Kuis Latihan Fungsi Kompleks dengan Pelajaran Interaktif Langkah demi Langkah

Bilangan kompleks, konjugat, modulus, dan aljabar cepat

Ide utama

Bilangan kompleks adalah \(z=x+iy\), dengan \(x=\Re(z)\) dan \(y=\Im(z)\). Konjugat kompleks adalah \[ \overline{z}=x-iy. \] Modulus (nilai mutlak) adalah \[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}. \] Identitas kunci: \[ z\overline{z}=|z|^2. \] Ini alasan mengapa mengalikan dengan konjugat membantu menyederhanakan pecahan seperti \(\frac{1}{a+bi}\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Konjugat: \(\overline{x+iy}=x-iy\).
• Modulus: \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\).
• Identitas: \(z\overline{z}=|z|^2\).

Rumus Euler, \(e^z\), dan citra kurva

Ide utama

Rumus Euler menghubungkan eksponensial dan trigonometri: \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \] Untuk bilangan kompleks umum \(z=x+iy\), \[ e^z=e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y). \] Ini menunjukkan dua efek pemetaan penting:

• Mengubah \(x\) menskalakan besar: \(|e^z|=e^x\).
• Mengubah \(y\) memutar argumen sebesar \(y\) (mod \(2\pi\)).

Selain itu, eksponensial periodik dalam arah imajiner: \[ e^{z+2\pi i}=e^z. \] Jadi \(e^z\) tidak injektif pada \(\mathbb{C}\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\): skala oleh \(e^x\), putar oleh \(y\).
• \(e^z\) tidak injektif pada \(\mathbb{C}\) karena periodisitas \(2\pi i\).
• Inversi \(w=1/z\) mengirim \(|z|=1\) ke \(|w|=1\).

Fungsi analitik, persamaan Cauchy-Riemann, dan noncontoh umum

Ide utama

Tulis fungsi kompleks sebagai \[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy. \] Jika \(u\) dan \(v\) memiliki turunan parsial pertama kontinu dan \(f\) terdiferensialkan kompleks, maka persamaan Cauchy-Riemann harus berlaku: \[ u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x. \] Banyak fungsi gagal holomorfik karena bergantung pada \(\overline{z}\) atau \(|z|\), yang mencampur \(x\) dan \(y\) dengan cara tidak analitik.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Holomorfik \(\Rightarrow\) Cauchy-Riemann (dengan asumsi kehalusan ringan).
• \(\overline{z}\) dan \(|z|^2\) tidak holomorfik di mana pun pada \(\mathbb{C}\).
• Fungsi bernilai banyak (seperti \(z^z\)) memerlukan pilihan cabang; fungsi itu tidak analitik pada seluruh \(\mathbb{C}\).

Fungsi holomorfik seluruh, deret pangkat, dan deret geometri di \(\mathbb{C}\)

Ide utama

Fungsi disebut holomorfik seluruh jika holomorfik pada seluruh \(\mathbb{C}\). Contoh klasik meliputi polinom dan \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\). Deret pangkat di bidang kompleks berperilaku seperti deret pangkat real: memiliki jari-jari konvergensi \(R\), dan konvergen absolut untuk \(|z-a|<R\) serta divergen untuk \(|z-a|>R\).

Contoh kunci adalah deret geometri: \[ \sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^n \] yang konvergen tepat ketika \(|z-a|<1\) dan saat itu jumlahnya \(\frac{1}{1-(z-a)}\).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Fungsi holomorfik seluruh berarti holomorfik pada seluruh \(\mathbb{C}\).
• \(e^z,\sin z,\cos z\), dan polinom holomorfik di seluruh bidang kompleks.
• \(\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^n\) konvergen tepat ketika \(|z-1|<1\).

Mengklasifikasikan singularitas: dapat dihilangkan, kutub, dan esensial

Ide utama

Singularitas terisolasi di \(z=a\) adalah titik tempat \(f\) tidak holomorfik di \(a\) tetapi holomorfik pada lingkungan berlubang \(0<|z-a|<r\). Tiga jenis utama:

• Singularitas dapat dihilangkan: \(f\) dapat didefinisikan ulang di \(a\) agar menjadi holomorfik (sering terjadi ketika faktor dapat dicoret).
• Kutub orde \(m\): \((z-a)^m f(z)\) holomorfik dan tak nol di \(a\). Kutub sederhana adalah \(m=1\).
• Singularitas esensial: bukan dapat dihilangkan maupun kutub; deret Laurent memiliki tak hingga banyak suku berpangkat negatif.

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• \(e^{1/z}\) dan \(\sin(1/z)\) memiliki singularitas esensial di \(z=0\).
• \(\frac{\sin z}{z}\) memiliki singularitas dapat dihilangkan di \(0\) (definisikan nilainya sebagai \(1\)).
• \(\frac{\sin(1/z)}{z}\) memiliki singularitas esensial di \(0\).

Residu di kutub sederhana dan perhitungan cepat

Ide utama

Jika \(f\) memiliki kutub sederhana di \(z=a\), maka residunya adalah \[ \operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z). \] Fungsi rasional \(\frac{p(z)}{q(z)}\) biasanya memiliki kutub di tempat \(q(z)=0\) (jika \(p(a)≠ 0\) dan nolnya sederhana).

Contoh dikerjakan

Coba

Ringkasan

• Residu kutub sederhana: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• \(\tan z\) memiliki kutub sederhana di \(\frac{\pi}{2}+k\pi\).

integral kontur, pelestarian sudut, dan rangkuman akhir

Fakta inti integral kontur

Untuk lingkaran satuan \(|z|=1\), identitas fundamental adalah: \[ \oint_{|z|=1} z^n\,dz = \begin{cases} 2\pi i, & n=-1,\\ 0, & n≠ -1, \end{cases} \] dengan \(n\) bilangan bulat. Khususnya, \[ \oint_{|z|=1} z^2\,dz = 0. \]

Pelestarian sudut (konformalitas)

Fungsi holomorfik dengan turunan tak nol mempertahankan sudut antara kurva halus (bersifat konformal). Peta \(f(z)=\overline{z}\) tidak holomorfik; peta ini mencerminkan bidang dan tidak mempertahankan sudut berorientasi, sehingga tidak konformal.

Contoh dikerjakan

Coba

Rekap akhir

• Konjugat dan modulus: \(\overline{x+iy}=x-iy\), \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(z\overline{z}=|z|^2\).
• Eksponensial: \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\), dan \(e^{z+2\pi i}=e^z\) (tidak injektif pada \(\mathbb{C}\)).
• Holomorfik: cek Cauchy-Riemann; \(\overline{z}\) dan \(|z|^2\) tidak holomorfik di mana pun.
• Holomorfik seluruh: holomorfik pada seluruh \(\mathbb{C}\); contoh meliputi \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), polinom.
• Singularitas: dapat dihilangkan (misalnya \(\sin z/z\) di \(0\)), kutub, esensial (misalnya \(e^{1/z}\) di \(0\)).
• Residu di kutub sederhana: \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• Integral kontur: \(\oint_{|z|=1} z^2\,dz=0\).