Soal latihan, kuis, dan pelajaran langkah demi langkah tentang Fungsi Kompleks - tingkatkan kemampuan matematika dengan soal terarah dan penjelasan yang jelas.
Kuis Latihan Fungsi Kompleks dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah
Gunakan kuis di awal halaman untuk berlatih fungsi kompleks dan ide inti analisis kompleks dengan definisi dan uji terpenting: bilangan kompleks \(z=x+iy\) dan konjugat kompleks \(\overline@@P34@@\), modulus \(|z|\) dan argumen \(\arg z\), rumus Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) dan bentuk polar \(z=re^{i\theta}\), fungsi analitik / holomorfik dan persamaan Cauchy-Riemann, fungsi entire (holomorfik pada \(\mathbb@@P35@@\)), eksponensial kompleks dan pemetaan seperti \(w=e^z\) dan \(w=\tfrac@@P36@@@@P37@@\), singularitas (dapat dihilangkan, pole, esensial), intuisi deret Laurent, residu dan perhitungan residu cepat, serta integral kontur dasar seperti \(\oint z^n\,dz\). Jika ingin penyegaran, klik Mulai pelajaran untuk membuka panduan langkah demi langkah dengan contoh penyelesaian dan cek cepat.
Cara kerja latihan fungsi kompleks ini
1. Kerjakan kuis: jawab soal bilangan kompleks dan fungsi kompleks di awal halaman.
2. Buka pelajaran (opsional): tinjau konjugat, modulus/argumen, analitisitas, pemetaan, singularitas, residu, dan integral kontur dengan contoh yang jelas.
3. Coba lagi: kembali ke kuis dan langsung terapkan aturan analisis kompleks.
Yang akan Anda pelajari dalam pelajaran fungsi kompleks
Bilangan kompleks, modulus, argumen, dan konjugat
Bentuk persegi panjang \(z=x+iy\) dan aritmetika dasar
Konjugat kompleks \(\overline@@P2@@=x-iy\) dan identitas seperti \(z\overline@@P3@@=|z|^2\)
modulus \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\) dan argumen \(\arg z\) untuk bentuk polar
Eksponensial kompleks, bentuk polar, dan pemetaan
Rumus Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) dan \(z=re^{i\theta}\)
Pemetaan eksponensial \(w=e^z\): periodisitas \(e^{z+2\pi i}=e^z\) dan citra garis
Pemetaan resiprokal \(w=\tfrac@@P2@@@@P3@@\): pemetaan lingkaran/garis dan geometri inversi
Fungsi holomorfik dan analitik
Kediferensiabilitas kompleks dan makna holomorfik / analitik
Persamaan Cauchy-Riemann untuk \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)
Pemeriksaan umum: mengapa \(f(z)=\overline@@P2@@\) dan \(f(z)=|z|^2\) tidak analitik
Singularitas, residu, dan integral kontur
Singularitas dapat dihilangkan vs. pole vs. singularitas esensial
Residu di pole sederhana dan perhitungan cepat untuk fungsi rasional
Fakta inti: \(\displaystyle \oint_{|z|=1} z^n\,dz = 0\) untuk semua bilangan bulat n≠ -1
Kembali ke kuis
Saat siap, kembali ke kuis di awal halaman dan terus berlatih fungsi kompleks serta analisis kompleks.
⭐⭐⭐⭐⭐
🌀
Fungsi Kompleks
Panduan langkah demi langkah
Ketuk untuk membuka ->
Memuat...
Pelajaran Fungsi Kompleks
1 / 8
Ikhtisar Pelajaran
Yang akan Anda pelajari
Tujuan: Bangun pemahaman yang jelas tentang bilangan kompleks dan fungsi kompleks agar Anda dapat menghitung dengan \(z=x+iy\), memakai konjugat, modulus, dan argumen, menerapkan rumus Euler dan eksponensial kompleks, menentukan kapan fungsi holomorfik / analitik (melalui persamaan Cauchy-Riemann), mengklasifikasikan singularitas (dapat dihilangkan, pole, esensial), menghitung residu, dan mengevaluasi integral kontur sederhana.
Kriteria keberhasilan
Menghitung dengan bilangan kompleks dan menyederhanakan pangkat seperti \((1+i)^3\).
Menggunakan konjugat kompleks \(\overline@@P40@@\) dan menghitung \(|z|\) dengan benar.
Mengubah antara bentuk persegi panjang \(x+iy\) dan bentuk polar \(re^{i\theta}\).
Menggunakan rumus Euler \(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\) dan memahami \(e^z\).
Memahami pemetaan \(w=e^z\) (periodisitas dan citra garis).
Menentukan kapan fungsi holomorfik dan mengapa \(\overline@@P41@@\) serta \(|z|^2\) tidak analitik.
Mengetahui makna entire dan mengidentifikasi fungsi entire umum.
Mengklasifikasikan singularitas (dapat dihilangkan vs. pole vs. singularitas esensial).
Menghitung residu di pole sederhana untuk fungsi rasional.
Mengevaluasi integral kontur dasar seperti \(\oint_{|z|=1} z^n\,dz\).
Kosakata kunci
Bilangan kompleks: \(z=x+iy\), dengan \(i^2=-1\).
Konjugat: \(\overline@@P32@@=x-iy\).
modulus: \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\).
Argumen: \(\arg z\) adalah sudut \(\theta\) dengan \(z=re^{i\theta}\) (bernilai banyak, nilai utama sering dipakai).
Holomorfik (analitik): terdiferensialkan kompleks pada himpunan terbuka.
entire: holomorfik pada seluruh \(\mathbb@@P33@@\).
Singularitas: titik tempat fungsi gagal holomorfik.
Residu: koefisien \((z-a)^@@P34@@\) dalam ekspansi Laurent di sekitar \(a\).
Cek awal cepat
Cek awal 1: Apa konjugat kompleks dari \(2-5i\)?
Petunjuk: Konjugasi membalik tanda bagian imajiner.
Cek awal 2: Di bawah \(w=e^z\), apa citra sumbu real \(z=x\)?
Petunjuk: Jika \(z=x\) maka \(w=e^x\), yang real dan positif.
Dasar Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks, konjugat, modulus, dan aljabar cepat
Tujuan pembelajaran: Hitung dengan percaya diri memakai bilangan kompleks dan gunakan konjugat serta modulus untuk menyederhanakan bentuk.
Ide utama
Bilangan kompleks adalah \(z=x+iy\), dengan \(x=\Re(z)\) dan \(y=\Im(z)\). Konjugat kompleks adalah \[ \overline@@P4@@=x-iy. \] modulus (nilai mutlak) adalah \[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}. \] Identitas kunci: \[ z\overline@@P5@@=|z|^2. \] Ini alasan mengapa mengalikan dengan konjugat membantu menyederhanakan pecahan seperti \(\frac@@P6@@{a+bi}\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Hitung \((1+i)^3\).
Kuadratkan dulu: \[ (1+i)^2 = 1+2i+i^2 = 2i. \] Lalu kalikan dengan \((1+i)\): \[ (1+i)^3=(1+i)\cdot(2i)=2i+2i^2=2i-2=-2+2i. \]
Tujuan pembelajaran: Gunakan \(e^z\) dan intuisi pemetaan konformal dasar untuk melacak bagaimana garis dan lingkaran berubah.
Ide utama
Rumus Euler menghubungkan eksponensial dan trigonometri: \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \] Untuk bilangan kompleks umum \(z=x+iy\), \[ e^z=e^{x+iy}=e^x e^@@P0@@=e^x(\cos y+i\sin y). \] Ini menunjukkan dua efek pemetaan penting:
Mengubah \(x\) menskalakan besar: \(|e^z|=e^x\).
Mengubah \(y\) memutar argumen sebesar \(y\) (mod \(2\pi\)).
Selain itu, eksponensial periodik dalam arah imajiner: \[ e^{z+2\pi i}=e^z. \] Jadi \(e^z\) tidak injektif pada \(\mathbb@@P4@@\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Di bawah \(w=e^z\), apa citra sumbu real \(z=x\)?
Jika \(z=x\) maka \(w=e^x\), yang real dan positif. Jadi sumbu real dipetakan ke sumbu real positif \((0,\infty)\).
Coba
Coba 1: Apakah \(f(z)=e^z\) injektif pada \(\mathbb@@P2@@\)?
Petunjuk: Jika dua input berbeda selisihnya \(2\pi i\), keduanya memiliki output yang sama.
Coba 2: Di bawah peta \(w=\tfrac@@P2@@\(|z|=1\)\), lingkaran satuan \(|z|=1\) dipetakan ke apa?
Petunjuk: Jika \(|z|=1\), maka \(|1/z|=1/|z|=1\).
Ringkasan
\(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\): skala oleh \(e^x\), putar oleh \(y\).
\(e^z\) tidak injektif pada \(\mathbb@@P6@@\) karena periodisitas \(2\pi i\).
Inversi \(w=1/z\) mengirim \(|z|=1\) ke \(|w|=1\).
Holomorfik & Cauchy-Riemann
Fungsi analitik, persamaan Cauchy-Riemann, dan noncontoh umum
Tujuan pembelajaran: Tentukan apakah fungsi holomorfik (analitik) dan kenali jebakan paling umum: \(\overline@@P2@@\), \(|z|^2\), dan pangkat bernilai banyak.
Ide utama
Tulis fungsi kompleks sebagai \[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy. \] Jika \(u\) dan \(v\) memiliki turunan parsial pertama kontinu dan \(f\) terdiferensialkan kompleks, maka persamaan Cauchy-Riemann harus berlaku: \[ u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x. \] Banyak fungsi gagal holomorfik karena bergantung pada \(\overline@@P2@@\) atau \(|z|\), yang mencampur \(x\) dan \(y\) dengan cara tidak analitik.
Contoh dikerjakan
Contoh: Apakah \(f(z)=\overline@@P2@@\) holomorfik di mana pun?
Tulis \(f(z)=\overline@@P2@@=x-iy\). Maka \(u(x,y)=x\) dan \(v(x,y)=-y\). Hitung turunan parsial: \[ u_x=1,\; u_y=0,\; v_x=0,\; v_y=-1. \] Cauchy-Riemann mengharuskan \(u_x=v_y\), yaitu \(1=-1\), yang mustahil. Jadi \(f(z)=\overline@@P3@@\) tidak holomorfik di mana pun pada \(\mathbb@@P4@@\).
Coba
Coba 1: Apakah \(f(z)=|z|^2\) analitik?
Petunjuk: \(|z|^2=x^2+y^2\). Coba Cauchy-Riemann: syaratnya tidak dapat berlaku pada himpunan terbuka mana pun.
Coba 2: Apakah \(f(z)=z^z\) analitik pada \(\mathbb@@P2@@\)?
Petunjuk: Biasanya \(z^z=e^{z\Log z}\). \(\Log z\) bernilai tunggal membutuhkan branch cut, jadi tidak dapat didefinisikan holomorfik pada seluruh \(\mathbb@@P0@@\).
\(\overline@@P6@@\) dan \(|z|^2\) tidak holomorfik di mana pun pada \(\mathbb@@P7@@\).
Fungsi bernilai banyak (seperti \(z^z\)) memerlukan pilihan cabang; fungsi itu tidak analitik pada seluruh \(\mathbb@@P8@@\).
Fungsi entire & Deret
Fungsi entire, deret pangkat, dan deret geometri di \(\mathbb@@P0@@\)
Tujuan pembelajaran: Kenali fungsi entire dan gunakan fakta konvergensi standar untuk deret pangkat kompleks.
Ide utama
Fungsi disebut entire jika holomorfik pada seluruh \(\mathbb\(\sin z\)\). Contoh klasik meliputi polinom dan \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\). Deret pangkat di bidang kompleks berperilaku seperti deret pangkat real: memiliki jari-jari konvergensi \(R\), dan konvergen absolut untuk \(|z-a|@@P4@@R\) serta divergen untuk \(|z-a|@@P5@@R\).
Contoh kunci adalah deret geometri: \[ \sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^n \] yang konvergen tepat ketika \(|z-a|@@P0@@1\) dan saat itu jumlahnya \(\frac@@P1@@{1-(z-a)}\).
Contoh dikerjakan
Contoh: Untuk \(z\) mana \(\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^n\) konvergen?
Ini deret geometri dengan rasio \((z-1)\). Deret konvergen ketika \(|z-1|@@P0@@1\), yaitu di dalam cakram terbuka berpusat di \(1\) dengan jari-jari \(1\).
Coba
Coba 1: Manakah dari berikut ini yang entire?
Petunjuk: \(\sin z\) holomorfik di semua tempat; fungsi rasional memiliki pole; \(\overline@@P0@@\) tidak holomorfik.
Coba 2: Untuk \(z\) mana deret \(\sum_{n=0}^\infty (z-1)^n\) konvergen?
Petunjuk: Deret geometri \(\sum r^n\) konvergen tepat ketika \(|r|@@P0@@1\).
Ringkasan
entire berarti holomorfik pada seluruh \(\mathbb\(e^z,\sin z,\cos z\)\).
\(e^z,\sin z,\cos z\), dan polinom adalah entire.
\(\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^n\) konvergen tepat ketika \(|z-1|@@P6@@1\).
Singularitas
Mengklasifikasikan singularitas: dapat dihilangkan, pole, dan esensial
Tujuan pembelajaran: Kenali dan klasifikasikan singularitas terisolasi dengan cepat memakai ekspansi dan contoh kunci.
Ide utama
Singularitas terisolasi di \(z=a\) adalah titik tempat \(f\) tidak holomorfik di \(a\) tetapi holomorfik pada lingkungan berlubang \(0@@P2@@|z-a|@@P3@@r\). Tiga jenis utama:
Singularitas dapat dihilangkan: \(f\) dapat didefinisikan ulang di \(a\) agar menjadi holomorfik (sering terjadi ketika faktor dapat dicoret).
pole orde \(m\): \((z-a)^m f(z)\) holomorfik dan tak nol di \(a\). pole sederhana adalah \(m=1\).
Singularitas esensial: bukan dapat dihilangkan maupun pole; deret Laurent memiliki tak hingga banyak suku berpangkat negatif.
Contoh dikerjakan
Contoh: Jenis singularitas apa yang dimiliki \(f(z)=e^{1/z}\) di \(z=0\)?
Deret Laurent-nya adalah \[ e^{1/z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac@@P2@@{n!}\,z^@@P3@@. \] Deret ini memiliki tak hingga banyak pangkat negatif, jadi \(z=0\) adalah singularitas esensial.
Coba
Coba 1: Jenis singularitas apa yang dimiliki \(f(z)=\dfrac{\sin z}@@P2@@\) di \(z=0\)?
Petunjuk: \(\sin z = z - \frac{z^3}{3!}+\cdots\). Bagi dengan \(z\) untuk melihat limit di 0.
Coba 2: Jenis singularitas apa yang dimiliki \(f(z)=\dfrac{\sin(1/z)}@@P2@@\) di \(z=0\)?
Petunjuk: \(\sin(1/z)\) sudah memiliki singularitas esensial di 0; mengalikannya dengan \(1/z\) tidak dapat mengubahnya menjadi pole atau singularitas dapat dihilangkan.
Ringkasan
\(e^{1/z}\) dan \(\sin(1/z)\) memiliki singularitas esensial di \(z=0\).
\(\frac{\sin z}@@P6@@\) memiliki singularitas dapat dihilangkan di \(0\) (definisikan nilainya sebagai \(1\)).
\(\frac{\sin(1/z)}@@P7@@\) memiliki singularitas esensial di \(0\).
Residu & pole
Residu di pole sederhana dan perhitungan cepat
Tujuan pembelajaran: Hitung residu dengan cepat untuk fungsi rasional sederhana dan kenali pole sederhana.
Ide utama
Jika \(f\) memiliki pole sederhana di \(z=a\), maka residunya adalah \[ \operatorname@@P2@@(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z). \] Fungsi rasional \(\frac{p(z)}{q(z)}\) biasanya memiliki pole di tempat \(q(z)=0\) (jika p(a)≠ 0 dan nolnya sederhana).
Contoh dikerjakan
Contoh: Berapa residu dari \(f(z)=\dfrac@@P2@@\(z=1\)\) di \(z=1\)?
Ini pole sederhana di \(z=1\). Hitung: \[ \operatorname@@P0@@(f,1)=\lim_{z\to 1}(z-1)\frac@@P1@@@@P2@@=\lim_{z\to 1}3z=3. \]
Coba
Coba 1: Manakah yang merupakan pole sederhana dari \(\tan z\)?
Petunjuk: \(\tan z=\frac{\sin z}{\cos z}\). pole terjadi ketika \(\cos z=0\).
Coba 2: Berapa residu dari \(f(z)=\dfrac@@P2@@\(z=1\)\) di \(z=1\)?
Petunjuk: Untuk pole sederhana di \(a\), gunakan \(\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
Ringkasan
Residu pole sederhana: \(\operatorname@@P4@@(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
\(\tan z\) memiliki pole sederhana di \(\frac{\pi}@@P5@@+k\pi\).
integral Kontur & Gambaran Besar
integral kontur, pelestarian sudut, dan rangkuman akhir
Tujuan pembelajaran: Gunakan fakta integral kontur inti dan hubungkan dengan analitisitas serta pemetaan konformal.
Fakta inti integral kontur
Untuk lingkaran satuan \(|z|=1\), identitas fundamental adalah: \[ \oint_{|z|=1} z^n\,dz = \begin@@P0@@ 2\pi i, & n=-1,\\ 0, & n\neq -1, \end@@P1@@ \] dengan \(n\) bilangan bulat. Khususnya, \[ \oint_{|z|=1} z^2\,dz = 0. \]
Pelestarian sudut (konformalitas)
Fungsi holomorfik dengan turunan tak nol mempertahankan sudut antara kurva halus (bersifat konformal). Peta \(f(z)=\overline@@P2@@\) tidak holomorfik; peta ini mencerminkan bidang dan tidak mempertahankan sudut berorientasi, sehingga tidak konformal.
Fungsi \(z^2\) holomorfik di semua tempat, dan memiliki antiturunan \(\frac{z^3}@@P0@@\). integral dari turunan holomorfik sepanjang kurva tertutup adalah \(0\), jadi \[ \oint_{|z|=1} z^2\,dz = 0. \]
Petunjuk: \(\oint z^n\,dz=0\) untuk n≠ -1 di sekitar \(|z|=1\).
Rekap akhir
Konjugat dan modulus: \(\overline{x+iy}=x-iy\), \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(z\overline@@P14@@=|z|^2\).
Eksponensial: \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\), dan \(e^{z+2\pi i}=e^z\) (tidak injektif pada \(\mathbb@@P15@@\)).
Holomorfik: cek Cauchy-Riemann; \(\overline@@P16@@\) dan \(|z|^2\) tidak holomorfik di mana pun.
entire: holomorfik pada seluruh \(\mathbb@@P17@@\); contoh meliputi \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), polinom.
Singularitas: dapat dihilangkan (misalnya \(\sin z/z\) di \(0\)), pole, esensial (misalnya \(e^{1/z}\) di \(0\)).
Residu di pole sederhana: \(\operatorname@@P18@@(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
integral kontur: \(\oint_{|z|=1} z^2\,dz=0\).
Langkah berikutnya: Tutup pelajaran ini dan coba kuis Anda lagi. Jika ada soal yang salah, buka kembali buku dan tinjau halaman yang sesuai dengan keterampilan fungsi kompleks yang Anda butuhkan: aljabar, pemetaan, analitisitas, singularitas, residu, atau integral.
Rentetan 5+
Rentetan 10+
Rentetan 15+
Rentetan 20+
Rentetan 25+