ecuaciones de Cauchy-Riemann y no-ejemplos comunes
Objetivo de aprendizaje: Decidir si una función es holomorfa (analítica) y reconocer las trampas más comunes: \(\overline{z}\), \(|z|^2\) y potencias multivaluadas.
Idea clave
Escribe una función compleja como \[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy. \] Si \(u\) y \(v\) tienen derivadas parciales primeras continuas y \(f\) es complejamente diferenciable, entonces deben cumplirse las ecuaciones de Cauchy-Riemann: \[ u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x. \] Muchas funciones no son holomorfas porque dependen de \(\overline{z}\) o de \(|z|\), lo que mezcla \(x\) e \(y\) de una forma no analítica.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Es \(f(z)=\overline{z}\) holomorfa en algún punto?
Escribe \(f(z)=\overline{z}=x-iy\). Entonces \(u(x,y)=x\) y \(v(x,y)=-y\). Calcula parciales: \[ u_x=1,\; u_y=0,\; v_x=0,\; v_y=-1. \] Cauchy-Riemann exigiría \(u_x=v_y\), es decir, \(1=-1\), lo cual es imposible. Así que \(f(z)=\overline{z}\) no es holomorfa en ningún punto de \(\mathbb{C}\).
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Es \(f(z)=|z|^2\) analítica?
Pista: \(|z|^2=x^2+y^2\). Prueba Cauchy-Riemann: no puede cumplirse en ningún conjunto abierto.
Inténtalo 2: ¿Es \(f(z)=z^z\) analítica en \(\mathbb{C}\)?
Pista: Normalmente \(z^z=e^{z\Log z}\). Una \(\Log z\) monovaluada necesita un corte de rama, así que no puedes definirla holomórficamente en todo \(\mathbb{C}\).
Resumen
Holomorfa \(\Rightarrow\) Cauchy-Riemann (bajo condiciones suaves de regularidad).
\(\overline{z}\) y \(|z|^2\) no son holomorfas en ningún punto de \(\mathbb{C}\).
Las funciones multivaluadas (como \(z^z\)) requieren elecciones de rama; no son analíticas en todo \(\mathbb{C}\).
funciones enteras y series
funciones enteras, series de potencias y series geométricas en \(\mathbb{C}\)
Objetivo de aprendizaje: Reconocer funciones enteras y usar hechos estándar de convergencia para series de potencias complejas.
Idea clave
Una función es entera si es holomorfa en todo \(\mathbb{C}\). Ejemplos clásicos incluyen polinomios y \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\). Las series de potencias en el plano complejo se comportan como las series de potencias reales: tienen un radio de convergencia \(R\), y convergen absolutamente para \(|z-a|<R\) y divergen para \(|z-a|>R\).
Un ejemplo clave es la serie geométrica: \[ \sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^n \] que converge exactamente cuando \(|z-a|<1\) y entonces suma \(\frac{1}{1-(z-a)}\).
Esta es una serie geométrica con razón \((z-1)\). Converge cuando \(|z-1|<1\), es decir, dentro del disco abierto centrado en \(1\) con radio \(1\).
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál de estas es entera?
Pista: \(\sin z\) es holomorfa en todas partes; las funciones racionales tienen polos; \(\overline{z}\) no es holomorfa.
Inténtalo 2: ¿Para qué \(z\) converge la serie \(\sum_{n=0}^\infty (z-1)^n\)?
Pista: Una serie geométrica \(\sum r^n\) converge exactamente cuando \(|r|<1\).
Resumen
Entera significa holomorfa en todo \(\mathbb{C}\).
\(e^z,\sin z,\cos z\) y los polinomios son enteros.
\(\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^n\) converge exactamente cuando \(|z-1|<1\).
Singularidades
Clasificar singularidades: removibles, polos y esenciales
Objetivo de aprendizaje: Reconocer y clasificar singularidades aisladas rápidamente usando expansiones y ejemplos clave.
Idea clave
Una singularidad aislada en \(z=a\) es un punto donde \(f\) no es holomorfa en \(a\), pero sí es holomorfa en una vecindad perforada \(0<|z-a|<r\). Hay tres tipos principales:
Singularidad removible: \(f\) puede redefinirse en \(a\) para volverse holomorfa (suele ocurrir cuando se cancela un factor).
Polo de orden \(m\): \((z-a)^m f(z)\) es holomorfa y no nula en \(a\). Un polo simple tiene \(m=1\).
Singularidad esencial: no es removible ni polo; la serie de Laurent tiene infinitos términos con potencias negativas.
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Qué tipo de singularidad tiene \(f(z)=e^{1/z}\) en \(z=0\)?
La serie de Laurent es \[ e^{1/z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}\,z^{-n}. \] Tiene infinitas potencias negativas, así que \(z=0\) es una singularidad esencial.
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Qué tipo de singularidad tiene \(f(z)=\dfrac{\sin z}{z}\) en \(z=0\)?
Pista: \(\sin z = z - \frac{z^3}{3!}+\cdots\). Divide por \(z\) para ver el límite en 0.
Inténtalo 2: ¿Qué tipo de singularidad tiene \(f(z)=\dfrac{\sin(1/z)}{z}\) en \(z=0\)?
Pista: \(\sin(1/z)\) ya tiene una singularidad esencial en 0; multiplicar por \(1/z\) no puede convertirla en un polo ni en una singularidad removible.
Resumen
\(e^{1/z}\) y \(\sin(1/z)\) tienen singularidades esenciales en \(z=0\).
\(\frac{\sin z}{z}\) tiene una singularidad removible en \(0\) (define el valor como \(1\)).
\(\frac{\sin(1/z)}{z}\) tiene una singularidad esencial en \(0\).
Residuos y polos
Residuos en polos simples y cálculos rápidos
Objetivo de aprendizaje: Calcular residuos rápidamente para funciones racionales simples y reconocer polos simples.
Idea clave
Si \(f\) tiene un polo simple en \(z=a\), entonces su residuo es \[ \operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z). \] Una función racional \(\frac{p(z)}{q(z)}\) normalmente tiene polos donde \(q(z)=0\) (si p(a)≠ 0 y el cero es simple).
Ejemplo resuelto
Ejemplo: ¿Cuál es el residuo de \(f(z)=\dfrac{3z}{z-1}\) en \(z=1\)?
Este es un polo simple en \(z=1\). Calcula: \[ \operatorname{Res}(f,1)=\lim_{z\to 1}(z-1)\frac{3z}{z-1}=\lim_{z\to 1}3z=3. \]
Inténtalo
Inténtalo 1: ¿Cuál de estos es un polo simple de \(\tan z\)?
Pista: \(\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\). Los polos ocurren donde \(\cos z=0\).
Inténtalo 2: ¿Cuál es el residuo de \(f(z)=\dfrac{3z}{z-1}\) en \(z=1\)?
Pista: Para un polo simple en \(a\), usa \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
Resumen
Residuo en polo simple: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
\(\tan z\) tiene polos simples en \(\frac{\pi}{2}+k\pi\).
Integrales de contorno y panorama general
Integrales de contorno, preservación de ángulos y resumen final
Objetivo de aprendizaje: Usar hechos centrales de integrales de contorno y conectarlos con analiticidad y aplicaciones conformes.
Hecho central de integrales de contorno
Para el círculo unitario \(|z|=1\), una identidad fundamental es: \[ \oint_{|z|=1} z^n\,dz = \begin{cases} 2\pi i, & n=-1,\\ 0, & n\neq -1, \end{cases} \] donde \(n\) es un entero. En particular, \[ \oint_{|z|=1} z^2\,dz = 0. \]
Preservación de ángulos (conformidad)
Las funciones holomorfas con derivada no nula preservan ángulos entre curvas suaves (son conformes). La aplicación \(f(z)=\overline{z}\) no es holomorfa; refleja el plano y no preserva ángulos orientados, así que no es conforme.
La función \(z^2\) es holomorfa en todas partes y tiene antiderivada \(\frac{z^3}{3}\). La integral de una derivada holomorfa alrededor de una curva cerrada es \(0\), así que \[ \oint_{|z|=1} z^2\,dz = 0. \]
Pista: Las aplicaciones conformes (que preservan ángulos) son holomorfas con derivada no nula. La conjugación no es holomorfa.
Inténtalo 2: ¿Cuánto es \(\displaystyle \oint_{|z|=1} z^2 \,dz\)?
Pista: \(\oint z^n\,dz=0\) para n≠ -1 alrededor de \(|z|=1\).
Repaso final
Conjugado y módulo: \(\overline{x+iy}=x-iy\), \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(z\overline{z}=|z|^2\).
Exponencial: \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\), y \(e^{z+2\pi i}=e^z\) (no inyectiva en \(\mathbb{C}\)).
Holomorfa: comprueba Cauchy-Riemann; \(\overline{z}\) y \(|z|^2\) no son holomorfas en ningún punto.
Entera: holomorfa en todo \(\mathbb{C}\); ejemplos incluyen \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), polinomios.
Singularidades: removibles (por ejemplo \(\sin z/z\) en \(0\)), polos, esenciales (por ejemplo \(e^{1/z}\) en \(0\)).
Residuo en un polo simple: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
Integral de contorno: \(\oint_{|z|=1} z^2\,dz=0\).
Siguiente paso: Cierra esta lección y vuelve a intentar tu cuestionario. Si fallas una pregunta, vuelve a abrir el libro y repasa la página que coincida con la habilidad de funciones complejas que necesitas: álgebra, aplicaciones, analiticidad, singularidades, residuos o integrales.
Racha 5+
Racha 10+
Racha 15+
Racha 20+
Racha 25+