Quiz d’entraînement sur les fonctions complexes avec leçon interactive étape par étape

Nombres complexes, conjugués, module et calcul rapide

Idée clé

Un nombre complexe s’écrit \(z=x+iy\), où \(x=\Re(z)\) et \(y=\Im(z)\). Le conjugué complexe est \[ \overline{z}=x-iy. \] Le module (valeur absolue) est \[ |z|=\sqrt{x^2+y^2}. \] Une identité clé est \[ z\overline{z}=|z|^2. \] C’est pourquoi multiplier par le conjugué aide à simplifier des fractions comme \(\frac{1}{a+bi}\).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Conjugué : \(\overline{x+iy}=x-iy\).
• Module : \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\).
• Identité : \(z\overline{z}=|z|^2\).

Formule d’Euler, \(e^z\) et images de courbes

Idée clé

La formule d’Euler relie exponentielles et trigonométrie : \[ e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta. \] Pour un nombre complexe général \(z=x+iy\), \[ e^z=e^{x+iy}=e^x e^{iy}=e^x(\cos y+i\sin y). \] Cela montre deux effets importants de l’application :

• Modifier \(x\) change l’échelle du module : \(|e^z|=e^x\).
• Modifier \(y\) fait tourner l’argument de \(y\) (modulo \(2\pi\)).

De plus, l’exponentielle est périodique dans la direction imaginaire : \[ e^{z+2\pi i}=e^z. \] Donc \(e^z\) n’est pas injective sur \(\mathbb{C}\).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\) : changement d’échelle par \(e^x\), rotation de \(y\).
• \(e^z\) n’est pas injective sur \(\mathbb{C}\) à cause de la périodicité \(2\pi i\).
• L’inversion \(w=1/z\) envoie \(|z|=1\) sur \(|w|=1\).

Fonctions analytiques, équations de Cauchy-Riemann et contre-exemples courants

Idée clé

Écrivez une fonction complexe sous la forme \[ f(z)=u(x,y)+iv(x,y),\quad z=x+iy. \] Si \(u\) et \(v\) ont des dérivées partielles premières continues et si \(f\) est dérivable au sens complexe, alors les équations de Cauchy-Riemann doivent être vérifiées : \[ u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x. \] Beaucoup de fonctions ne sont pas holomorphes parce qu’elles dépendent de \(\overline{z}\) ou de \(|z|\), ce qui mélange \(x\) et \(y\) d’une manière non analytique.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Holomorphe \(\Rightarrow\) Cauchy-Riemann (sous des hypothèses de régularité légères).
• \(\overline{z}\) et \(|z|^2\) ne sont holomorphes nulle part sur \(\mathbb{C}\).
• Les fonctions multivaluées (comme \(z^z\)) nécessitent des choix de branche ; elles ne sont pas analytiques sur tout \(\mathbb{C}\).

Fonctions entières, séries entières et séries géométriques dans \(\mathbb{C}\)

Idée clé

Une fonction est entière si elle est holomorphe sur tout \(\mathbb{C}\). Les exemples classiques incluent les polynômes et \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\). Les séries entières dans le plan complexe se comportent comme les séries entières réelles : elles ont un rayon de convergence \(R\), convergent absolument pour \(|z-a|<R\) et divergent pour \(|z-a|>R\).

Un exemple clé est la série géométrique : \[ \sum_{n=0}^{\infty}(z-a)^n \] qui converge exactement lorsque \(|z-a|<1\), puis a pour somme \(\frac{1}{1-(z-a)}\).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Entière signifie holomorphe sur tout \(\mathbb{C}\).
• \(e^z,\sin z,\cos z\) et les polynômes sont entiers.
• \(\sum_{n=0}^{\infty}(z-1)^n\) converge exactement lorsque \(|z-1|<1\).

Classer les singularités : amovibles, pôles et essentielles

Idée clé

Une singularité isolée en \(z=a\) est un point où \(f\) n’est pas holomorphe en \(a\), mais est holomorphe sur un voisinage ponctué \(0<|z-a|<r\). Il y a trois types principaux :

• Singularité amovible : on peut redéfinir \(f\) en \(a\) pour la rendre holomorphe (cela arrive souvent lorsqu’un facteur se simplifie).
• Pôle d’ordre \(m\) : \((z-a)^m f(z)\) est holomorphe et non nul en \(a\). Un pôle simple correspond à \(m=1\).
• Singularité essentielle : elle n’est ni amovible ni un pôle ; la série de Laurent contient une infinité de termes en puissances négatives.

Exemple guidé

À vous

Résumé

• \(e^{1/z}\) et \(\sin(1/z)\) ont des singularités essentielles en \(z=0\).
• \(\frac{\sin z}{z}\) a une singularité amovible en \(0\) (définir la valeur comme \(1\)).
• \(\frac{\sin(1/z)}{z}\) a une singularité essentielle en \(0\).

Résidus en des pôles simples et calculs rapides

Idée clé

Si \(f\) a un pôle simple en \(z=a\), alors son résidu est \[ \operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z). \] Une fonction rationnelle \(\frac{p(z)}{q(z)}\) a généralement des pôles là où \(q(z)=0\) (si \(p(a)≠ 0\) et si le zéro est simple).

Exemple guidé

À vous

Résumé

• Résidu en un pôle simple : \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• \(\tan z\) a des pôles simples en \(\frac{\pi}{2}+k\pi\).

Intégrales de contour, conservation des angles et bilan final

Fait central sur les intégrales de contour

Pour le cercle unité \(|z|=1\), une identité fondamentale est : \[ \oint_{|z|=1} z^n\,dz = \begin{cases} 2\pi i, & n=-1,\\ 0, & n≠ -1, \end{cases} \] où \(n\) est un entier. En particulier, \[ \oint_{|z|=1} z^2\,dz = 0. \]

Conservation des angles (conformité)

Les fonctions holomorphes dont la dérivée est non nulle conservent les angles entre courbes lisses (elles sont conformes). L’application \(f(z)=\overline{z}\) n’est pas holomorphe ; elle réfléchit le plan et ne conserve pas les angles orientés, donc elle n’est pas conforme.

Exemple guidé

À vous

Bilan final

• Conjugué et module : \(\overline{x+iy}=x-iy\), \(|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}\), \(z\overline{z}=|z|^2\).
• Exponentielle : \(e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)\), et \(e^{z+2\pi i}=e^z\) (pas injective sur \(\mathbb{C}\)).
• Holomorphie : vérifiez Cauchy-Riemann ; \(\overline{z}\) et \(|z|^2\) ne sont holomorphes nulle part.
• Entière : holomorphe sur tout \(\mathbb{C}\) ; exemples : \(e^z\), \(\sin z\), \(\cos z\), polynômes.
• Singularités : amovibles (par exemple \(\sin z/z\) en \(0\)), pôles, essentielles (par exemple \(e^{1/z}\) en \(0\)).
• Résidu en un pôle simple : \(\operatorname{Res}(f,a)=\lim_{z\to a}(z-a)f(z)\).
• Intégrale de contour : \(\oint_{|z|=1} z^2\,dz=0\).